Глава I . Теоретические основы методики обучения решению составной задачи

 

 1.1.Задача, её  элементы. Виды задач. Способы решения задачи

Ожегов С.И. в своем словаре дал следующее толкование «задачи»:

1 - то, что требует исполнения, разъяснения;

2 - упражнение, которое выполняется, решается посредствам умозаключения, вычисления и т. п.

В учебнике Моро М.И. дано такое определение:

«Задача – это сформулированный вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий.»[10; с.111]. Они имеют житейское, физическое содержание, а также текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения.

Из самого определения задачи вытекает, что в ней обязательно должен быть заключен какой-то вопрос. Без вопроса задачи нет. Поскольку ответ на вопрос задачи должен быть получен в результате арифметических действий, очевидно, в ней должно заключаться требование узнать то или иное число (или числа) – искомое и, кроме того, в задаче должны быть указаны те числа, с помощью действий над которыми может быть найдено искомое. Поэтому обязательными элементами всякой арифметической задачи являются неизвестное (искомое) число (или несколько чисел) и данные числа. [10; с.111.]

Основная особенность сюжетных текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие должно быть выполнено над данными числами для получения искомого. Текст задачи должен, поэтому содержать какие-то косвенные указания на ту связь, которая существует между данными числами и искомыми и которая определяет выбор нужных арифметических действий и их последовательности. Это условие задачи. Условие, которое призвано раскрыть связь между данными и искомым, естественно, включает числовые данные задачи.

Итак, элементы задачи – условие и вопрос. Числовые данные представляют собой элементы условия. Искомое всегда заключено в вопросе. Однако в некоторых случаях задача формулируется так, что вопрос может включить в себя часть условия или вся задача излагается в форме вопроса. [4, с. 159.]

Остановимся на вопросе классификации задач.

  Математическими считаются все задачи, в которых переход от на­чального состояния (условия) к конечному (заключению) осуществляется математиче­скими средствами, т.е. математическим характером компонентов: обоснование (базис решения) и решение (преобразование условия задачи для нахождения, требуемого заключением искомого).

Если все компоненты задачи (условие, обоснование, решение, за­ключение) — математические объекты, то задача называется чисто ма­ тематической; если математическими являются только компоненты решение и базис решения, то задача называется прикладной математи ческой задачей.

На основе рассмотренной модели общего понятия задачи и ее ос­новных компонентов строят дидактически направленную модель ти­пологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опы­том обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме сформулирована задача и т.д.

Проблемный характер задачной системы определяется тем, какие из основных компонентов задачи неизвестны.

Стандартной называется задача, в которой четко определено условие, известны способ решения и его обоснование, а также даны упраж­нения на воспроизведение известного. Задача называется обучающей, если в ней неизвестен или плохо определен один из основных компо­нентов. Если неизвестны два компонента, задача называется поисковой, а если три – проблемной.

В научной и методической литературе встречается следующая классификация задач: на вычисление, на доказательство, на построение, на исследование, однако такое деление не может быть инструментом в обучении школьников решению задач, потому что задачи этих видов не от­личаются друг от друга уровнем сложности, характером деятель­ности человека по их решению. Например, в задачах на вычисле­ние и построение приходится много доказывать, а в задачах на построение и доказательство приходится много исследовать и т.д., поэтому такая классификация задач ничего не дает. Кроме того, задачи делят на правильные, с противоречивыми данными, с лиш­ними данными, теоретические и практические, стандартные и не­стандартные и т.д.

Темербекова А.А. предлагает такую классификацию задач, учитывающую характер связей между элементами задачи, соотношение между воспроизводящей и творческой деятельностью учеников: алгоритмические задачи; полуалгоритмические задачи; эвристические задачи.

Алгоритмические задачи — задачи, которые решаются с помощью непосредственного применения определения, теоремы, т.е. для реше­ния которых имеется алгоритм. Например, задача на нахождение гипо­тенузы в прямоугольном треугольнике по известным катетам по фор­муле Пифагора. Применение алгоритма быстро и легко приводит к желаемому результату.

Полуалгоритмические задачи — задачи, правила решения которых носят обобщенный характер и не могут быть полностью сведены к объ­единению элементарных актов. Связи между элементами этих задач легко обнаруживаются учениками. Полуалгоритмические задачи в ка­честве подзадач содержат алгоритмические задачи. Например, извест­ны стороны треугольника и высота, опущенная на основание. Необхо­димо найти периметр треугольника.

Решая полуалгоритмические задачи, ученик учится «сворачивать» знания, фиксируя их в сознании крупными блоками. При этом он на­чинает применять усвоенные алгоритмы в разных ситуациях.

Эвристические задачи — задачи, для решения которых необходи­мо выявить некоторые скрытые связи между элементами условия и требования или найти способ решения, причем этот способ не явля­ется очевидной конкретизацией некоторого обобщенного правила, известного ученику, или сделать и то и другое. Например, известны стороны треугольника. Нужно найти расстояние от середины высо­ты, проведенной к меньшей стороне, до большей стороны треуголь­ника.

При решении эвристических задач ученик должен использовать эвристические приемы и методы.[14; с. 76]

Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий, связанных между собой (независимо от того, будут ли это разные или одинаковые действия), называется составной.

Простые задачи можно разделить на виды либо в зависимости от действий, с помощью которых они решаются (простые задачи, решаемые сложением, вычитанием умножением, делением), либо в зависимости от тех понятий, которые формируются при их решении.

Для составных задач нет такого единого основания классификации, которое позволило бы с пользой для дела разделить на определенные группы. Однако по методическим соображениям целесообразно выделить из всего многообразия задач некоторые группы, либо математической структурой (например, задачи, в которых надо сумму разделить на число), либо способом решения (например, задачи, решаемые способом нахождения значения постоянной величины), либо конкретным содержанием (например, задачи, связанные с движением). [1; с. 172]

 В начальных классах рассматривается решение  составных задач, связанных с пропорциональными величинами: задачи на нахождение четвертого пропорционального (на простое тройное правило), на пропорциональное деление и на нахождение неизвестных по двум разностям, кроме того, специально рассматриваются задачи, связанные с движением.

Решение этих задач основывается на знании соответствующих связей между величинами; например, если известны цена товара, его количество, то можно найти стоимость, выполнив действия умножения. Следовательно, для успешной работы по решению задач этих видов надо предусмотреть в подготовительной работе знакомство с новыми величинами и раскрытие связей между ними.

В задачах на нахождение четвертого пропорционального даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым.

Задачи на пропорциональное деление включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми.

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми.

В последние годы помимо учебников М.И. Моро с соавторами появились учебники по математике для начальных классов других авторов, предусматривающие повышение уровня сложности текстовых задач. Так, например, в учебнике И.И. Аргинской и Л.Г. Петерсон встречаются задачи на нахождение неизвестного по их сумме и отношению, на исключение неизвестных при помощи вычитания и другие виды задач.

     Способырешения задач

   Решить задачу - это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи (ответить на ее вопрос).[15; с.420] Составную задачу, как и простую можно решить, используя различные способы. В качестве основных в математике различают арифметические и алгебраические способы решения задач. Начальный курс математики ставит своей основной целью научить решать младших школьников задачи арифметическим способом.

 При помощи этого способа ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами. Различные арифметические способы решения одной и той же задачи отличаются отношения между данными, данными и неизвестными, данными и искомым, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий. Решение текстовой задачи арифметическим способом - это сложная деятельность, содержание которой зависит как от конкретной задачи, так и от умений решающего. При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления решения уравнения. При решении любой задачи алгебраическим способом после анализа содержания задачи выбирается неизвестное, обозначается буквой, вводится в текст задачи, а затем на основе выделенных в содержании задачи зависимостей составляются два выражения, связанные отношением равенства, что позволяет записать соответствующее уравнение. Найденные в результате решения уравнения корни осмысливаются с точки зрения содержания задачи, а корни несоответствующие условию задачи отбрасываются. Если буквой обозначено искомое, оставшиеся корни могут сразу дать ответ на вопрос задачи. Если буквой обозначено неизвестное, не являющееся искомым, то искомое находится на основе взаимосвязей его с тем неизвестным, которое было обозначено буквой. Алгебраический метод решения задач развивает теоретическое мышление, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и, кроме того, обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время.

Не следует путать такие понятия, как: решение задач различными способами; различные формы записи арифметического способа решения задачи (по действиям, выражением, по действиям с пояснением, с вопросами) и решение задачи различными арифметическими способами. В последнем случае речь идет о возможности установления различных связей между данными и искомыми, а, следовательно, о выборе других действий или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи.

 В начальном курсе обучения дети также знакомятся с графическим способом. Опираясь только на чертеж легко дать ответ на вопрос задачи. Иногда решение задачи графическим способом связано не только с построением отрезков, но и с измерением их длин. Графическая модель – наиболее удачная опора для построения мысленной модели задачи: с одной стороны, она достаточно конкретна, воспринимаема зрительно, с другой – полностью отражает внутренние связи и количественные соотношения в задаче. [8; 200.]

В числе способов решения задач можно назвать схематическое моделирование. В отличие от графического способа решения, который позволяет ответить на вопрос задачи, используя счет и присчитывание, схема моделирует только связи и отношения между данными и искомыми. Эти отношения не всегда возможно, а порой даже нецелесообразно представлять в виде символической модели (выражение, равенство). Тем не менее, моделирование текста задачи в виде схемы иногда позволяет ответить на вопрос задачи.

Также выделяют логический способ решения – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения.

Решить задачу практическим методом – значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т. д.). Не всякая задача решается практически. В, частности, задачи на движение и на работу, в которых речь идет о больших - расстояниях или длительных временных интервалах, невозможно решить практически.

Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов: алгебраический и арифметический; арифметический и практический; и т. п. в этом случае считают, что задача решается комбинированным (смешанным) методом. [15; 650.]                                                                                                                                                                                                                                                                         

Таким образом, задача - это сформулированный вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий. Она состоит из условия и вопроса. Существуют различные классификации задач: по характеру связей между элементами задачи, по количеству действий которые необходимо выполнить для решения задачи и др. В качестве основных способов решения составных задач в математике различают арифметические и алгебраические способы.

Этапы решения  задачи

     Процесс решения каждой арифметической задачи осуществляется поэтапно, независимо от способа решения.

Рассмотрим возможный план работы учащихся над  задачей:

1.Анализ текста задачи;

2. Схематическая запись условия;

3. Поиск решения; составление плана решения;

4. Осуществления плана решения задачи;

12345Следующая ⇒

Поделиться: