Способы организации единичного жребия.

Основным элементом, из совокупности которых складывается монте-карловская модель, является одна случайная реализация моделируемого явления, например: один «обстрел» цели», один «день работы» транспорта, одна «эпидемия» и т.п.

           Реализация представляет собой как бы один случай осуществления моделируемого случайного явления (процесса) со всеми присущими ему случайностями. Она разыгрывается с помощью специально разработанной процедуры или алгоритма, в котором важную роль играет собственно «розыгрыш» или бросание жребия». Каждый раз, когда в ход моделируемого процесса вмешивается случайность, её влияние учитывается не расчетом, а бросанием жребия.

           Предположим, что в ходе моделируемого процесса наступил момент, когда его дальнейшее развитие (а значит и результат) зависит от того, появилось ли на данном этапе событие А или не появилось (например: произошло ли попадание в цель, обнаружен ли некоторый объект, исправна ли некоторая аппаратура и т.д). Тогда нужно «бросанием жребия» решить вопрос: появилось событие А или не появилось? Для этого нужно привести в действие некоторый случайный механизм розыгрыша (бросить игральную кость, несколько монет или выбрать число из таблицы случайных чисел) и условиться о том, какой результат жребия означает появление, а какой – непоявление события А). Ниже мы увидим, что розыгрыш всегда можно организовать так, чтобы событие А имело любую наперед заданную вероятность. Кроме событий, появляющихся случайным образом, на ход и исход операции могут так же влиять разные случайные величины (время, координаты и т.д.). С помощью жребия можно разыграть значения любой случайной величины или совокупность значений нескольких случайных величин. Условимся называть единичным жребием любой элементарный опыт, в котором решается один из вопросов:

1. Произошло или не произошло событие А?

2. Какое из возможных событий А₁,А₂,…А _k произошло?

3. Какое значение приняла случайная величина Х?

4. Какую совокупность значений приняла система случайных величин Х₁,Х₂,…Х _k ?

Рассмотрим способы организации всех разновидностей единичного жребия. При любой организации жребия должен быть пущен в ход какой-то механизм случайного выбора. Механизмы могут быть самыми разнообразными, однако любой из них может быть заменен стандартным механизмом, позволяющим решить одну задачу: получить случайную величину, распределенную с постоянной плотностью от 0 до 1. Условимся для краткости называть такую случайную величину «случайное число от 0 до 1» и обозначать R .

Билет №34

Современное содержание терминов «имитация», «имитационная модель», «имитационная система»

Итак, термины «имитация» и «имитационный эксперимент» появились сначала в теории вероятностей и математической статистике как способ вычисления статистических характеристик интересующих нас случайных величин посредством воспроизведения реализаций соответствующего случайного процесса с помощью его математической модели. Воспроизведение реализаций случайного процесса и есть то, что естественно называть имитационным экспериментом, поскольку реальные эксперименты с измерением интересующих нас случайных величин как бы заменяются их имитацией с помощью математической модели данного процесса.

Вскоре после начала использования методов прикладной математики в управлении экономикой, планировании, исследовании операций, проектировании термины «имитация», «имитационный эксперимент» приобрели в этих областях смысл, не совпадающий с их первоначальной трактовкой. Этими терминами стали обозначать способ выбора рационального управления сложным процессом (рационального плана, рациональной конструкции проектируемого изделия), состоящий в следующем. Некоторым образом разрабатываются варианты управлений (планов, конструкций). Затем эти варианты сравниваются. Для этого при каждом таком варианте процесс (функционирование проектируемого изделия) воспроизводится с помощью его математической модели. Сравнение может происходить по некоторым формальным критериям, а может носить неформальный характер, причем чем сложнее используемая модель, чем больше она содержит реальных факторов, влияющих на принятие решений, тем более естественна неформальная оценка сравниваемых результатов. Математические модели, ориентированные на такое их использование, получили название имитационных, процесс их составления стал называться имитационным моделированием, а каждая акция воспроизведения процесса (функционирования проектируемого изделия) - имитационным экспериментом.

Билет №35

Приемы построения и эксплуатации дискретных имитационных моделей.

При создании имитационных моделей в настоящее время используется два подхода: дискретный и непрерывный. Выбор подхода в значительной мере определяется свойствами объекта-оригинала и характером воздействия на него внешней среды. Метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) – можно рассматривать как частный случай дискретных вероятностных имитационных моделей. При использовании дискретного подхода к созданию имитационных моделей обычно применяются абстрактные системы (математические схемы) трех основных типов: автоматные системы, системы массового обслуживания и агрегативные системы. В случае непрерывного подхода моделируемый объект независимо от его природы формализуется в виде непрерывной абстрактной системы, между элементами которой циркулируют потоки той или иной природы. Структура такой системы представляется графически в виде диаграммы (схемы) потоков. Основными элементами непрерывной системы рассматриваемого типа являются абстрактные «бункеры» (емкости, резервуары), а также элементы задержки.

Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами. Результаты исследования имитационной модели, как правило, представляют собой оценки функциональных характеристик той системы, поведение которой имитируется. Так, например, при имитационном моделировании любой СМО практический интерес могут представить такие показатели, как средняя продолжительность обслуживания заявки, средняя длина очереди, доля времени простоя и т.д.

Первый шаг к созданию имитационной модели состоит в описании реально существующей системы с использованием характеристик основных событий. Событие определяется как точка во времени, в которой происходят изменения характеристик системы. Обычно изменения имеют место в тех случаях, когда кончается один процесс (или несколько процессов) и начинаются другие. Для получения требуемых результатов моделирования достаточно наблюдать систему в те моменты, когда происходят события.

           Для иллюстрации рассмотрим пример СМО с одним каналом (СМО с ожиданием). Оценка характера функционирования: среднее время пребывания заявки в очереди, средняя длина очереди и доля времени простоя системы. Эти характеристики могут менять свои значения либо в момент поступления дополнительного требования на обслуживание, либо при завершении обслуживания (возможны различные ситуации). Можно получить необходимую информацию, наблюдая различные условия, которые возникают при наступлении того или иного события.

           Для эксплуатации любой имитационной модели необходимо выбрать единицу времени. В зависимости от природы моделируемой системы такой единицей может быть минута, месяц и т.п. (для аэропорта крупного города – минута, небольшого города – час).

           Допустим, что надо моделировать работу системы в течение Т единиц времени. Работа начинается с данными, относящимися к нулевому моменту времени и отмечаются соответствующие события на шкале времени в хронологическом порядке. Т.о., модель функционирует, перепрыгивая от одного события к другому, непосредственно за ним следующему. Каждое событие сопровождается корректировкой протокола, отражающей возможные изменения в показателях функционирования.

 

               

 

 

Резкие переходы (скачки), совершаемые моделью при переходе от одного события к другому, указывают на то, что процесс протекает в дискретном времени, откуда появилось название «дискретное моделирование».

           В случае дискретного моделирования между реальным временем и временем работы модели нет ничего общего (время функционирования модели обычно значительно меньше реального).

Билет №39

Основные понятия теории нечетких множеств. Операции над нечеткими множествами.

Нечеткое (расплывчатое) множество состоит из неопределенного числа элементов x: признаки включения не позволяют однозначно отделить принадлежащие множеству элементы. Некоторые элементы можно считать как относящимися к множеству, так и не входящими в него.

           Важным понятием – функция принадлежности . 0 £ £ 1 выражает степень принадлежности: =0; =1 – крайние градации (непринадлежность, полная принадлежность). Может быть частичная принадлежность.

           Нечетким множеством называется совокупность упорядоченных пар A ={( x , } Функция  задается как отображение универсального множества x на отрезок [0,1] Форма записи   (+ - знак объединение) или , если непрерывная функция от x . Носитель нечеткого множества:  

Небольшой запас деталей на складе:

               

Значение функции принадлежности  для элемента xÎ X будем называть степенью принадлежности. Интерпретацией степени принадлежности  является субъектная мера того, насколько элемент x Î X соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством А.

 

Высокая скорость автомобиля: mA(x) 1   0                                    x(км\час)                40    60 80 100

Нечеткое множество называется нормальным, если верхняя граница принадлежности равна 1 Если , то множество называется субнормальным. Пустое множество: .

 Непустое субнормальное множество можно привести к нормальному виду:

           Множеством уровня a нечеткого множества А называется четкое подмножество универсального множества Х:

  aÎ[0,1]

mА(х)       1       a

Операции над нечеткими множествами: Равенство множеств А и В: . Включение нечеткого множества А  в множество В: (очень большие числа Í большие числа).

 

Дополнение: A ¢ называется дополнением к

                 Высокие люди – невысокие люди могут являться дополнением (при соответствующем определении) (соответствует логическому отрицанию).

Пересечение :  (соответствует логической связке «и»).

Объединение: (соответствует логической связке «или»).

           Удобно определить составные множества, которые соответствуют конкретным арифметическим операциям над . Алгебраическое произведение множеств АВ: .

Алгебраическая сумма : .

 

 

Билет №40

Нечеткие отношения

               

           Отношения могут быть заданы перечислением всех пар ( u_i , u_j ) Î U ´ U, для которых выполняется отношение R : u ₁ R u ₂ (отношение R на множестве U).

Четкие отношения:

Нечеткое отношение R определяется как нечеткое подмножество , т. е.

                                      R- отношение «близко к»

            

Нечеткое отношение – это нечеткое множество с векторной базовой переменной.

 

Билет №41

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: