Выражение векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора и определены своими декартовыми прямоугольными координатами

, ,

то векторное произведение этих векторов имеет вид

(1).

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель и переписать формулу в виде

Раскрывая определитель по элементам первой строки, получим разложение вектора по базису i, j, k, эквивалентное (1).

Пример 5. Найти:

1) координаты векторного произведения векторов ;

2) длину векторного произведения векторов ,

если

Решение:

1)

Это означает, что можем записать координаты вектора, являющегося векторным произведением:

2)

Двойное векторное произведение

Пусть даны три произвольных вектора , и . Если вектор векторно умножается на вектор , а вектор также векторно умножается на векторное произведение , то получающийся при этом вектор называется двойным векторным произведением.

Правые и левые тройки векторов

Для того, чтобы получить векторное произведение двух векторов, необходимо, чтобы:

1) векторы были не коллинеарны;

2) векторы были взяты в определённом порядке.

Определённый порядок связан с понятием упорядоченных троек векторов. В этой тройке два вектора - перемножаемые векторы, а третий - векторное произведение этих векторов.

Определение 1. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой - вторым и какой - третьим.

При записи тройки векторов мы всегда будем располагать эти векторы в порядке их следования. Так, запись означает, что первым элементом тройки является вектор , вторым - вектор и третьим - вектор .

Определение 2. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если выполнено одно из следующих трёх условий:

1. если, будучи приведены к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки;

2. если после приведения к общему началу вектор располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами и , откуда кратчайший поворот от к представляется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке);

3. если, находясь внутри телесного угла, образованного приведёнными к общему началу векторами , , , мы видим поворот от к и от него к совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Условия 1, 2 и 3 эквивалентны между собой. С помощью каждого из приведённых условий можно убедиться в том, что тройка , изображённая на рис. 1, является правой, а тройка , изображённая на рис. 2, является левой.

Замечание. Понятие правой и левой тройки теряет смысл для компланарных векторов.

Если две тройки векторов либо обе являются правыми, либо обе являются левыми, то принято считать, что эти тройки одной ориентации. В противном случае - две тройки противоположной ориентации.

Всего из трёх векторов , и можно составить следующие шесть троек:

; ; (1)

; ; (2)

С помощью условия 3 определения 2 легко проверить, что все три тройки (1) той же ориентации, что и тройка , а все три тройки (2) имеют ориентацию, противоположную .

Определение 3. Аффинная или декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

Смешанное произведение векторов

Определение. Пусть даны три произвольных вектора , и . Если вектор векторно умножается на вектор , а затем получившийся при этом вектор скалярно умножается на вектор , то в результате получается число , называемое смешанным произведением векторов , и .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема 3. Смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах , и , взятому со знаком плюс, если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы , и компланарны, то равно нулю.

Следствие 1. Справедливо равенство .

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Следствие 3. Смешанное произведение трёх векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: