Простейшие иррациональные уравнения

Пример1.Найдите корень уравнения .

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ : 3.

Пример 2. Найдите корень уравнения .

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ : 87.

Пример 3. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение.
Возведем в квадрат:

Уравнение имеет единственный корень, он и является ответом.

Ответ: 6.

 

Примечание.
Можно было сделать проверку. Подставляя число 6, получаем верное равенство , поэтому число 6 является корнем. Подставляя число −1, получаем неверное равенство , поэтому число −1 не является корнем.

Пример 4. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение.
Возведем в квадрат:

Ответ : −9.

Пример 5. .

Решение. Обозначим х² + 3х – 6 = t (можно х² + 3х = t или ,

t ≥ 0).

Тогда получаем t – 12 + 4  = 0,т. е. 4 = 12 – t , учитывая, что t ≥ 0 и 12 – t ≥ 0 возведем обе части уравнения в квадрат: 16t = 144 – 24t + t², т. е.

                                                            t² - 40t + 144 = 0, t = 36, t2 = 4.

Значение t = 36 не удовлетворяет условию 12 – t ≥ 0. Итак, х² + 3х – 6 = 4,

                                                                                                 х² + 3х – 10 = 0, откуда находим корни -5 и 2. Проверкой убеждаемся, что найденные числа удовлетворяют данному уравнению. Ответ: -5 и 2.

Пример 6.

Решение. Обозначим  отсюда х+7≥0,  и получаем

 т.е.

но t+1>0 (так как t≥0), поэтому или   

(4)

 Возводим в квадрат:  т.е. 5t=15 или t=3, найденное значение удовлетворяет неравенствам (4). Стало быть,

Проверкой убеждаемся, что это корень уравнения.

Ответ: 2.

Пример 7.

Решение. Возведем в куб обе части уравнения

т.е.

учитывая, что выражение в скобках равно 1 (см. условие), получаем

т.е.

 Возводим в куб:

(х+45)(х-16)=8000, т.е.

Проверкой убеждаемся, что это корни уравнения.

Ответ: 80 и -109.

Пример 8.

Решение. т.е.

 т.е.

 

Проверкой убеждаемся, что это корни уравнения.

Ответ: -5, -6, .

2.2 Показательные уравнения

 2)Показательными уравнениями, называется уравнение вида , а положительное число, а .

Решение уравнений. Содержащих неизвестное в показателе степени, основано на следующей теореме (а , а )

 

Основные методы решения показательных уравнений

1. Простейшие, т. е уравнения вида  Из этого равенства следует:

Уравнения вида  где ,B –постоянные величины. Перед х в показателе степени один коэффициент m. Среди чисел выбирают наименьшее и выносят за скобки общий множитель где k - наименьшее среди . После этого уравнение приводят к виду

4. Уравнения вида  Уравнение данного вида приводится к квадратному при помощи замены , тогда имеем квадратное уравнение  Решив полученное уравнение, выбираем только положительные корни, если оба корня положительные, то исходное уравнение сводится к решению двух уравнений  или . Если оба корня отрицательные, то данное уравнение не имеет корней.

Замечание: можно также рассматривать уравнения, которые с помощью замены сводятся к уравнениям более высоких степеней.

5. Однородные уравнения первой степени где А и B отличные от нуля числа. Разделим обе части уравнения на  получим уравнение  оно сводится к виду . Если , то уравнение имеет корень , если , то уравнение не имеет корней.

6. Однородные уравнения второй степени где -отличные от нуля числа. Обе части уравнения разделим на  получим уравнение

 Это уравнение квадратное (решение см. 4).

 

7.Уравнения вида , где  Логарифмируем обе части по основанию с>0, с≠1, тогда получим уравнение, равносильное данному .

8. Показательно-степенное уравнение . Корнями этого уравнения считаются только решения смешанной системы и те значения х, для которых g(x) = 1, если при этих значениях определены . Функция вида определена только при g(x)>0, поэтому те значения х, которые формально удовлетворяют данному уравнению, но при которых g(x)≤0, не принято считать корнями данного уравнения.

 

Пример 9. 2^2х - 8^х+1 = 0

8^х+1 = (2³)^х+1 (аⁿ)^m = a^nm,

2^2х - 2^3(х+1) = 0

2^2х = 2^3(х+1)

2х = 3(х+1)

х = -3

Ответ:-3

Пример 10. 3^2х+4 -11·9^х = 210,  т.к.   9^х = (3²)^х = 3^2х и 3^2х+4 = 3^2х·3⁴ получаем

3^2х·3⁴ - 11·3^2х = 210

3^2х(3⁴ - 11) = 210, 3⁴ - 11 = 81 - 11 = 70

70·3^2х = 210,     3^2х = 3¹ ,2х = 1, х = 0,5

Ответ: 0,5

Пример 11.

Решение.

Ответ: 3.

Пример 12.

Решение. Перепишем уравнение иначе: Обозначим  Тогда т. е.  Так как то подходит только первый корень. Итак, т. е.  Отсюда т. е. - иррациональное уравнение. Отмечаем, что (1)

 Возводим в квадрат: т. е. Найденное значение х удовлетворяет соотношениям (1).

Ответ: 2  

Пример 13.

Решение. Перепишем уравнение в виде: разделим обе части уравнения на получим так как 3>0, то

Ответ: log 3.

Пример 14.

Решение. Данное уравнение – однородное, так как  Разделим обе части уравнения на  

Обозначим , тогда  Отсюда  и  этого не может быть.

 Ответ: -1.

Пример 15.

Решение. Группируя подобные члены, имеем:  или  Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем равносильное уравнение , или  откуда

Ответ: 0 и

Пример 16.

Решение. Корнями уравнения являются только решения смешанной системы и, быть может, решения уравнения

Из двух корней уравнения  решением системы является одно число х=5, а требованию  удовлетворяют х=3 и х=1, также являются решением данного уравнения, поскольку при этих значениях х функции  и 5х-10 определены. Итак, получаем: х=1,х=3, х=5.

Ответ: 1, 3 и 5.

Пример 17.

Решение. Обозначим тогда уравнение примет вид:

 Разделим обе части уравнения на t³≠0, получим: Пусть  значит  

Тогда  Учитывая, что у>0 и t>0, выполним обратную подстановку:

а)  б)

Ответ: 0 и

Пример 18.

Решение. Уравнения этого типа решаются подбором. После нахождения корней нужно доказать, что других корней нет.

Очевидно, что х=2 удовлетворяет данному уравнению. Докажем, что других корней нет.

 Действительно, каждая из функций y=3 и y=5 монотонно возрастает, поэтому их сумма тоже монотонно-возрастающая функция, которую обозначим  Если  то  Если то поэтому найденный корень является единственным.

Ответ: 2.

Пример 19.

Решение. Разложим число на простые множители: 720=

Показательная функция монотонна. 5х-3=0,

Ответ:

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: