ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы – экспериментальная проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера и определение моментов инерции тел простой формы.

Идея эксперимента

В эксперименте используется связь между периодом колебаний крутильного маятника и его моментом инерции. В качестве маятника выбрана круглая платформа, подвешенная в поле тяжести на трех длинных нитях (трифилярный подвес). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси. На платформу помещаются тела различной формы, измеряются периоды колебаний маятника и определяются значения моментов инерции этих тел. Теорема Гюйгенса – Штейнера проверяется по соответствию между экспериментальной и теоретической зависимостями моментов инерции грузов от их расстояния до центра платформы.

Теоретическая часть

Основное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид

, (7.1)

где w – угловая скорость вращения, J – момент инерции тела относительно оси вращения, М – момент внешних сил относительно этой оси.

Рис. 20. Устройство трифилярного подвеса.

Теорема Гюйгенса – Штейнера: если момент инерции тела относительно некоторой оси вращения, проходящей через центр масс, имеет значение J₀, то относительно любой другой оси, находящейся на расстоянии а от первой и параллельной ей, он будет равен

, (7.2)

где m – масса тела.

Для проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера в данной работе исследуются крутильные колебания твердого тела на трифилярном подвесе. Трифилярный подвес представляет собой круглую платформу радиуса R, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях одинаковой длины, укрепленных у ее краев (рис. 20). Наверху эти нити также симметрично прикреплены к диску несколько меньшего размера (радиуса r). Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси ОО¢ , перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Такое движение платформы приводит к изменению положения ее центра тяжести по высоте.

Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то приращение ее потенциальной энергии будет равно

, (7.3)

где g – ускорение силы тяжести. Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия (h = 0) с кинетической энергией, равной

, (7.4)

где J – момент инерции платформы, w₀ – угловая скорость вращения платформы в момент прохождения ею положения равновесия.

Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем:

. (7.5)

Считая, что платформа совершает гармонические крутильные колебания, можно записать зависимость углового смещения платформы a от времени t в виде

, (7.6)

где a – угловое смещение платформы, a₀ – угол максимального поворота платформы, т.е. амплитуда углового смещения, Т – период колебания. Для угловой скорости w, являющейся первой производной по времени от величины смещения, можно записать

. (7.7)

В моменты прохождения платформы через положение равновесия (t = 0, 0, 5Т, …) величина w(t) будет максимальна и равна

. (7.8)

Из выражений (7.5) и (7.8) следует, что

. (7.9)

Если l длина нитей подвеса, R – расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r – радиус верхнего диска (рис. 20), то легко видеть, что

(7.10)

Так как

, (7.11)

а при максимальном отклонении платформы от положения равновесия

, (7.12)

то

. (7.13)

При малых углах отклонения a₀значение синуса этого угла можно заменить просто значением a₀. Учитывая также, что при R < < l величину знаменателя можно положить равной 2l, получаем

(7.14)

При этом закон сохранения энергии (7.9) примет вид:

, (7.15)

откуда следует, что

. (7.16)

По формуле (7.16) можно экспериментально определить момент инерции пустой платформы или платформы с телом, положенным на нее, так как все величины в правой части формулы непосредственно измеряются. Следует помнить, что m – это суммарная масса платформы и исследуемого тела, положенного на нее.

Экспериментальная установка

Схема установки показана на рис. 20. Отношение радиуса платформы к длине нитей подвеса R/l < 0, 05, что соответствует приближениям, используемым при выводе формулы (7.16).

Тела на платформу необходимо класть строго симметрично, так, чтобы не было перекоса платформы. Для облегчения определения положения грузов и более точной их установки на платформе нанесены радиальные линии и концентрические окружности на определенном расстоянии друг от друга (5 мм).

Вращательный импульс, необходимый для запуска крутильных колебаний, сообщается платформе путем поворота верхнего диска вокруг оси. Это достигается с помощью рычага, закрепленного на верхнем диске. При таком возбуждении почти полностью отсутствуют другие виды колебаний, наличие которых затрудняет измерения. При измерениях недопустимо пользоваться амплитудами колебаний, большими 10°.

Измерение времени колебаний может проводиться или с помощью ручного секундомера или с помощью таймера.

Порядок выполнения работы

Задание 1.Измерение момента инерции пустой платформы

Измерения и обработка результатов

1. Момент инерции пустой платформы J_пл определяется по формуле (7.16). При этом период колебаний пустой платформы Т и его погрешность определяются на опыте, а величины l, R, r, m и их погрешности даются, как постоянные установки.

2. Сообщают платформе вращательный импульс и измеряют время t некоторого числа (N = 15 – 20)полных колебаний. Такие измерения повторяют 5 раз. Полученные результаты заносят в таблицу 1 отчета.

3. По экспериментальным данным для каждого опыта находят значение периода крутильных колебаний.

4. Находят среднее значение и полную погрешность периода колебаний. При этом систематическая погрешность в измерении периода может быть взята равной .

5. Вычисляют момент инерции платформы J_плЭ. Находят величину относительной и абсолютной погрешности для момента инерции платформы.

6. Рассчитывают теоретически момент инерции платформы J_пл_T, исходя из ее массы и размеров. Находят погрешность такого расчета.

7. Сравнивают измеренное на опыте и вычисленное теоретически значение момента инерции пустой платформы. Указывают на сколько процентов экспериментальное значение отличается от теоретического:

Задание 2. Определение моментов инерции тел заданной формы

Измерения и обработка результатов

1. Платформу поочередно нагружают исследуемыми телами таким образом, чтобы их центр масс совпадал с осью вращения платформы. В качестве исследуемых тел выбираются пластины, имеющие форму квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника, диска, а также другие тела правильной геометрической формы.

2. Измеряют время нескольких колебаний всей системы. Для каждого тела проводят измерения 3 – 5 раз. Результаты измерений заносят в таблицу 2 отчета.

3. Вычисляют моменты инерции нагруженных платформ J_N и их погрешности. При этом необходимо учесть, что в формулу (7.16) следует подставлять сумму масс тела и платформы, а в формуле погрешности погрешность массы равна суммарной погрешности массы платформы и тела.

4. Пользуясь тем, что момент инерции – величина аддитивная, вычисляют моменты инерции тел: J_Э = J_N – J_плЭ. Находят величину абсолютной и относительной погрешности для моментов инерции тел.

5. Проводят сравнение экспериментально полученных значений моментов инерции с рассчитанными теоретически (см. Приложение). Результаты расчетов заносят в таблицу 3 отчета.

Задание 3. Проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера

Измерения и обработка результатов

1. Для проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера используют два или несколько одинаковых тел, имеющих цилиндрическую форму.

2. Устанавливают грузы в центре платформы, положив их один на другой. Возбуждают крутильные колебания платформы. Измеряют время t нескольких колебаний (N = 15 – 20). Данные заносят в таблицу 4 отчета.

3. Располагают грузы симметрично на платформе относительно оси вращения. Проводят измерение времени колебаний для 5 – 7 положений грузов, постепенно перемещая их к краям платформы. Заносят в таблицу 4 значения расстояний от центра масс каждого тела а до центра платформы, число колебаний N и время этих колебаний t_N.

4. Для каждого положения грузов определяют период колебаний грузов T_i.

Рис. 21. Схематическое представление зависимости J от a²

5. Заносят в таблицу значения а².

6. Для каждого положения грузов находят значения момента инерции платформы с грузами J_i по формуле (7.16).

7. Полученные значения момента инерции J_i наносят на график зависимости момента инерции системы тел от квадрата расстояния центра масс грузов до оси вращения а² (схематично эта зависимость представлена на рис. 21). Как следует из теоремы Гюйгенса – Штейнера, этот график должен быть прямой линией, с угловым коэффициентом численно равным 2m_гр, где m_гр – масса одного груза. Кроме того, отрезок, отсекаемый от оси ординат, равен сумме моментов инерции ненагруженной платформы и моментов инерции грузов b = J_пл+ 2J_0гр.

8. Из зависимости J = f(a²)определяют значение m_гр и величину b. Сравнивают полученное значение с массами грузов, используемыми в работе, а также полученное значение b с расчетным значением. Совпадение этих величин (с учетом погрешностей вычислений) также подтверждает теорему Гюйгенса-Штейнера.

Контрольные вопросы

1. Запишите основное уравнение динамики вращательного движения.

2. Что называют моментом инерции материальной точки, твердого тела?

3. Что называют моментом силы?

4. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

5. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

6. Как рассчитать кинетическую энергию вращающегося тела?

7. Запишите уравнение гармонических крутильных колебаний.

8. Как определить угловую скорость вращения, максимальную угловую скорость?

9. Как в данной работе рассчитать максимальную высоту подъема центра тяжести платформы?

10. Получите формулу для расчета момента инерции платформы. Как рассчитать момент инерции тела на платформе?

11. Как рассчитать моменты инерции платформы и предложенных тел исходя из их геометрических размеров и формы?

12. Как, используя график J от a², рассчитать массу каждого из грузов (в задании 3).

Лабораторная работа № 8

Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 10 11 12 13 Следующая