|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Ответ: четыреххлористый углерод испарится в 25 раз быстрее.
Для кипения однородной жидкости необходимо, чтобы давление насыщенного пара в пузырьках, образующихся по всему объему жидкости, было равно внешнему атмосферному (пренебрегая Лапласовым давлением, обусловленным поверхностным натяжением). При пограничном кипении в пузырьках на границе воды и ССl4 содержится смесь паров. Причем сумма парциальных давлений равна атмосферному давлению Pатм = РВ + РХлУ, где Pатм = 760мм.рт.ст., РВ = 192 мм.рт.ст. Отсюда РХлУ = 568 мм.рт.ст. Во время кипения пузырьки поднимаются вверх, доходят до поверхности и лопаются. Следовательно, отношение масс mB и mХлУ образовавшихся за некоторое время паров равно отношению плотностей газов в пузырьке mB /mХлУ = ρ B /ρ ХлУ. Из уравнения Менделеева-Клапейрона: ρ = Рμ /(RT), поэтому mB /mХлУ = ρ B /ρ ХлУ = (РB μ B )/(РХлУ μ ХлУ) = 192.18/(568.154) ≈ 1/25. Таким образом, четыреххлористый углерод испарится в 25 раз быстрее.
17. В цилиндрическом сосуде под поршнем вначале находится ν = 1 моль водяного пара при температуре Т и давлении Р. Давление насыщенного пара воды при этой температуре равно 2Р. Поршень вдвигают ток, что первоначальный объем под поршнем уменьшается в четыре раза. Найти массу сконденсировавшейся воды, если температура остается неизменной. Молярная масса воды μ = 18 г/моль. (Меледин, 2.41) Ответ: m = 9г. Решение
При изменении объема от V до ½ V пар сжимается, но не конденсируется. Далее происходит конденсация. Причем давление насыщенного пара при дальнейшем уменьшении объема от ½ V до ¼ V остается постоянным и равным 2Р. Поэтому количество сконденсировавшегося пара будет равным Δ m = (2P)(¼ V)μ /(RT), но PV/(RT) = ν. Окончательно Δ m = ½ ν μ = 9 г. 18. В цилиндре объемом 10 л, закрытом поршнем и помещенном в термостате с температурой 40 оС, находится по 0.05 моль двух веществ. Определить массу жидкости в цилиндре после изотермического сжатия, вследствие которого объем под поршнем уменьшается в 3 раза. При температуре 40 оС давление насыщенных паров первой жидкости Рн1 = 7 кПа; давление насыщенных паров второй жидкости при той же температуре Рн2 = 17 кПа. Нарисовать изотерму сжатия. Молярные массы жидкостей равны μ 1 = 18 г/моль, μ 2 = 46 г/моль. (XIII Всесоюзная олимпиада, 1979 г.) Ответ: m ≈ 2.03 г. Решение
Определим состояние веществ перед сжатием. Если оба вещества находятся в газообразном состоянии, то их давления равны P1 = P2 = ν RT/Vo = 13 кПа, где ν = ν 1 = ν 2 = 0.05 моль, Т = 313 К, Vo = 10-2 м3. Таким образом, Р1 > Рн1 и Р2 < Рн2. Следовательно, второе вещество находится в газообразном состоянии и его парциальное давление вначале равно Р2; первое же вещество частично сконденсировано и его парциальное давление равно Рн1. Давление же в сосуде вначале равно
При сжатии газов давление первого газа будет оставаться неизменным и равным Рн1. давление же второго газа при изотермическом сжатии будет расти до тех пор, пока не станет равным Рн2. Это произойдет при объеме сосуда V1, удовлетворяющем уравнению Менделеева-Клайперона: Рн2V1 = ν RT → V1 ≈ 7.6 л. Следовательно, давление в сосуде изотермически увеличивается при уменьшении объема сосуда до 7.6 л. В дальнейшем давление в сосуде остается постоянным, равным P/ = Рн1 + Рн2 = 24 кПа. График зависимости Р(V) приведен на рисунке. Найдем массу жидкости, в конечном состоянии V2 = Vo/3. Так как объемы жидкостей малы по сравнению с объемами газов, то числа молей веществ, находящихся в газообразном состоянии, равны соответственно ν 1к = Рн1V2/(RT) = 0.009 моль, ν 2к = Рн2V2/(RT) = 0.022 моль. Следовательно, в жидком состоянии находится ν 1 - ν 1к = 0.041 моль первого вещества и ν 2 – ν 2к = 0.028 моль второго вещества. Поэтому масса жидкости в сосуде равна M = (ν 1 - ν 1к ) μ 1 + (ν 2 – ν 2к ) μ 2 ≈ 2. 03 г.
VI. Электростатика. Точечные заряды. 1. Внутри тонкой металлической сферы радиуса R находится металлический шар радиуса r = 0.5 R Ответ: j = k Q / R (1 – r / R).
Решение. Если бы шар не был заземлен, то потенциалы сферы и шара были бы одинаковы j1 = kQ / R ( внутри сферы поле отсутствовало бы). Вследствие заземления шар получит от Земли такой заряд q, что его потенциал обратится в нуль: kq / r + kQ / R = 0, откуда q = - rQ / R. Тогда, согласно принципу суперпозиции j = k (Q + q ) / R = k Q / R ( 1 – r / R ).
2. Металлический шар радиуса r, заряженный до потенциала j1 , окружают концентрической с ним тонкой проводящей сферической оболочкой радиуса R. Каким станет потенциал шара, если его соединить проводником с оболочкой? Если соединить оболочку с землей? Ответ: j2 = j1 r / R; j3 = j1 (1 – r / R). Решение. Заряд Q шара можно определить из соотношения j1 = k Q / r; после соединения шар и оболочка образуют единый проводник, все точки которого имеют одинаковый потенциал j2 . Поскольку весь заряд перейдет на внешнюю поверхность этого проводника (иначе между шаром и сферой будет существовать разность потенциалов), j2 = k Q / R.
Отсюда j2 = j1 r / R. (потенциал шара уменьшится) Если оболочку заземлить (не соединяя ее с шаром), то она получит от Земли такой отрицательный заряд q, что ее потенциал k Q / R + k q / R = 0 Значит, q = - Q (при этом система в целом электрически нейтральна и не создает поля снаружи). Поле заряда q обеспечивает оболочке (и шару ) потенциал k q / R = - k Q / R. Согласно принципу суперпозиции потенциал шара j3 = k Q / r - k Q / R = j1 ( 1 – r / R ) К ответу на последний вопрос можно подойти и иначе. До заземления оболочка имела потенциал k Q / R = j2. Заряд, пришедший на оболочку, уменьшает ее потенциал до нуля, но не изменяет поля внутри сферы, а значит, разности потенциалов между шаром и оболочкой. Поэтому j1 - j2 = j3 - 0, откуда j3 = j1 (1 – r / R).
Ответ: q1 = q3 = 3q/8, q2 = ¼ q. Решение. После соединения шаров 1 и 2 заряды на них одинаковы и равны ½ q. После соединения шаров 2 и 3 заряды на них одинаковы и равны ¼ q. Если пренебречь влиянием заряда шара 2 на заряд шаров 1 и 3, то после соединения шаров 1 и 3 заряды на них q1 = q3 = ½ ( ½ q + ¼ q) = 3q/8 и искомое отношение таково: q1: q2: q3 = 3: 2: 3.
Ответ: F = k(q/L1L2)2 r(1/L2 – 1/L1)(L14 + L24)1/2 , tgα = - (L2/L1)2. Решение. Потенциал заземленной сферы равен нулю, в частности он равен нулю в центре сферы, там он равен сумме потенциалов полей зарядов q и -q и индуцированного заряда Q сферы: Q/r + q/L1 – q/L2 = 0, отсюда Q = qr(1/L1 – 1/L2). Заряды 1 и 2 действуют на сферу с силами F1 = kQq/L12 = k(q/L1)2 r(1/L2 – 1/L1), F2 = - kQq/L22 = - k(q/L2)2 r(1/L2 – 1/L1). Суммарная сила, действующая на сферу, F = (F12 + F22)1/2 = k(q/L1L2)2 r(1/L2 – 1/L1)(L14 + L24)1/2, tgα = F1/F2 = - (L2/L1)2. Внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в верхней точке? Диаметр сферы d, заряд шарика q, его масса m. (Слободецкий, 101) Ответ: Q ≥ 2mgd2/q. Решение. Заряд Q, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким, чтобы электрическая, действующая на верхний заряд, была не меньше силы тяжести mg, т.е. kQq/d2 ≥ mg. Отсюда Q ≥ mgd2/q.
kQqsinα /d2 ≥ mgsin2α. (Сила N реакции перпендикулярна к поверхности сферы.) Так как угол α отклонения шарика от положения равновесия мал, то sinα ≈ α. Тогда условием устойчивого равновесия будет неравенство Q ≥ 2mgd2/q. Три одинаковых положительных точечных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника. Сторона треугольника равна L. Найти напряженность в вершине тетраэдра, построенного на этом треугольнике. Ответ: E = k√ 6q/L2. Решение.
Е/ = kq/L2. Полная напряженность будет суммой трех векторов (см. рис.). Горизонтальные составляющие этих векторов в сумме дадут нуль, так как они равны по модулю и составляют друг с другом углы по 120о. Сами векторы образуют с вертикалью углы 90о – α, где α – угол между ребром тетраэдра и высотой h треугольника ABC. Вертикальные составляющие одинаковы и равны каждая kqsinα /L2. Из треугольника ADE очевидно, что sinα = (2/3)1/2. Отсюда искомая напряженность поля равна E = k√ 6q/L2.
7. Четыре непроводящих шарика радиуса r = 10 –3 м, в центре каждого из которых находится заряд q = 10 –7 Кл, расположены вдоль прямой, касаясь друг друга. Какую работу нужно совершить, чтобы сложить из этих шариков пирамидку (правильный тетраэдр)? Влиянием силы тяжести пренебречь. (Меледин, 3.34) Ответ: A = 0.07 Дж.
Решение. Энергия цепочки W1 = k[q2/6r + 2q2/4r + 3q2/2r] = 13kq2/6r. Энергия тетраэдра W2 = 3kq2/r. Искомая работа A = 5kq2/6r = 0.07 Дж.
8. Тонкое проволочное кольцо имеет заряд +Q. Маленький шарик массой m, имеющий заряд -q, может двигаться без трения по тонкой диэлектрической спице, проходящей вдоль оси кольца. 1) Как будет двигаться шарик, если его отвести от центра кольца на расстояние x < < R и отпустить без начальной скорости? Записать уравнение движения шарика x(t). Как изменится движение, если убрать спицу? 2) Как будет двигаться шарик, если ему мгновенно придать скорость vo, направленную вдоль оси кольца? Как зависит характер движения от величины vo? (1001, 12.28, 12.29). Ответ: 1) Шарик будет совершать гармонические колебания x = xocos{[kxQq/(mR3)]1/2t}, 2) При vo ≥ vmin = [2kQq/(mR)]1/2 шарик уйдет на бесконечность; при vo < vmin – шарик будет совершать колебания (при vo < < vmin – гармонические). Решение. 1) На расстоянии х от центра кольца на шарик действует сила F = qE = kxQq/[R2 + x2]3/2, направленная к центру кольца. Поскольку R2 + x2 ≈ R2 при x < < R, второй закон Ньютона для шарика принимает вид max = - kxQq/R3. Это – уравнение гармонических колебаний с циклической частотой ω = [kxQq/(mR3)]1/2. Максимальное отклонение хо достигается в начальный момент времени, так что x = xocosω t = xocos{[kxQq/(mR3)]1/2t}. Если убрать спицу, проявится неустойчивость такого движения по отношению к малым боковым смещениям, поэтому шарик притянется к какой-нибудь точке кольца.
2) Воспользуемся законом сохранения энергии -qφ (0) + ½ mvo2 = -qφ (x) + ½ mv(x)2, где φ (x) = kQ/(R2 + x2)1/2 – потенциал кольца на расстоянии x, v(x) – скорость шарика на расстоянии х от кольца. Если -qφ (0) + ½ mvo2 ≥ 0, то шарик улетит на бесконечность. При этом начальная скорость шарика должна удовлетворять условию vo ≥ vmin = [2kQq/(mR)]1/2. При vo < vmin – шарик будет совершать колебания (при vo < < vmin – гармонические). 9. Заряд Q равномерно распределен по объему шара радиусом R из непроводящего материала. Чему равна напряженность и потенциал поля на расстоянии r от шара? Построить графики E(r) и φ (r). (1001, 12.31, 12, 32) Ответ: при r ≤ R: E(r) = k|Q|r/R3, φ (r) = ½ kQ(3R2 – r2)/R3; при r > R: Решение. Воспользуемся аналогией между законом Кулона и законом всемирного тяготения. При сферически симметричном распределении заряда поле на расстоянии r от центра создается только зарядом q(r) внутри сферы радиуса r. Поскольку заряд распределен по шару равномерно, при r ≤ R можно записать q(r)/Q = (r/R)3. Тогда E(r) = k|q(r)/r2 = k|Q|r/R3. Чтобы определить потенциал при r < R, подсчитаем работу поля по перемещению заряда q из интересующей нас точки к поверхности шара. При малом перемещении Δ A = qEΔ r. Значит, полная работа составит A = qSE, где SE = ½ (E(r) + E(R)(R – r) = ½ k(R2 – r2)/R3 – площадь под графиком напряженности поля. С другой стороны, A = q(φ (r) – φ (R)), где φ (R) = kQ/R – потенциал на поверхности шара. Поэтому получаем φ (r) = kQ/R + ½ k(R2 – r2)/R3 = ½ kQ(3R2 – r2)/R3. Первый участок графика (при r < R) – парабола, второй (r > R) – гипербола. При r > R поле, создаваемое заряженным шаром, такое же, как поле точечного заряда Q, расположенного в центре шара, т.е. E(r) = k|Q|/r2, φ (r) = kQ/r2. 10. Определить а)энергию уединенного проводящего шара радиуса R заряженного зарядом q; б) энергию двух тонких концентрических проводящих сфер радиусами R1 и R2 (R1 < R2) имеющих заряды q1 и q2. (Буховцев, 442, 443) Ответ: a) W = ½ kq2/R, б) W = ½ k(q12/R1 + q22/R2 + 2q2q1/R2). Решение. а) Энергия заряженного шара равна работе, которую могут совершить заряды, находящиеся на шаре, если они покинут его и удалятся на бесконечно большое расстояние. Пусть с шара каждый раз удаляется на бесконечность порция заряда Δ q (Δ q < < q). При удалении n-ой порции, когда заряд станет равным q – nΔ q, электрическое поле совершит работу Δ А = k(q – nΔ q)q/R. Полная работа затраченная на удаление N порций заряда, где N = q/Δ q, A = k[(q– Δ q)q/R + (q– 2Δ q)q/R + (q– 3Δ q)q/R + ... + (q– NΔ q)q/R] = k{ ½ q2 (1 – 1/N)/R]. При N → ∞ (Δ q → 0) A = ½ kq2/R. Следовательно, энергия заряженного шара равна W = ½ kq2/R. (Эта энергия называется собственной.) Тот же результат можно получить, используя график изменения потенциала шара при уменьшении заряда. График будет представлять собой прямую линию, походящую под некоторым углом к оси абсцисс, а работа будет численно равна площади, ограниченной графиком и осями координат.
б) Энергия всей системы зарядов будет равна сумме собственных энергий зарядов, находящихся на первой и второй сферах: W1 = ½ kq12/R1, W2 = ½ kq22/R2, а также энергии взаимодействия зарядов первой сферы с зарядами второй сферы. Эта энергия взаимодействия равна произведению заряда q2 на потенциал, создаваемый на поверхности сферы радиусом R2 зарядом q1. Таким образом, искомая энергия всей системы W = ½ k(q12/R1 + q22/R2 + 2q2q1/R2). В случае, когда q1 = - q2 = q (сферический конденсатор), W = ½ kq2 (1/R1 - 1/R2). Уединенный проводящий шар радиуса R заряжен до величины Q. Вычислить энергию электростатического поля, создаваемую зарядом на шаре. ( Подсчитать суммарную работу, совершенную внешними силами, переносящими малыми порциями заряд из бесконечности на сферу.) Ответ: А = Q2/(8π ε 0R). Решение. Пусть на шаре находится некоторый заряд q, тогда при увеличении заряда на малую величину Δ q, необходимо совершить работу Δ А = Δ q(φ - φ ∞ ), Где φ = q/(4π ε 0R) – потенциал шара, а φ ∞ - потенциал на бесконечности, т.е. Δ А = Δ q q /(4π ε 0R). Суммарная работа по заряжанию шара зарядом Q будет равна сумме элементарных работ: А = Σ Δ Аi , или при Δ q → 0 А = ∫ (φ - φ ∞ )dq = Q2/(8π ε 0R).
12. Два металлических шарика радиусов r1 = 1см и r2 = 2см, находящиеся на расстоянии R = 100см друг от друга, присоединены к батарее с электродвижущей силой U = 3 кВ. Найти силу взаимодействия шариков. Взаимодействием соединительных проводов пренебречь. Ответ: F = 44.10-9H. Решение.
Разность потенциалов между шариками должна равняться ε. Следовательно, k(q1/r1 – q2/r2) = U, где q1 и q2 – заряды шариков. Согласно закону сохранения заряда, q1 + q2 = 0. Отсюда q1 = - q2 = U r1 r2 /[k( r1 +r2)]. По закону Кулона F = 4π ε o {Ur1 r2 / [( r1 + r2) R]}2 = 44.10-9H.
Ответ: q = -Q(R1/R2). Решение. После замыкания ключа К внутренняя сфера соединяется с Землей. Это означает, что потенциал сферы сравнивается с потенциалом Земли, т.е. становится равным нулю. Согласно принципу суперпозиции этот потенциал складывается из потенциала, создаваемого на внутренней сфере внешней сферой и потенциала, создаваемого на внутренней сфере ее собственным зарядом (если таковой есть). Это можно записать в виде: Q/(4π ε 0R2) + q/(4π ε 0R1) = 0. Таким образом, q = - Q(R1/R2). Но, поскольку первоначально внутренняя сфера не была заряжена, то через гальванометр протек именно заряд q. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-08; Просмотров: 1627; Нарушение авторского права страницы
Po = Рн1 + P2 ≈ 20 кПа.
3. Три одинаковых проводящих шара расположены в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника, катеты которого велики по сравнению с радиусами шаров, L > > r (см. рис.). Вначале заряд имеется лишь на шаре 1. затем шары 1 и 2 соединяют проводником, после чего проводник убирают. Потом такую же процедуру совершают с шарами 2 и 3, а затем с шарами 3 и 1. Какой заряд после этого окажется на каждом шаре. (Меледин, 3.10) 
4. Разноименные точечные заряды q и -q находятся на расстояниях L1 и L2 от заземленной сферы малого радиуса r (см. рис.). Расстояние от зарядов до поверхности земли и других заземленных предметов много больше L1 и L2. Найти силу, с которой заряды действуют на сферу. Угол с вершиной в центре сферы, образованный прямыми, проведенными через заряды, равен 90о. (Меледин, 3.11) 
Однако нам нужно проверить, будет ли равновесие шарика устойчивым. Рассмотрим малое отклонение шарика от положения равновесия. Равновесие устойчиво, если проекция силы F электрического взаимодействия зарядов на касательную к сфере больше или равна проекции силы тяжести на ту же касательную: 
Каждый заряд создает в точке D напряженность поля
13. Две тонкостенные металлические сферы радиусов R1 и R2 образуют сферический конденсатор. На внешней сфере находится заряд Q. Внутренняя сфера не заряжена. Какой заряд протечет через гальванометр, если замкнуть ключ К? Потенциал Земли принять равным нулю. (МФТИ, 1978.)