Построение эмпирического распределения и статистическая оценка его параметров

Основные законы распределения случайных величин

В теории технической эксплуатации автомобилей применяются следующие законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин: экспоненциальный; нормальный; логарифмически-нормальный; закон Вейбулла-Гнеденко; гамма-распределение и др.

 

Экспоненциальное (показательное) распределение

Закон экспоненциального распределения нашел широкое применение, в особенно технике. Экспоненциальным законом распределения можно аппроксимировать данные машин, эксплуатируемых в период после окончания приработки и до периода существенного проявления постепенных отказов старения объекта (см. рис. 2.4.), экспоненциальный закон распределения применяется при описании внезапно возникающих событий, вызванных внешними причинами, например, прокол шины, разрушение ветрового стекла и т.д.

Плотность экспоненциального распределения определяется по формуле f(t) = λ   (рис. 3.3 а), где λ = - интенсивность отказов, характеризующая число отказов в единицу времени; Т_ср – средняя наработка элемента до отказа; t – время.

Вероятность безотказной работы за время t определяет функция надежности:

P(t) = .

 

Рис. 3.2. Функция надежности при λ = 0,02 ч^-1

                а                                                            б

 

 

                 в                                                         г

Рис. 3.3. Плотности различных законов распределения: а - экспоненциального; б – нормального; в – логарифмически-нормального; г - Вейбулла

 

Пример: Время безотказной работы элемента подчинено экспоненциальному распределению с параметром λ = 0,02 ч^-1. Найти вероятности того, что элемент проработает безотказно в течение 10 ч. и в течение 50 ч.

Решение:

λ = 0,02 ч^-1

t₁ = 10 ч.

t₂ = 50 ч.

P(10) =  = = 0,8187

P(50) = = 0,3679

 

Нормальное распределение

 

Закон нормального распределения (распределение Гаусса) является основным в математической статистике. Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многочисленные примерно равнозначные факторы.

Нормальное распределение определяется плотностью:

f(t) =

и зависит от двух параметров: матожидания m и среднего квадратического отклонения σ. График плотности нормального распределение (кривая Гаусса) приведен на рис. 3.4.

Рис. 3.4. График плотности нормального распределения

с параметрами m = 80 ч., σ = 20 ч.

 

Изменение вида кривой в зависимости от параметров распределения приведено на рис. 3.3 б. Матожидание определяет положение максимума по оси ординат, а среднее квадратическое отклонение – ширину петли.

 Для нормального распределения функция надежности вычисляется по формуле:

P(t) = 0,5 – Ф₀ ( ) ,

где Ф₀ – функция Лапласа, значения которой приводятся в справочных таблицах.

Пример : Время безотказной работы элемента подчинено нормальному распределению с параметрами m = 80 ч. и σ = 20 ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 60 ч.

Решение:

P(t) = 0,5 – Ф₀ ( )

P(60) = 0,5 - Ф₀ ( ) = 0,5 - Ф₀ (-1) = 0,5 + Ф₀ (1) = 0,8413.

 

Распределение Вейбулла

 

Распределение Вейбулла применяется в моделях со «слабым звеном», а также в сложных системах в случаях если система состоит из группы независимых элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу всей системы. Наряду с логарифмически-нормальным распределением распределение Вейбулла хорошо описывает наработку деталей по усталостным разрушениям, наработку до отказа подшипников и др.

Распределение Вейбулла является достаточно универсальным, благодаря возможности варьирования двумя его параметрами: α – параметр формы и β – параметр масштаба.

Плотность распределения вероятностей (рис. 3.3 г):

f(t) = αβ .

Установлены следующие закономерности возникновения отказов:

§ внезапные отказы – экспоненциальному закону;

§ постепенные отказы – подчиняются нормальному закону распределения;

§ отказы из-за старения материалов – закону Вейбулла.

Доверительный интервал

 

Статистическая величина может быть определена с заданной доверительной вероятностью точечной и интервальной оценкой вида α = α_{ср ±} 𝛥.

Точечная оценка выражается одним числом α_ср и характеризует одно наиболее вероятное значение из возможных значений случайной величины (среднее арифметическое).

Интервальная оценка (± 𝛥) задает область значений относительно точечной оценки, в которой будут находиться значения случайной величины с заданной доверительной вероятностью β. 

Значение половины доверительного интервала 𝛥 вычисляется из выражения

𝛥 = t_β σ,

где t_β – значение критерия Стьюдента при заданной доверительной вероятности β (определяется по справочным таблицам); σ – величина среднего квадратического отклонения, полученная экспериментальным путем.

 

Контрольные вопросы

 

1. Что должна охватывать и что обеспечивать система сбора и обработки эксплуатационной информации?

2. Возможность решения каких задач должны обеспечить результаты сбора и обработки статистической и информации о надежности объектов?

3. Назовите четыре метод сбора информации о надежности машин в период эксплуатации.

4. Назовите пять этапов построения эмпирического распределения и статистической оценки его параметров.

 5. Какая проверка производится по критерию Пирсона χ₂ (хи квадрат)?

 6. Что характеризует дисперсия D?

 7. Перечислите четыре основных закона распределения случайных величин в теории технической эксплуатации автомобилей и области их применения.

 8. Понятие доверительного интервала.

 

Надежность сложных систем

 

Элементов

 

Вероятность безотказной работы системы при параллельном соединении элементов (рис. 4.1 в) определяется из выражения

Р(t)_пар = 1- _.

Например, если вероятность безотказной работы каждого элемента р _i = 0,99 и количество элементов равно 3, то

Р(t)_пар = 1- (1-0,99)³ = 0,999999.

 

Таким образом, вероятность безотказной работы системы с параллельным соединением элементов выше вероятностей безотказной работы ее элементов.

Системы со смешанным соединением элементов рассматриваются как совокупность отдельных подсистем с последовательным или параллельным соединениями. Производится расчет вероятностей безотказной работы каждой из подсистем отдельно, затем вычисляется общая вероятность безотказной работы системы как системы, состоящей из последовательно соединенных подсистемам.

 

Старение материалов

 

Старение материалов – процесс постепенного и непрерывного изменения физико-химических свойств материала во времени.

 Как правило, старение материалов приводит к ухудшению параметров изделия.

 

 

Трибологические отказы

 

Трибология – это наука, изучающая процессы изнашивания с учетом свойств материалов и смазки.

Трибологическая надежность – свойство изделия сохранять значения параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции, при функционировании в условиях трения и износа.

Показатели трибологической надежности в большинстве случаев могут быть выражены через скорость и интенсивность изнашивания. По статистике отказы из-за изнашивания составляют 50…80 % всех эксплуатационных отказов машин.

Изнашивание – это процесс отделения материала с поверхности твердого тела под действием силы трения.

Износ - результат процесса изнашивания, выраженный в установленных единицах измерения (например, микрометрах). При достижении износа предельно допустимых значений происходит отказ изделия.

Скорость изнашивания – отношение величины износа к интервалу времени, в течение которого он возник.

Интенсивность изнашивания – отношение величины износа к пути, на котором происходило изнашивание или к объему выполненной работы.

Классификация видов изнашивания деталей автомобилей приведена на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Виды изнашивания деталей автомобилей

Молекулярно-механическое изнашивание происходит в результате молекулярного взаимодействия трущихся поверхностей. Имеет место при недостатке смазки, больших давлениях, температурах и скоростях скольжения.

Схватывание – временное микросваривание участков трущихся поверхностей. Впоследствии при сохранении силового воздействия схватывание разъединяется.

Агдезия – сначала происходит процесс схватывания, затем схватывание разъединяется с втиранием одного материала в поверхность другого. При более жестких условиях трения разъединения не происходит и детали заклинивает (шейки коленвала, зеркала цилиндров).

Эрозийное изнашивание – вырывание частиц с поверхностей деталей, обдуваемых газами с высокой температурой и скоростью (камеры сгорания, выпускные клапаны). Подвид – электроэрозийное изнашивание: вырывание частиц под действием дуги электрического тока (контакты системы зажигания).

Кавитационное изнашивание происходит при омывании твердого тела жидкостью за счет локального изменения давлений и температур (лопасти водяного насоса).

Критериями отказов по коррозии являются величина коррозии и ее скорость. Данные параметры выражаются через параметры коррозионной стойкости, характеризующей способность металла сопротивляться коррозийному воздействию среды.

Коррозийная стойкость оценивается:

изменением в результате коррозии массы металла, отнесенной к единице поверхности и единице времени;

объемом выделяющегося в процессе коррозии водорода (или поглащения кислорода), отнесенным к единице поверхности и единице времени;

уменьшением толщины металла, выраженной в линейных единицах и отнесенным к единице времени;

изменением какого-либо показателя механических свойств за определенное время, выраженным в процентах, или временем до разрушения образца заданных размеров;

временем до появления первого коррозионного очага;

Диаграмма изнашивания

Процесс изнашивания поверхностей деталей подразделяется на три периода (рис. 5.2.):

Период приработки;

Рис. 5.2. Диаграмма изнашивания деталей автомобиля.

В период приработки t₁ происходит  макро- и микрогеометрическая приработка поверхностей трения деталей. Для большинства элементов автомобилей полная приработка составляет 3…3,5 % от их ресурса до капитального ремонта или списания.

В период стабильного изнашивания t₂  происходит постепенное умеренно ускоряющееся изнашивание деталей. Это эксплуатационный период, составляющий до 95 % ресурса, в течение которого автомобиль работает при относительно стабильных технических характеристиках.

С началом периода предельного изнашивания t₃ наблюдается прогрессирующее изнашивание. Оно происходит после наступления предельного состояния конструктивных элементов автомобиля. Эксплуатация автомобиля в этот период неэффективна и опасна.

Контрольные вопросы

 

1. Что является основной причиной эксплуатационных отказов автомобилей?

2. Понятие старения материалов.

3. Понятия прочности, упругой и пластичной деформации, хрупкого и пластичного изломов. Ползучесть материала.

4. Понятие трибологии. Трибологическая надежность. Износ. Классификация видов изнашивания деталей автомобилей.

5. Отказы по параметрам коррозии.

6. Диаграмма изнашивания деталей автомобиля

Построение эмпирического распределения и статистическая оценка его параметров

Исходной информацией, являющейся основой для построения эмпирического распределения, является таблица данных, полученных методами сбора эксплуатационной информации или в результате экспериментальных исследований рассматриваемого параметра изделия. Дальнейшая обработка данной информации производится в несколько этапов:

1. Предварительная обработка информации

В задачи предварительной обработки информации входит систематизация отказов, исключение заведомо грубых погрешностей замеров, сортировка данных по возрастанию их значений.

2. Разбивка интервалов

Ориентировочное количество интервалов К для построения гистограммы определяется из выражения:

К = 1 + 3,3 lg(n),

где n – объем выборки. При этом следует стремиться к тому, чтобы размер интервала являлся удобной для расчета круглой цифрой.

 

3. Построение гистограммы

Для оценки плотности вероятности отказов строится гистограмма. По оси абсцисс отложены временные интервалы (в часах) испытания изделия, а по оси ординат - количества выявленных отказов изделия в каждом из временных интервалов (плотность). На рис. 3.1 представлены примеры статистической функции плотности эмпирического распределения для экспоненциального и нормального распределений.

 

 

 

 

                                                           б

                                   а

Рис. 3.1. Статистическая функция плотности эмпирического распределения: экспоненциальное (а) и нормальное (б) распределения. 1 - гистограмма распределения случайной величины; 2 - кривая теоретической функции распределения случайной величины

 

 

4. Подбор теоретической функции распределения случайной величины

 

Для имеющихся данных подбирается теоретическая функция распределения, выражающая существенные моменты распределения и исключающая случайные моменты, связанные с незначительным объемом экспериментальных данных.

Вид такой функции, как правило, зависит от вида процессов, влияющих на изменение случайной величины. Часто он определяется внешним видом гистограммы. Наиболее часто применяющиеся для аппроксимации функции рассмотрены далее в разделе «Основные законы распределения». Найденные ранее экспериментальные значения подставляют в функцию и рассчитывают ее теоретические значения в тех же интервалах.

Для нормального распределения количество отказов в интервале от - σ до + σ от среднего значения составляет 68,26 %; в интервале от - 2σ до + 2σ – 95,44 %; в интервале от - 3σ до + 3σ – 99,7 %. Если распределение отвечает указанным требованиям, то это распределение является нормальным. Данное положение называют правилом трех сигм.

Подбор теоретической функции распределения случайной величины может производиться и по рассчитанному значению коэффициента вариации V: при V = 0,10…0,33 события (отказы) могут быть описаны нормальным законом распределения; при V = 0,34…0,50 – логарифмически-нормальным распределением; при V > 0,50 - экспоненциальным распределением.

 

 

5. Проверка правильности выбора функции распределения

 

Проверка согласованности экспериментальных и рассчитанных по аппроксимирующей функции данных производится по критерию Пирсона χ₂ (хи квадрат).

χ₂ =  ,

где P_i – экспериментально полученная частота случайной величины в интервале i; P_рi – расчетная частота случайной величины в интервале i.

Полученное расчетное значение сравнивают с табличным: χ_{2 <} χ_2табл. Если данное условие не выполняется необходимо подобрать иной закон распределения и повторить проверку.

При проведении статистической оценки параметров распределения случайной величины используются следующие основные показатели.

Среднее значение  Т_ср

Т_ср =

где t_i - значение, соответствующее середине i-го интервала; n_i – число отказов в данном интервале; N – число наблюдаемых объектов.

.

 

Дисперсия D - мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от среднего значения

D = .

Среднее квадратическое отклонение σ - также как и дисперсия D является мерой разброса данной случайной величины.

σ =

Большое значение среднеквадратического отклонения или дисперсии показывает большой разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; маленькое значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

Для нормального распределения количество отказов в интервале от - σ до + σ от среднего значения составляет 68,26 %; в интервале от - 2σ до + 2σ – 95,44 %; в интервале от - 3σ до + 3σ – 99,7 %. Если распределение отвечает указанным требованиям, то это нормальное распределение. Это называется правилом трех сигм.

 

Коэффициент вариации V - мера относительного разброса случайной величины. Показывает какую долю среднего значения этой величины составляет её средний разброс. Исчисляется в процентах. В отличие от среднего квадратического отклонения измеряет не абсолютную, а относительную меру разброса значений признака в статистической совокупности.

V = σ/ Т_ср

123456Следующая ⇒

Поделиться: