Квадратные уравнения. Теорема Виета.

Определение. Квадратным уравнением (или уравнением второй степени) называется уравнение вида , где  - заданные числа, причем , а  - неизвестное. Числа  называются коэффициентами квадратного уравнения:  - коэффициент при квадрате неизвестного,  - коэффициент при неизвестном в первой степени,  - свободный член.

Квадратное уравнение  называется неполным, если хо­тя бы один из коэффициентов  или  равен нулю.

Неполное квадратное уравнение - это уравнение одного из следующих видов:

 

Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения.

1. Уравнение  имеет единственный корень .

2. Уравнение  равносильно уравнению . Возможны два случая.

Если , то , и поэтому уравнение  не имеет действительных корней.

Если , то , и уравнение  имеет два корня: , .

     

Например, неполное квадратное уравнение  не имеет действительных корней. Для неполного квадратного уравнения  по­лучаем  

Это уравнение можно решить по-другому:

3. Уравнение  можно решить с помощью разложения его левой части на множители. Очевидно, что , откуда , . Например, , откуда , .

 Для решения полных квадратных уравнений применяется несколько методов:

· метод выделения полного квадрата;

· решение используя формулы корней квадратного уравнения;

· с помощью теоремы Виета.

Применение метода выделения полного квадрата покажем на примере:

Пример 4: Решите уравнение: 2х² +3х – 2 =0.

 

Решение. Разделим обе части уравнения на 2:

х² +

Применим метод выделения полного квадрата:

(х² + 2 ) -

Поэтому получим

² = ,

откуда х + . Следовательно,

х_{1 =} , х_{2 =}

Ответ: 0,5; 2.

              Решение квадратных уравнений по формулам.

Определение. Выражение  называется дискриминантом квадратного уравнения  и обозначается буквой : .

Рассмотрим три случая: .

1. , то уравнение  имеет два различных .

Пример 5: Решите уравнение: – 3х² – х + 8 = (х - 3)². [3, с89]

Решение: -3х² – х + 8 – х² +6х – 9 =0, -4х² + 5х – 1= 0

D = b² -4ac. D = 25 - 4·(-4)·(-1) = 9, 9>0, значит

х₁= х₂ =   = 1.

Ответ:

 

2. .

В этом случае уравнение  принимает вид

,

откуда , т.е. .

Таким образом, если дискриминант равен нулю, т.е. , то уравнение, имеет единственный корень . Эта формула дает единственный корень уравнения. Говорят также, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня: .

Пример 6: Решите уравнение: х² + 6х +9 =0.

Решение: D = 36 – 36 =0, значит корень х₁ = х₂ = -

Ответ : 3

3. .

Если , то уравнение  не имеют действительных корней.

Вывод. Квадратное уравнение  имеет действительные корни только при дискриминанте ; если , то корни различные; если , то корни равные.

Определение : Если коэффициент , то квадратное уравнение принимает вид . Такое квадратное уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Всякое квадратное уравнение  можно привести к виду  делением обеих частей уравнения на .

  Теорема Виета. Если квадратное уравнение  имеет действительные корни  и , то их сумма равна  и произведение равно :

, .   

  Эти формулы называются формулами Виета.

Пример 7: Найдите наименьший корень уравнения х² - 5х + 6 = 0.

 

Решение: Воспользуемся теоремой Виета:

х₁  х₂ = 6

х₁  х₂ = 5, значит х₁ = 3, х₂ = 2.

Ответ: 2.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: