Задачи на пропорциональное деление

 

В 3 классе вводятся  составные задачи новой математической структуры: задачи на пропорциональное деление разных видов. Раскроем особенности работы по решению этих составных задач.

Задачи на пропорциональное деление включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или более постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью, а две с обратно пропорциональной зависимостью. [1; с. 232.]

В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин. (см. приложение 4)

 Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовав задачу на нахождение четвертого пропорционального. В том и другом случае успех решения задач на пропорциональное деление будет определяться твердым умением решать задачи на нахождение четвертого пропорционального, поэтому в качестве подготовки надо предусмотреть решение задач соответствующего вида на нахождение четвертого пропорционального. Это поможет детям увидеть связи между задачами этих видов, что быстрее приведет учащихся к обобщению способа их решения. Именно поэтому предпочтительней второй из названных вариантов введения задач на пропорциональное деление. Переходя к решению готовых задач из учебника, а также задач, составленных учителем, включающих различные группы величин, сначала надо установить, о каких величинах идет речь в задаче, затем записать задачу кратко в таблице, предварительно расчленив вопрос задачи на два вопроса, если в нем есть слово «каждый». Решение, как правило, ученики выполняют самостоятельно, разбор ведется только с отдельными учениками. Вместо краткой записи можно сделать рисунок. Например, если в задаче говорится о кусках материи, мотках проволоки и т.п., то их можно изобразить отрезками, записав соответствующие числовые значения данных величин. Заметим, что не следует каждый раз выполнять краткую запись или рисунок, если ученик, прочитав задачу, знает, как ее решить, то пусть решает, а краткой записью или рисунком воспользуются те, кто затрудняется решить задачу. Постепенно задачи должны усложняться путем введения дополнительных данных (например, 'В первом куске было 16 м материи, а во втором в 2 раза меньше') или постановкой вопроса (например: 'На сколько метров материи было больше в первом куске, чем во втором? ). При ознакомлении с решением задачи на пропорциональное деление можно иди другим путем: сначала решить готовые задачи, а позднее выполнить преобразование задачи на нахождение четвертого пропорционального в задачу на пропорциональное деление и после их решения сравнить как сами задачи, так и их решения. Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают упражнения творческого характера. Назовем некоторые из них. До решения полезно спросить, на какой из вопросов задачи получится в ответе большее число и почему, а после решения проверить, соответствую ли этому виду полученные числа, что явится одним из способов проверки решения. Можно далее выяснить, могли ли получиться в ответе одинаковые числа, и при каких условиях. Полезны упражнения на составление задач учащимися с последующим решением их, а также упражнения по преобразованию задач. Это, прежде всего, составление задач, аналогичных решенной. Так, после решения задачи с величинами: ценой, количеством и стоимостью - предложить составить и решить похожую задачу с теми же величинами или с другими, например скоростью, временем и расстоянием. Это составление задач по их решению, записанному как в виде отдельных действий, так и в виде выражения, это составление и решение задач по их краткой схематической записи. Ученики называют величины, подбирают и называют соответствующие числовые данные, формулируют вопрос и решают составленную задачу. Такую схематическую запись можно выполнить на листе бумаги, причем название величин можно записать на карточках и вставить их в верхнюю графу (цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса и др.). Можно предлагать для составления задач краткую запись с числовыми данными или рисунок. Позднее, после рассмотрения задач на пропорциональное деление второго вида и задач на нахождение неизвестных по двум разностям можно выполнить упражнения на преобразование задачи одного вида в другой, а после их решения выполнить сравнение самих задач и решений этих задач.

Работа по ознакомлению с решением задач на пропорциональное деление второго вида может быть проведена аналогично рассмотренной. При решении задач этого вида ученики должны выполнять работу с большей долей самостоятельности, поскольку эти задачи сходны с задачами ранее рассмотренного вида (их решение отличается последними действиями: если ранее это было умножение, то здесь - деление). Однако сходство задач приводит к ошибкам: некоторые ученики смешивают решения этих задач, выполняя вместо деления умножение. Одним из средств предупреждения таких ошибок служит решение пар задач различного вида и последующее сравнение самих задач, а также их решений. Приведем пару таких задач: 1) В столовую в первую неделю привезли 4 одинаковых мешка крупы, а во вторую - 5 таких же мешков. Всего за эти две недели привезли 540 кг крупы. Сколько килограммов крупы привезли в каждую неделю? 2) В столовую за две недели привезли 9 одинаковых мешков крупы. В первую неделю привезли 240 кг крупы, а во вторую - 300 кг. Сколько мешков крупы привезли в каждую неделю. Записав каждую задачу кратко, ученики легко установят, в чем их сходство и в чем различие. После решения этих задач дети должны установить сначала сходство решений (обе задачи решаются четырьмя действиями, два первых действия одинаковые), а затем - различие (в первой задаче два последних действия - умножение, а во второй - деление). Заметим, что пары таких задач включены в учебник.

Таким образом,  задачи на пропорциональное деление - задачи, включающие в себя две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или более постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Задачи этого вида решаются и по действиям и с помощью составления выражений.

 2.3. Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям

 

Включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. [1; с. 233.]

 По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Однако в начальных классах ограничиваются рассмотрением двух следующих видов задач (см.приложение5)

Сначала рассматриваются задачи I вида, а затем II. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

 До ознакомления с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям важно предусмотреть специальные подготовительные упражнения, с помощью которых раскрывается основная проблема задачи.

В качестве п о д г о т о в и т е л ь н ы х у п р а ж н е н и й к введению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы  и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями, например:

1) Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них больше уплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько уплатила сестра?

2) Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 9 руб. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?

Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям, что брат купил столько же тетрадей, сколько сестра, и еще 9 руб. Отсюда можно заключить, что три тетради стоят 9 руб., значит, можно узнать, сколько стоит одна тетрадь.

Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин.

После  подготовительных упражнений можно перейти к ознакомлению с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Здесь, как и при ознакомлении с задачами на пропорциональное деление, можно использовать различные пути: можно сначала составить задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, преобразовав знакомую задачу на нахождение четвертого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу. В том и в другом случае надо записать кратко в таблице или выполнить рисунок и после того коллективного составления плана записать решение (лучше отдельными действиями с пояснениями).

 На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать упражнения аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида. По аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решении. Полезны также упражнения по сравнению задач на пропорциональное деление и задач соответствующего вида на нахождение неизвестных по двум разностям.

Итак,  задачи на нахождение неизвестного по двум разностям – задачи, которые включают две переменные величины и одну постоянную, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

Задачи на движение

 

Задачи, связанные с движением, рассматриваемые в начальных классах, включают в себя описание процесса движения одного или двух тел. Эти задачи  по существу математических зависимостей между величинами, входящими в задачу, структуре и их моделей нельзя отнести к особому виду задач. В качестве примера рассмотрим пару задач и их решения:

1.А) Из двух городов, находящихся на расстоянии 280 км, выехали одновременно две машины. Через сколько часов машины встретятся, если скорость первой машины 60 км/ч, второй – 80 км/ч.

Б) Двум мастерам нужно изготовить 280 одинак4овых деталей. За сколько часов они могут это сделать вместе, если первый за 1 ч изготавливает 60 деталей, а второй 80 деталей?

Приведем арифметические и алгебраические способы решения этой пары задач:

          280: (80+60)=2                    (80+60)*х=240

2.А) За 6 часов рабочий изготовил 120 одинаковых деталей. Сколько деталей он изготовит за 3 часа?

Б) Пароход прошел 120 км за 6 ч. Сколько километров он пройдет за 3 ч, если будет идти с той же скоростью?

Эту пару задач можно решить тремя способами:

1-й способ              2-й способ              3-й способ

1) 120: 6=20             1)6: 3=2                   6ч=380 мин

2) 20*3=60              2) 120: 2=60            3ч=180мин

                                                                     1)360: 120=3

                                                                     2)180: 3=60

Как видим, структура, модели и способы решения как арифметические, так и алгебраические полностью совпадают. Но задачи связанные с движением, традиционно выделяют в особый тип, так как эти задачи имеют свою особенность. Особенность состоит в том, что они построены на основе функциональной зависимости между величинами: скоростью, временем и расстоянием.

Подготовительная работа к решению задач связанных с движением, предусматривает: обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной – скоростью, раскрытие связей между величинами: скорость, время, расстояние.

С целью обобщения представлений детей о движении полезно провести специальную экскурсию по наблюдению за движением транспорта, после чего провести наблюдение в условиях класса, где движение будут демонстрировать сами дети. На экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух тел относительно друг друга. Так, одно тело (машина, человек, ит.п.) может двигаться быстрее и медленнее, может остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в противоположных направлениях: либо приближаться друг к другу (двигаясь на встречу одно к другому), либо удаляясь одно от другого. Наблюдая указанные ситуации в условиях класса, надо показать детям, как выполняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком; место (пункт) отправления, встречи, прибытия и т.п. обозначают либо черточкой, либо флажком; направление движения указывают стрелкой.

При ознакомлении со скоростью целесообразно так организовать работу, чтобы учащиеся нашли скорость своего движения пешком. Для этого можно начертить во дворе, в спортзале или коридоре «замкнутую дорожку». На дорожке надо отметить расстояние по 10 м, чтобы удобнее было находить, какой путь прошел каждый ученик. Учитель предлагает идти по дорожке, например, в течение 4 мин. Учащиеся сами легко найдут по десятиметровым отметкам пройденное расстояние. На уроке каждый из детей может вычислить, какое расстояние он проходит за 1 мин. Учитель сообщает, что расстояние, которое прошел ученик за минуту, называют его скоростью. Ученики называют свои скорости. Затем учитель называет скорости некоторых видов транспорта.

Раскрытие связей между величинами: скорость – время – расстояние ведется по такой же методике, как и раскрытие связей между другими пропорциональными величинами. В результате решения соответствующих простых задач ученики должны усвоить такие связи:

если известны расстояние (S) и время (t) движения, то можно найти скорость (v) действием деления;    v=S: t

если известны скорость (v) и время (t) движения, то можно найти расстояние (S)действием умножения;  S=v*t

если известны расстояние (S)и скорость (v), то можно найти время (t) движения действием деления t=S: t.

Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать составные задачи, в том числе и задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям с величинами: скорость, время, расстояние. При работе над этими задачами надо чаще использовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертеж помогает правильно представить жизненную задачу, отраженную в задаче.

Так же как и при решении задач других видов, следует включать упражнения творческого характера на преобразование и составление задач.

Среди составных задач особое внимание должно быть уделено задачам на встречное движение и в противоположных направлениях. Содержание этих задач включает новый элемент: здесь представлено совместное движение двух тел, что требует специального рассмотрения. До введения задач на встречное движение важно провести соответствующую подготовительную работу. Надо познакомить с движением двух тел навстречу друг другу. Такое движение могут продемонстрировать в классе вызванные ученики. Например, два ученика-пешехода начинают двигаться одновременно от двух противоположных стен навстречу друг другу, а при встрече останавливаются. Ученики наблюдают, что расстояние между пешеходами все время уменьшалось, что, встретившись, они прошли все расстояние от стены до стены, и что каждый затратил на движение до встречи одинаковое время. Под руководством учителя выполняется чертеж. Можно провести наблюдение на улице за движением автомашин, пешеходов, велосипедистов и т.п. Расширить представления учащихся о встречном движении можно попутно с решением задач из учебника. С помощью упражнений надо выяснить, что значит 'вышли одновременно' пешеходы, автомашины и т. п. и что при этом они были в пути до встречи одинаковое время. Необходимо также, чтобы ученики твердо усвоили связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием при равномерном движении, т. е. умели решать соответствующие простые задачи. При ознакомлении с решением задач на встречное движение можно на одном уроке ввести три взаимно обратные задачи. Сначала предложить задачу на нахождение расстояния, которое пройдут до встречи при одновременном выходе пешеходы, велосипедисты, поезда и т. п., если известны скорость каждого и время движения до встречи.

 Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проводя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин и т. п.) при одновременном их выходе из одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж. При ознакомлении с решением задач этого вида тоже можно на одном уроке решить три  взаимно обратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решении. На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение и движение в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач. На этом этапе эффективны упражнения на составление различных задач на движение по данным в таблице значениям величин и соответствующим выражениям.

Таким образом, специфика этих задач обуславливается введением такой величины, как скорость движения, а также использованием при их решении схем, которые отражают не отношения между величинами, а процесс движения и во многом облегчают поиск решения.

    

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: