Формула Остроградского – Гаусса

 

Связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченной этой поверхностью устанавливает следующая теорема.

 

Теорема 12.1. Если функция P(x ; y ; z), Q(x ; y ; z), R(x ; y ; z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области V, то имеет место формула

               (12.9)

где S – граница области V и интегрирование по S производится по ее внешней стороне.

 

Формула (12.9) называется формулой Остроградского – Гаусса (является аналогом формулы Остроградского - Грина).

 

Пусть область V ограничена снизу поверхностью S₁, уравнение которой z = z₁(x ; y); сверху - поверхностью S₂, уравнение которой z = z₂(x ; y) (функции z₁(x ; y) и z₂(x ; y) непрерывны в замкнутой плоскости D – проекции V на плоскость Oxy, ); сбоку – цилиндрической поверхностью S₃, образующие которой параллельны оси Oz (см. рис. 22).

Рассмотрим тройной интеграл

Двойные интегралы в правой части равенства заменим поверхностными интегралами II рода по внешней стороне поверхностей S₁ и S₂ соответственно (см. (12.3)). Получаем:

 

Добавляя равный нулю интеграл  по внешней стороне S₃, получим:

или

                                     (12.10)

       Рис. 22.                  где S поверхность, ограничивающая область V.

Аналогично доказываются формулы

                                     (12.11)

                                     (12.11)

Складывая почленно равенства (12.10), (12.11) и (12.12), получаем формулу (12.9) Остроградского – Гаусса.

Замечания.

1. Формула (12.9) считается справедливой для любой области V, которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного вида.

2. Формулу Остроградского – Гаусса можно использовать для вычисления поверхностных интегралов II рода по замкнутым поверхностям.

 

Пример 12.2. Вычислить  где S –   внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями

Решение: По формуле (12.9) находим:

Заметим, что интеграл I₁ (см. пример. 12.1) можно вычислить иначе:

где поверхности S₂, S₃, S₄ есть соответственно треугольники OAC, AOB, COB (см. рис. 23).

Имеем:

       Рис. 23.

 

Формула Стокса

Связь между поверхностным и криволинейным интегралами II рода устанавливает следующая теорема.

Теорема 12.2. Если функции P(x ; y ; z), Q(x ; y ; z) и  R(x ; y ; z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула

   (12.13)

где L – граница поверхности S и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т.е. при обходе границы L поверхность S должна оставаться все время слева).

 

Формула (12.13) называется формулой Стокса (Д.Г. Стокс – английский математик, физик).

Пусть  - уравнение поверхности S, функции , ,  непрерывны в замкнутой области D (проекции поверхности S на плоскость Oxy), L₁ – граница области D (см. рис. 24). Будем считать, что поверхность S пересекается с любой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в одной точке. Выберем верхнюю сторону поверхности S. Рассмотрим сначала интеграл вида

Значения функции  на L равны значениям функции  на L₁. Интегральные суммы для криволинейных интегралов II рода по контурам L и L₁ совпадают. Поэтому

Применим к этому интегралу формулу Остроградского – Грина. Тогда получим:

Преобразуем полученный двойной интеграл в равный ему поверхнос-

        Рис. 24.            тный интеграл II рода. Для этого последнее равенство перепишем в виде

(см. 12.7) и используя уравнение нормали к поверхности S. Так как выбранная верхняя сторона поверхности S, т.е.  (  - острый угол между нормалью  к поверхности S и осью Oz), то нормаль  имеет проекции , , 1. Направляющие косинусы пропорциональны соответствующим проекциям:

Отсюда  Тогда

Следовательно,

Аналогично получаются при соответствующих условиях еще два равенства:

Складывая почленно три последних равенства, получаем формулу Стокса (12.13).

Отметим, что формулу Стокса (12.13) можно применять и для поверхностей более сложного вида (разбив ее на части рассмотренного выше типа).

Формулу Стокса можно применять для вычисления криволинейного интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного интеграла.

Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются условия

 = ,  = ,  = ,

то криволинейный интеграл по произвольному пространственному замкнутому контуру L равен нулю:

Следовательно, в данном случае криволинейный интеграл не зависит от вида пути интегрирования.

Пример 12.3. Вычислить  где контур L – окружность а) непосредственно, б) используя формулу Стокса взяв в качестве поверхности полусферу

Решение: Поверхность интегрирования изображена на рисунке 25.

а) Запишем уравнение окружности в параметрической форме:

По формуле (10.7) имеем:

  Рис. 25.                    

б) По формуле Стокса (12.13) находим:

Переходя к полярным координатам, получаем:

 

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться: