Понятие объема тела. Общие свойства объемов многогранников.

Для простых тел, т.е. если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид, - это положительная величина, которая обладает следующими свойствами:

· Равные тела имеют равные объемы

· Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей.

· Объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице

65. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем произвольной призмы (вывод).

Объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, c вычисляется по формуле V =abc

 

Дана произвольная призма. В ее основании лежит многоугольник. Проведя в нем диагонали, исходящие, из одной вершины, разбиваем многоугольник на треугольники (рис. 39). Сечения, проведенные через эти диагонали и соответствующие боковые ребра призмы делят ее на определенное число n треугольных призм. Для призмы с номером k объем равен

V_k = S_k • H

где S_k — площадь ее основания, H — высота первоначальной призмы. Складывая объем треугольных призм, получаем объем первоначальной призмы:

66. Объем пирамиды (вывод). Объем усеченной пирамиды.

Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием ABC. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой. Эта призма составлена из трех пирамид: данной пирамиды SABC и еще двух треугольных пирамид SCC₁B₁ и SCBB₁.
У второй и третьей пирамид равные основания - Δ CC₁B₁ и Δ B₁BC и общая высота, проведенная из вершины S. Поэтому у них равные объемы.
У первой и третьей пирамид тоже равные основания - Δ SAB и Δ BB₁S и совпадающие высоты, проведенные из вершины C. Поэтому у них тоже равные объемы.
Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны .
Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

 

Есть усеченная пирамида с площадями оснований S1 и S2 (S1> S2) и высотой h.

Тогда объем усеченной пирамиды равен:

67. Объем цилиндра (вывод)

Найдем объем цилиндра с радиусом основания R и высотой H.
Построим две прямые призмы с высотой H такими, что основание одной призмы является n-угольник, содержащий круг, а основание второй призмы n-угольник, содержащийся в круге. Тогда первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. При неограниченном увеличении n площади многоугольников приближаются к площади круга S(основанию цилиндра) и, следовательно, их объемы неограниченно приближаются к SH. Тогда

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

69. объем конуса(вывод). Объем усеченного конуса.

 

Построим два многоугольника в плоскости основания конуса: многоугольник P, содержащий основание конуса, и многоугольник P`, содержащийся в основании конуса. Построим две пирамиды с основаниями P и P` и вершиной в вершине конуса. Первая пирамида содержит конус, а вторая пирамида содержится в конусе.
Существуют такие многоугольники P и P`, площади которых при неограниченном увеличении числа их сторон n неограниченно приближаются к площади круга в основании конуса. Для таких многоугольников объемы построенных пирамид неограниченно приближаются к 1/3 SH, где S – площадь основания конуса, а H – его высота. Согласно определению отсюда следует, что объем конуса

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

 

Пусть есть усеченный конус с радиусами оснований R1 и R2 (R2
Тогда объем усеченного конуса равен:

70. Объем шара (вывод). Объем шарового сектора, объем шарового сегмента.

Применяя формулу для объема тел вращения вычислим объем шара.

Введем декартовы координаты, приняв центр шара за начало координат. Плоскость xy пересекает поверхность шара радиуса R по окружности, которая задается формулой

Полуокружность, расположенная над осью x, задается уравнением

Поэтому объем шара определяется по формуле

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется. Объем шарового сектора получается сложением или вычитанием объемов соответствующих сегмента и конуса. Для объема шарового сектора получается следующая формула:

, где R – радиус шара, а H – высота соответствующего шарового сегмента..

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Формулу для объема шарового сегмента получаем аналогично формуле объема шара:

где R – радиус шара, а H – высота шарового сегмента.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: