Правила записи приближенных чисел.

Пусть приближенное число а* задано в виде конечной десятичной дроби:

                   а* = a _n a _n-1… a₀ × b₁ b₂… b _m.

Значащими цифрами числа а* называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева.

 

Пример. Число а* = 0.0103 имеет три значащие цифры, число  а* = 0.0103000 – 6 значащих цифр.

Значащую цифру числа а* называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

 

Пример. Если  = 2× 10^-6, то число а* = 0.010300 имеет 4 верные значащие цифры (подчеркнуты).

Широко распространенной ошибкой при записи приближенных чисел является отбрасывание последних значащих нулей, даже если они представляют собой верные цифры.

Верная цифра приближенного числа, вообще говоря, не обязательно совпадает с соответствующей цифрой в записи точного числа.

Пример. Пусть а = 1.00000, а* = 0.99999. Тогда D(а*) = 0.00001 и у числа а* все подчеркнутые цифры верные, хотя они и не совпадают с соответствующими цифрами числа а.

Количество верных значащих цифр числа тесно связано с величиной его относительной погрешности. Эту связь можно сформулировать в виде следующих утверждений.

1. Если число а* содержит N верных значащих цифр, то справедливо неравенство 

d(а*) £ (10^N-1-1)^-1 » 10^-N+1.

2. Для того, чтобы число а* содержало N верных значащих цифр, достаточно, чтобы было выполнено неравенство d(а*) £ (10^N+1)^-1 » 10^-N.

3. Если число а* имеет ровно N верных значащих цифр, то 10^-N-1< d(а*)< 10^-N+1 и, таким образом, d(а*) ~ 10^-N (знак ~ означает равенство порядков величин).

Пример. Что можно сказать об относительной погрешности числа а*, если оно содержит 3 верные цифры? В силу утверждения 1 имеем d(а*)< 10^-2 = 1%.

С какой относительной точностью следует найти число а*, чтобы верными оказались 6 значащих цифр? Из утверждения 2 следует, что достаточно найти а* с относительной точностью e » 10^-6.

Границы абсолютной и относительной погрешностей принято записывать не более чем с двумя значащими цифрами. Большая точность в записи этих величин, как правило, не имеет смысла, т.к. они обычно являются довольно грубыми оценками истинных значений погрешностей, и кроме того, для практических целей часто бывает достаточно знать только порядок погрешностей.

Тот факт, что число а* является приближенным значением числа а с верхней границей абсолютной погрешности  принято записывать в виде     .

Как правило, числа а* и  указывают с одинаковым числом цифр после десятичной точки.

Пример. Пусть для числа а* известны приближенное значение а* = 1.648 и граница абсолютной погрешности  = 0.002832. Тогда можно записать а= 1.648 ± 0.003.

Тот факт, что число а известно с относительной точностью  принято записывать в виде

 

Округление.

Часто возникает необходимость в округлении числа а, т.е. замене его числом а* с меньшим числом значащих цифр. Возникающая при такой замене погрешность называется погрешностью округления.

Существует несколько способов округления числа до п значащих цифр:

- усечение, т.е. отбрасывание всех цифр, расположенных справа от п-ой значащей цифры;

- более предпочтительным является округление по дополнению: если первая слева из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняемые цифры остаются без изменения, в противном случае в младщий сохраняемый разряд добавляется единица.

Абсолютная величина погрешности округления при округлении по дополнению не превышает половины единицы разряда, соответствующего последней оставляемой цифре, а при округлении усечением – единицы того же разряда. Границы абсолютной и относительной погрешностей принято всегда округлять в сторону увеличения.

 

Погрешности арифметических операций над приближенными числами.

Пусть a * и b * - приближенные значения чисел a и b. 

Теорема 1. Абсолютная погрешность алгебраической суммы не превосходит суммы абсолютных погрешностей, т.е.

                              D(a * ± b *) £ D(a *) + D(b *). (5)

Доказательство.

D(a* ± b*) = ½ (a ± b) - (a* ± b*)½ =½ (a – a*) ± (b – b*)½ £ D(a*) + D(b*).

 

Теорема 2. Пусть a и b - ненулевые числа одного знака. Тогда справедливы неравенства

                   d(a * ± b *) £ d_max, d(a * ± b *) £ nd_max,                             (6)

где d_max = max{d(a*),  d(b*)}, n = ½ a + b½ /½ a - b½.

Погрешность функции.

Пусть f( x) = f( x₁, x₂, …, x_m) – дифференцируемая в области G функция т переменных, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях аргументов х₁*, х₂*, …, х_т*. Такая ситуация возникает например, всякий раз, когда на ЭВМ производится расчет по формуле. Важно знать, какова величина неустранимой ошибки, вызванной тем, что вместо значения y = f( x) в действительности вычисляется значение y* = f( x*), где х* = (х₁*, х₂*, …, х_т*).

Введем определение отрезка в т-мерном пространстве. Отрезком, соединяющим точки х и х* в т-мерном пространстве, называется множество точек вида aх+(1- a)х*, 0 £ a£ 1. Пусть [х, х*] – отрезок, соединяющий точки  х и х*, и .

 

Теорема 3.

Для абсолютной погрешности значения у* = f( x*) справедлива следующая оценка:

                   .                               

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: