|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Решение систем не линейных уравнений.
Метод 18 Простой Итерации Пусть требуется найти решение системы из n уравнений с t неизвестными.
…………………..
В общем случае прямых методов решения систем не линейных уравнений нет. Единственным методом решения является итерационный. Самый простой метод решения – это метод простой итерации. Преобразуем исходную систему к такому виду:
…………………..
Это преобразование можно произвести всегда, причем различным образом.Затем следует задать начальное приближение: И тогда из 1-го уравнения мы получим:
…………………..
При использовании метода простой итерации успех во многом зависит от удачного выбора начального приближения (чем дальше начальное приближение от истинного значения, тем больше вероятность расхождения итерационного процесса). Для системы существует область сходимости, если начальное приближение попадает в эту область, то итерационный процесс будет сходиться, не попадает – расходиться. Чем больше число неизвестных, тем меньше область сходимости, тем труднее получить решение на промежутке т.к. обеспечить сходимость метода простой итерации не всегда удаётся. Метод 19 Метод Ньютона для систем уравнений. Обладает гораздо более быстрой сходимостью и большей областью сходимости. В основе метода Ньютона лежит представление всех уравнений системы в виде ряда Тейлора с отброшенными членами содержащие 2-ые и более высоких порядков производные.
…………………..
Представим решение на k+1 итерационном шаге в виде
Нашей цель ю является нахождение небольших поправок к решению. Для этого подставим эти решения в уравнения системы и разложим в ряд Тейлора
В результате получиться система уравнений вида:
……………………………………..
В этой системе все правые части вычисляются при уже найденных В результате мы получили систему линейных уравнений (СЛУ) относительно неизвестных величин. После того как решение системы найдено (решаем методом Гаусса), получаем решение на Метод 20 Метод возмущения параметров.
…………………..
Наряду с системой, решение которой необходимо найти, мы решаем систему из такого же числа уравнений решение которой известно.
……………………
Деформируя (возмущая) уравнение системы с известным решением, с помощью конечного числа N (малых приращений), преобразуем их к системе, решение которой надо найти. Деформацию можно проводить различными способами. Например, на шаге деформации с номером k деформацию можно записать в виде
Если число шагов деформации N достаточно велико, то деформация системы на каждом шаге будет не значительна. Решение системы (G) можно использовать как начальное приближение неизвестных для итерационного решения полученного при первой деформации системы. Так как эта система при достаточно больших значениях N мало отличается от предыдущей то, вероятно, что сходимость для деформируемой системы будет обеспечена. После этого производится вторая деформация. И используя решения, полученные для первой деформации в качестве начального приближения, найдём корень системы после второй деформации. В конце счета , когда номер деформации k= N решаемая система становится эквивалентной исходной (F). Применение может привести к значительному увеличению объёма вычислений. Однако при этом возрастают шансы на то, что метод сойдётся.
Тема №6
Численное интегрирование. Определённый интеграл
Часто возникает задача численного интегрирования, например в таких случаях когда: 1) аналитически, через элементарные функции интеграл не берётся; 2) численное интегрирование необходимо использовать, если подинтегральная функция задана в табличном виде. При численном интегрировании используется определение интеграла и его геометрического смысла. Приближенное значение интеграла мы получим, если в интегральной сумме ограничимся конечным числом слагаемых.
Метод 21 Метод прямоугольников. Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. В этом методе интеграл вычисляется с помощью усеченной интегральной суммы, а в качестве точки берётся середина отрезка
Метод 22 Метод трапеции В этом методе интеграл, приближенно заменяется на сумму площадей трапеций, образующихся после замены графика функции
Площадь трапеции с номером
Для практического использования важен случай интегрирования с постоянным шагом Погрешность интегрирования определяется шагом разбиения h. С уменьшением h точность возрастает. Точность вычисления интеграла по методу прямоугольников и трапеций имеет порядок При интегрировании методом прямоугольников подинтегральная функция на каждом частном отрезке А в методе трапеций подинтегральная функция апроксимируется линейной зависимостью, проходящей через точку
Метод 23 Метод Симпсона. Подинтегральное выражение апроксимируется квадратичной зависимостью вида Для применения метода Симпсона отрезок интегрирования Можно показать, что интеграл от соответствующего полинома Лагранжа
Таким образом Погрешность метода Симпсона пропорциональна 0( Метод 24 Метод Гаусса. В предыдущих методах при численном интегрировании подинтегральную функцию вычисляют в равноотстоящих друг от друга узлах. В методе Гаусса для повышения точности численного интегрирования значения подинтегральной функции вычисляют в специально подобранных узлах. Рассмотрим сначала стандартный отрезок
и получим для определённого интеграла приближенное выражение
Узлы Она будет максимальной в том случае, если узлы Метод Гаусса представляет собой группу методов различающихся числом узлов. Значения параметров
С помощью формулы Гаусса (1.1) с m-узлами на стандартном отрезке Для этого разбиваем отрезок Задаём m узлов с помощью формулы
i – это номер частичного отрезка; j – это номер узла в каждом частичном отрезке. Для
Метод 24 даёт точные значения интеграла для полиномов степени
Метод 26 Метод Монте-Карло. Во многих задачах исходные данные носят случайный характер. Для решения таких задач применяется статистико-вероятностный подход. На основе такого подхода разработан метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло. В методе Монте-Карло для случайной величины X с определённым законом распределения находится математическое ожидание,
Это соотношение можно использовать для приближенного вычисления интеграла. Пусть Т – это случайная величина равномерно распределённая на отрезке
В компьютерах встроены генераторы случайных чисел, имеющие нормальное распределение. Для вычисления
где, Тогда При вычислении интеграла на
Метод 27 Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-11; Просмотров: 559; Нарушение авторского права страницы
, 
, …, 
.
Нам дана система
, где i – это номер уровня.
где, 
. При вычислении можно использовать правую или левую сторону этого отрезка 
ломаной, соединяющей точки 
.
равняется
-шаг интегрирования
тогда 
. 
апроксимируется постоянной величиной равной 
, 
. Существуют методы, для которых подинтегральная функция апроксимируется другими зависимостями.
разбиваем на четное число 2n частных отрезков с одинаковым шагом 
, а в качестве аппроксимирующей функции берём полином Лагранжа, проходящий через три точки: 
.
)-и имеет порядок 
и зададим число m= числу узлов, в которых вычисляется подинтегральная функция. Координаты этих узлов обозначим
(1.1)
подбирают таким образом, чтобы обеспечить максимальную точность выражения (1.1).
, 
, при m=2 метод Симпсона и метод Гаусса имеют приблизительно одинаковую точность. Однако метод Симпсона более удобен, так как для него узлы расположены равномерно, поэтому метод Гаусса целесообразно использовать при m> 2. 
причем в качестве приблизительного значения математического ожидания можно использовать среднее значение из серии испытаний случайной величины X.
. Равномерность распределения означает, что плотность распределения этой случайной величины во всех точках отрезка 
по определению математического ожидания используется следующая формула
- это случайные числа равномерно распределённые на 
интеграл приводится к отрезку 
где 
- это случайное число на