Занятие 1. Формула полной вероятности и формула Байеса

Цель: знакомство учащихся с формулой полной вероятности и формулой Байеса.

Задачи:

- ввести формулу полной вероятности и формулу Байеса;

- учить применять данные формулы при решении задач;

- развивать логическое и вероятностное мышление, кругозор, грамотную математическую речь, интерес к изучению математики.

Ход занятия

1. Сообщение темы и цели занятия

На этом занятии мы познакомимся с двумя новыми формулами: формулой полной вероятности и формулой Байеса.

Изучение нового материала

Пусть события H ₁ , H ₂ , …, H_k, наблюдаемые в эксперименте с множеством исходов , образуют полную группу попарно несовместных событий (гипотез), т.е. H ₁ + H ₂ + …+ H_k =  и при любых различных i и j выполняется . Тогда для любого наблюдаемого в данном эксперименте события А справедлива формула полной вероятности: .

Пусть в случайном эксперименте событие А может произойти только вместе с одной из гипотез , i = 1, 2, …, k. Предположим, что событие А произошло. Тогда условную вероятность осуществления гипотезы  при наступлении события А можно рассчитать по формуле Байеса:

[25].

Решение задач по данной теме см. в приложении 16.

Итог занятия

Сегодня мы научились решать задачи на применение формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Занятие 2. Формула Бернулли. Закон больших чисел

Цель: знакомство учащихся с формулой Бернулли и , так называемым, законом больших чисел.

Задачи:

- дать описание схемы Бернулли и ввести формулу;

- сформировать умения применять данную формулу при решении задач;

- изучить закон больших чисел и показать его применение;

- развивать логическое и вероятностное мышление, кругозор, математическую речь, интерес к предмету.

Ход занятия

1. Сообщение темы и цели занятия

Многие задачи в теории вероятностей сводятся к схеме Бернулли, названной так по имени математика, который первым ее рассмотрел. На этом занятии мы будем учиться применять данную схему при решении задач.

Изучение нового материала

Схема и формула Бернулли

Говорят, что эксперимент проведен по схеме Бернулли, если он представляет собой серию одинаковых испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:

1) в каждом испытании может быть два исхода: появление определенного события А (его называют успехом) или противоположного ему события  (его называют неудачей);

2) испытания являются независимыми, т.е. вероятность успеха в каждом испытании не зависит от исходов в других испытаниях.

Исходами эксперимента, проведенного по схеме Бернулли, являются всевозможные упорядоченные наборы длины n, состоящие из событий А и .

Пусть эксперимент, проведенный по схеме Бернулли, состоит из n испытаний, и p – вероятность успеха в каждом испытании (и, следовательно,
q = 1 – p – вероятность неудачи). Тогда вероятность  того, что в этом эксперименте успех будет наблюдаться ровно k раз, можно вычислить по формуле Бернулли: [25].

Рассмотреть задачи 1-4, представленные в приложении 17.

Закон больших чисел

При большом числе испытаний относительная частота появления
события, как правило, мало отличается от вероятности этого события.
Математическую формулировку этого утверждения дает принадлежащий Я. Бернулли закон больших чисел, который в уточненной форме гласит следующее.

Пусть вероятность события A в некотором испытании равна р, и пусть проводятся серии, состоящие из n независимых повторений этого испытания. Через m обозначим число испытаний, в которых происходило событие А. Тогда для любого положительного числа a выполняется неравенство:

 [26].

Смысл этого неравенства состоит в следующем. Выражение  равно относительной частоте события А в серии опытов, а  - отклонение этой относительной частоты от теоретического значения р. Неравенство  означает, что отклонение оказалось больше . Но при постоянном значении a  с ростом n правая часть неравенства  стремится к нулю. Это означает, что серии, в которых отклонение экспериментальной частоты от теоретической велико, составляют малую долю всех возможных серий испытаний.

Таким образом, чем выше требования к надежности результата, тем больше опытов нужно произвести.

Показать применение закона больших чисел при решении задачи 5
(см. прил. 17).

Итог занятия

Теорема Бернулли позволяет установить связь между статистическим

подходом к определению вероятности и классическим определением вероятности случайного события. Формулы, с которыми мы сегодня познакомились, имеют огромное значение и для теории, и для практики. Они позволяют находить вероятность случайного события в тех случаях, когда ее явное вычисление невозможно.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: