Статические моменты, цент тяжести

 

Статические моменты относительно осей Ox и Oy и координаты центра тяжести материальной кривой AB определяются по формулам

.

 Момент инерции

 

Для материальной кривой AB моменты I_x , I_y , I_O инерции относительно осей Ox , Oy и начала координат соответственно равны:

 

 

, ,

 

Пример 9.3. Найти центр тяжести полуокружности x² + y² = R², лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице в каждой точке кривой .

Решение: Из соображения симметрии ясно, что центр тяжести находится на оси Oy (см. рис. 4). Поэтому x_c = 0. Ордината центра тяжести

 

Знаменатель дроби – длинна полуокружности. Поэтому

Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравнениями                      Рис. 4.

окружности  Имеем:

.

Следовательно, . Итак, x_c = 0, .

 

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ II РОДА

 

Основные понятия

 

Решение задач о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) приводит к понятию криволинейного интеграла II рода.

Криволинейный интеграл II рода определяется почти также как и интеграл I рода.

Пусть в плоскости Oxy задана непрерывная кривая AB (или L) и функция P(x ; y), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую AB точками M ₀ = A , M ₁ , … M_n = B в направлении от точки A к точке B на n дуг M_{i -1} M_i с длинами Δ l_i (i = 1, 2, …, n).

На каждой «элементарной дуге» M_{i -1} M_i возьмем точку  и составим сумму вида

,                         (10.1)

где Δ x_i = x_i – x_{i -1} – проекция дуги M_{i -1} M_i на ось Ox. (см. рис. 5).

Сумму (9.1) называют интегральной суммой для функции P ( x ; y ) по переменной x .Таких сумм можно составить бесконечное множество. (Отличие сумм (9.1) и (10.1) очевидно).

Если при интегральная сумма (10.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой AB, ни от выбора точек , то его называют криволинейным интегралом по координате x (или II рода) от функции P ( x ; y ) по кривой AB и обозначают или .                                              Рис. 5.

Итак,                                     .

 

Аналогично вводиться криволинейный интеграл от функции Q ( x ; y ) по координате y:

,

 

где Δ y_i – проекция дуги M_{i -1} M_i на ось Oy.

Криволинейный интеграл II рода общего вида определяется равенством .

Криволинейный интеграл  по пространственной кривой L определяется аналогично.

Терема 10.1. Если кривая AB гладкая, а функции P(x ; y) и Q(x ; y) непрерывные на кривой AB , то криволинейный интеграл II рода существует.

 

Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла II рода.

 

1. При изменении направления пути интегрирования интеграл II Рода изменяет свой знак на противоположный, т.е.

(проекция дуги M_{i -1} M_i на оси Ox и Oy меняют знак с изменением направления).

2. Если кривая АВ с точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по все кривой равен сумме интегралов по частям, т.е.

.

3. Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ox, то

(все );

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Oy:

(все ).

4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается ) не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

Действительно, (см. рис. 6).

С другой стороны, . Таким образом,

.

 

10.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода                         Рис. 6.

 

Вычисление криволинейного интеграла II рода, как и I первого рода, может быть сведено к вычислению определенного интеграла.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: