Рекурсивные (БИХ) и нерекурсивные (КИХ) фильтры

 

Согласно полученному выше разностному уравнению дискретного фильтра очередной выходной отсчет рассчитывается на основе предыдущих выходных отсчетов. Таким образом получается рекурсия и фильтр называется рекурсивным или фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ или в англоязычной литературе IIR infinitе impulse response). Бесконечная импульсная характеристика получается ввиду того, что предыдущее значение на выходе фильтра отлично от нуля, значит, текущее значение также будет отлично от нуля (и оно же будет предыдущим для следующего отсчета на выходе), значит, и следующий отсчет на выходе будет отличен от нуля. Рассмотрим пример. Пусть имеется БИХ-фильтр первого порядка с передаточной функцией:      (20)

 

Очевидно, что  и . Разностное уравнение данного фильтра имеет вид:         (21)

 

Рассчитаем импульсную характеристику фильтра. Для этого необходимо подать на вход сигнал . Графически расчет импульсной характеристики представлен на рисунке 4.

Рисунок 4: Импульсная характеристика БИХ фильтра

 

Видно, что следующий отсчет импульсной характеристики в 2 раза меньше чем предыдущий, и таким образом импульсная характеристика убывает, но никогда не достигает нуля, хотя стремится к нему, т.е. является бесконечной.

Если же все коэффициенты a_m=0 (разумеется, кроме коэффициента a₀, который нельзя приравнивать к нулю), то получим фильтр, отсчеты на выходе которого, зависят только от входных отсчетов: (22)

 

Такой фильтр называется нерекурсивным или фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ) или как еще говорят FIR (finite impulse response). Отсчеты импульсной характеристики КИХ фильтра полностью совпадают с коэффициентами bm и при k>N импульсная характеристика КИХ фильтра равна нулю. Важно также отметить, что передаточная характеристика КИХ фильтра имеет в знаменателе только a₀ и не имеет полюсов.

При переходе из комплексной s – плоскости в комплексную z-плоскость все бесконечно-повторяющиеся нули и полюса дискретного фильтра в s плоскости отображаются в конечное количество нулей и полюсов в z-плоскости. Тогда выражение для передаточной характеристики дискретного фильтра может быть представлено при помощи подстановки (7) через конечное количество нулей и полюсов в z-плоскости как:

 

где  и  - отображение нулей и полюсов дискретного фильтра в z плоскости, а  и  - коэффициенты дискретного фильтра, полученные путем раскрытия произведений нулей и полюсов и приведении подобных слагаемых. Таким образом, главный вывод, который мы должны сделать заключается в следующем: при переходе от аналогового фильтра к дискретному, образ по Лапласу становится периодическим по мнимой оси, а количество нулей и полюсов фильтра бесконечным. Но при переходе в комплексную z – плоскость мы получаем снова конечное количество нулей и полюсов, и соответственно конечное количество коэффициентов дискретного фильтра. Поэтому z-преобразование можно считать аналогом преобразования Лапласа для дискретных фильтров.

Устойчивость

 

Об устойчивости фильтра с бесконечной импульсной характеристикой судят по его передаточной функции. Для дискретного фильтра необходимо и достаточно, чтобы все полюса его передаточной функции по модулю были меньше единицы, т.е. лежали внутри единичного круга на z-плоскости. Все критерии устойчивости, применимые в теории линейных стационарных систем, например критерий устойчивости Найквиста или критерий устойчивости Рауса применимы и в случае БИХ-фильтров.

 

В отличие от БИХ-фильтров, КИХ-фильтры всегда являются устойчивыми.

Примерами БИХ-фильтров являются фильтр Чебышева, фильтр Баттерворта, Фильтр Калмана и фильтр Бесселя.

 Зависимости частотных свойств звеньев системы регулирования

Каждое звено обладает определенной динамикой. Это означает, что каждое последующее звено должно обладать такими динамическими характеристиками, чтобы воспринять сигнал на входе без искажений.

Главным динамическим объектом является объект управления – его динамические свойства являются определяющими при выборе и создании других частей системы.

Для описания динамических характеристик линейных элементов будем использовать частоту среза.

Частота среза – частота, выше которой мощность выходного сигнала электронной схемы уменьшается вполовину от мощности в полосе пропускания.

Для описания динамики ЦАП и АЦП – частоту дискретизации.

Для описания динамики регулятора – частоту контура управления.

Частота контура управления – количество полных вычислений ядра регулятора за единицу времени.

Начнем двигаться от объекта.

Пусть ОУ имеет частоту среза . Тогда в спектре сигнала x гармоники с частотами выше  будут иметь амплитуды, которыми начиная с некоторой частоты можно пренебречь совсем.

Поэтому эмпирически частоту среза датчика принимают

.

Если датчик имеет аналоговый выход, то преобразователь (АЦП), на вход которого поступает сигнал , должен иметь частоту дискретизации

.

Тогда частота контура управления должна удовлетворять условию

.

Таким образом, получаем эмпирическую зависимость:

.

Данный расчет является примерным, конкретные значения коэффициентов в реальности зависят не только от частоты среза, но и вообще от вида АЧХ объекта, ее крутизны, наличия резонансов в ВЧ-области и т.д., поэтому для каждой конкретной системы частоты звеньев следует выбирать специально, но пользуясь приведенной зависимостью.

 

Регуляторы

 

Рассмотрим схему системы регулирования.

Данная схема лежит в основе большинства систем регулирования. В реальности такая схема добавляется разными дополнительными системами контроля.

 

Р – регулятор

Д – датчик

ОУ – объект управления

ИУ – исполнительное устройство

X – уставка от программно-задающего устройства

U – сигнал управления

ε – сигнал ошибки,

x – переменная (сигнал) регулирования

 – сигнал регулирования, измеренный датчиком

 

Рассмотрим наиболее часто используемые структуры регуляторов в данной схеме.

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: