Тема 9. Теория массового обслуживания

Задание 1

Нарисуйте граф состояний для Марковской цепи, вероятности перехода которой заданы матрицей:

Решение

Задание 2

Напишите матрицу вероятностей перехода для цепи Маркова, соответствующую графу состояний:

Решение

Задание 3

Множество состояний студентов некоторого вуза с пятилетним сроком обучения следующие: - первокурсник, - второкурсник, …, - выпускник. Студенты могут выбывать из вуза в результате его окончания или отчисления, поэтому дополним систему состояниями: - специалист, окончивший вуз, - лица, обучавшиеся в данном вузе, но не окончившие его. Составить матрицу переходов из состояния в состояние и построить граф состояний, предполагая, что исключенные не могут быть восстановлены. (Пусть р – вероятность выбыть из института, r – перейти на следующий курс, q – остаться на этом курсе).

Решение

Задание 4

Для данной системы запишите уравнения Колмогорова

Решение

Задание 5.

Погода в некотором регионе через длительные периоды времени становится то дождливой, то сухой. Если идет дождь, то с вероятностью 0, 7 он будет идти на следующий день; если в какой-то день сухая погода, то с вероятностью 0, 6 она сохранится и на следующий день. Известно, что в среду погода была дождливая. Какова вероятность того, что она будет дождливой в ближайшую пятницу?

Решение

Задание 6

Автомашина может находится в одном из четырех состояний: исправна; неисправна, осматривается; ремонтируется; списана. Если машина исправна, то с вероятностью 0, 8 она может сломаться; если машина неисправна, то она с вероятностью 0, 7 ремонтируется или с вероятностью 0, 3 списывается; если же машина ремонтируется, то она с вероятностью 0, 6 становится исправной, либо с вероятностью 0, 4 продолжает ремонтироваться. Остальные переходы считать невозможными. Найти вероятность того, что машина будет исправна в субботу, если известно, что она была исправна в среду.

Решение.

Задание 7.

В некоторой местности климат весьма изменчив. Здесь никогда не бывает двух ясных дней подряд. Если сегодня ясно, то завтра с одинаковой вероятностью пойдет дождь или снег. Если сегодня снег (или дождь), то с вероятностью 0, 5 погода не изменится. Если все же изменится, то в половине случаев снег заменяется дождем или наоборот и лишь в половине случаев на следующий день будет ясная погода. Определить вероятность хорошей погоды через три дня после дождя.

Решение.

Задание 8

Предположим, что мужчин можно разделить по их профессиям на работников умственного труда, квалифицированных рабочих и неквалифицированных рабочих. Допустим, что 80% сыновей работников умственного труда становятся работниками умственного труда, 10% - квалифицированными рабочими и 10% - неквалифицированными рабочими. Пусть из сыновей квалифицированных рабочих 60% становятся квалифицированными рабочими, 20% - работниками умственного труда и 20% - неквалифицированными рабочими. Наконец, 50% сыновей неквалифицированных рабочих будут квалифицированными рабочими и по 25% пусть приходится на долю других категорий. В предположении, что каждый мужчина имеет одного сына, построить цепь Маркова с тремя состояниями, чтобы проследить за несколькими поколениями семьи. Выпишите матрицу вероятностей перехода. Найти вероятность того, что внук неквалифицированного рабочего станет работником умственного труда.

Задание 9..

В задании 9 предполагалось, что у каждого мужчины есть сын. Теперь допустим, что для мужчины вероятность иметь сына равна 0, 8. Образуем Марковскую цепь с четырьмя состояниями. Первые три состояния пусть будут те же, что и в задании9, а четвертое состояние отвечает случаю, когда мужчина не имеет сына, и процесс на этом заканчивается. Это состояние представляет те семьи, в которых мужская линия вымерла. Выпишите матрицу вероятностей перехода и найдите вероятность того, что внук неквалифицированного рабочего будет работником умственного труда.

Задание 10

Прибор состоит из трех узлов; поток отказов – простейший, среднее время безотказной работы каждого узла равно =10. Отказавший узел сразу начинает ремонтироваться; среднее время ремонта (восстановления) узла равно =5; закон распределения этого времени показательный (поток восстановлений – простейший). Найти среднюю производительность прибора, если при трех работающих узлах она равна 100%, при двух – 50% а при одном и менее – прибор вообще не работает.

Решение.

Задание 11.

Прибор состоит из двух элементов: основного и резервного, работающих параллельно. Поток отказов – простейший с интенсивностью l. Отказавший элемент сразу начинают ремонтировать, среднее время ремонта . Поток восстановлений – простейший. Найти вероятность безотказной работы прибора (т.е. его надежность), если прибор работает, когда работает хотя бы один элемент, если l=0, 6 и =28

Задание 12.

На телефонную линию приходят вызовы с интенсивностью 0, 8 (вызовов в минуту). Средняя продолжительность разговора 1, 5 мин. Все потоки событий – простейшие. Определить вероятность отказа .

Задание 13

На автозаправочной станции 1 колонка. Площадка при станции допускает пребывание в очереди двух машин; если она занята, то прибывшая к станции машина проезжает мимо. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность 0, 2 (машин в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 10 минут. Определить вероятность отказа.

Задание 14

На автозаправочной станции две колонки. Площадка при станции допускает пребывание в очереди 1 машины; если она занята, то прибывшая к станции машина проезжает мимо. Поток машин, прибывающий для заправки, имеет интенсивность 0, 2 (машины в минуте). Процесс заправки продолжается в среднем 5 минут. Определить вероятность отказа (т.е. вероятность того, что машина, прибывшая для заправки, проедет мимо).

Задание 15

На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью 2 (состава в час). Среднее время, в течение которого горка обрабатывает состав, равно 0, 4 часа. Составы, прибывшие в момент, когда горка занята, отправляются в другое место. Определить вероятность того, что прибывший состав будет разгружен на данной горке.

Задание 16

В телефонное справочное бюро поступают запросы с интенсивностью 3 (за минуту), среднее время ответа на вопрос 1 мин. Какова вероятность дозвонится и получить справку с первого раза, если работают параллельно три телефонистки?

Лабораторное занятие № 1

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒