Дискретное представление математических моделей объектов и регуляторов

Как и в обычных системах, исходные описания элементов АСР представляются в виде обыкновенных дифференциальных уравнений

. (4.93)

Дискретная передаточная функция уравнения (4.92) будет иметь вид

. (4.94)

Отсюда получим

. (4.95)

Данное выражение показывает, что значение y в момент времени t зависит от значения входного сигнала х в момент времени t и предшествующих значений, а также от предшествующих значений выходного сигнала. Это есть свободное движение. При единичном ступенчатом воздействии решение уравнения (4.93) в дискретной форме будет иметь вид

. (4.96)

Решение уравнения (4.96) можно найти в форме, аналогичной (4.95) или воспользоваться методом последовательного программирования и получить структурную схему реализации алгоритма, приведенную на рис. 4.38 для звена второго порядка:

. (4.97)

Другой подход к представлению дифференциального уравнения в дискретной форме заключается в представлении производных в конечных разностях:

; (4.98)

. (4.99)

 

Рассмотрим на примере звена второго порядка (6.5)

(4.100)

Найдем решение при нулевых начальных условиях и произвольных изменениях входного воздействия x(t), что более удобно при моделировании АСР на ЭВМ:

 

(4.101)

 

Рис. 4.38. Структурная схема реализации временной характеристики
звена второго порядка в дискретной форме

 

 

Аналогично можно представить уравнения непрерывных регуляторов в дискретной форме, так как они получили широкое распространение в промышленности, и использовать для расчета параметров цифровых регуляторов известные методики расчета настройки непрерывных регуляторов [22].

Общее уравнение семейства ПИД-законов регулирования, реализуемых в электронных и цифровых регуляторах, имеет вид

. (4.102)

Для малых тактов квантования Т₀ £ 0, 01× Т₉₅ уравнение (6.10) можно преобразовать в разностное. При использовании метода прямоугольников для аппроксимации интегральной составляющей получим:

(4.103)

Алгоритм (4.103) является нерекуррентным: в нем для формирования суммы необходимо запоминать все предшествующие значения сигнала ошибки e(nT₀). Для программирования на ЭВМ более удобны рекуррентные алгоритмы, в которых для вычисления текущего значения регулирующей величины х_р(nT₀) используются ее предыдущее значение х_р ((n – 1)Т₀) и поправочный член. Запишем выражение (4.103) для момента времени t = (n – 1)Т₀:

(4.104)

Вычитая выражение (4.104) из выражения (4.103), получаем рекуррентное соотношение:

(4.105)

где ;

;

.

Таким образом, зная параметры настройки непрерывного регулятора, определенные по известным методам, можно рассчитать параметры настройки цифровых регуляторов.

Если динамика объекта может быть аппроксимирована передаточной функцией

, (4.106)

то параметры настройки дискретных регуляторов вида (4.106) с тактом квантования Т₀ = 0, 1Т_об можно рассчитать по следующим соотношениям [21]:

· П-регулятор:

(4.107)

· ПИ-регулятор:

(4.108)

 

· ПИД-регулятор:

(4.109)

Результаты расчета по алгоритмам (4.107) – (4.109) следует рассматривать как первое приближение в определении параметров дискретных регуляторов.

Расчет переходных процессов в одноконтурных

Цифровых АСР

Составим структурную схему одноконтурной цифровой АСР в форме, удобной для математического моделирования на ЭВМ (рис. 4.39).

 

Рис. 4.39. Структурная схема одноконтурной АСР

 

Математическая модель системы с объектом второго порядка (4.97) и дискретным ПИ-регулятором (4.105) может быть представлена следующей системой разностных уравнений:

(4.110)

Порядок выполнения работы

Работа выполняется в следующем порядке:

1. Ознакомиться с построением цифровой АСР.

2. Выполнить расчет параметров настройки непрерывных регуляторов.

3. Выполнить расчет переходного процесса в цифровой АСР.

4. Исследовать влияние параметров настройки регулятора и времени квантования на переходный процесс.

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Цель работы.

2. Порядок выполнения работы с основами моделирования цифровой АСР.

3. Исходные данные на работу.

4. Результаты работы, проиллюстрированные необходимыми схемами, таблицами и графиками.

5. Выводы по исследованию переходных процессов в АСР.

 

Лабораторная работа № 14.

Исследование релейных систем автоматического

Регулирования на ПЭВМ

Цель работы

Цель работы заключается в следующем:

1. Ознакомиться с релейными системами автоматического регулирования.

2. Выполнить исследования релейных систем с помощью ЭВМ.

Основные положения

Релейными принято называть нелинейные системы, содержащие релейное звено. Релейные звенья имеют существенно нелинейную статическую характеристику. На рис. 40 приведены статические характеристики реле, наиболее часто встречающихся в системах автоматического регулирования.

Нелинейные системы по сравнению с линейными обладают рядом характерных особенностей [24]:

1. Нелинейные системы не подчиняются принципу суперпозиции.

2. Вынужденные колебания в нелинейных системах могут отличаться от входного гармонического сигнала как по форме, так и по частоте.

3. В нелинейных системах возможны различные типы движения в зависимости от начальных условий.

4. Нелинейная система, устойчивая только в «малом», при малых начальных отклонениях от состояния равновесия ведет себя как устойчивая, а при значительном – как неустойчивая.

5. В нелинейных системах возможны незатухающие колебания, амплитуда и частота которых не зависят от начальных условий и определяются свойствами системы. Такие колебания называют автоколебаниями.

 

Рис. 4.40. Характеристики типовых реле:

а – двухпозиционное реле; б – двухпозиционное реле с зоной возврата; в – трехпозиционный релейный элемент с зоной нечувствительности и зоной возврата

 

Особенности поведения нелинейных систем и многообразие процессов в них создают трудности для их точного математического описания и теоретического изучения. Во многих случаях возможно и целесообразно заменить реальные нелинейные характеристики некоторыми приближенными линейными зависимостями. Для линеаризации слабых нелинейностей часто используют разложение нелинейной зависимости в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми членами разложения, линейными относительно приращений. Другой метод линеаризации, применяемый для существенно нелинейных зависимостей, – метод гармонической линеаризации.

Линеаризованные уравнения используют для приближенного исследования устойчивости различных видов движения в нелинейных системах: состояний равновесия, вынужденных движений, автоколебаний.

Трудности аналитического исследования нелинейных систем обычно связаны с невозможностью решения нелинейных дифференциальных уравнений. Эти трудности можно устранить, используя численные методы решения дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ.

Рассмотрим примеры исследования релейных систем автоматического регулирования температуры электрической печи (рис. 4.41).

Рис. 4.41. Структурная схема релейной системы регулирования температуры электрической печи

Печь обогревается мощным электрическим нагревателем. Выходной параметр печи – температура, входной – напряжение. Реле обеспечивает включение напряжения, подаваемого на нагреватель.

Пусть динамические свойства печи описываются дифференциальным уравнением

, (4.111)

где Т₁, Т₂ – постоянные времени;

K – коэффициент передачи.

Статическая характеристика реле в общем виде запишется как

U=f(t). (4.112)

Конкретный вид выражения (4.112) зависит от вида реле.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: