Понятие множества. Действия с множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.

Понятие множества является ключевым в математике, без которого невозможно изложение ни одного из ее разделов Подсознательно первые представления о множестве у человека начинают формироваться с рождения, когда он погружается в удивительно многообразный мир окружающих его объектов и явлений. В нем уже генетически заложены возможности ускоренно воспроизвести весь опыт общения с этим миром, накопленный человечеством за многовековую историю. Уникальность этого генетического потенциала и отличает прежде всего человека от других существ. С первых же шагов мы не просто пополняем список знакомых нам объектов и явлений, а начинаем дифференцировать и классифицировать (горячие и холодные, сладкие и горькие, тяжелые и легкие, красные и зеленые и т.д.), объединяя тем самым объекты в некоторые совокупности. Первый же опыт общения с ними убеждает нас и в том, что каждый объект имеет сложную структуру (кто из нас не ломал ни одной игрушки, пытаясь выяснить из чего она состоит), представляет собой как бы определенную совокупность других объектов, из которых, как из составляющих, состоит сам.

Множество – первичное понятие математики, т.е. это понятие не определяется через другие, а только поясняется. Создатель теории множеств Г. Кантор (1845–1918) определил множество как “объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью”, а также “множество есть многое, мыслимое нами как единое”. Разумеется, эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такого определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основании которого строятся остальные понятия математики, т.е. множество является основным строительным материалом математики.

Множество – это совокупность каких-либо объектов. Так, можно говорить о множестве целых чисел, о множестве точек на прямой, о множестве жителей города и др. Объекты, входящие в данное множество, называются его элементами. Элементами множества могут быть разнообразные предметы; буквы, числа, функции, точки, углы, люди и т.д. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к очень многим областям знания.

Множества, состоящие из конечного числа элементов (причем неважно, известно это число или нет, главное, оно существует), называются конечными, а множества, состоящие из бесконечного числа элементов, – бесконечными.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, X, а их элементы – малыми буквами а, b, х.

Запись х Î X означает, что объект х есть элемент множества X. Если х не принадлежит множеству X, то пишут x Ï X.

Запись A Ì B (множество А содержится в В)означает, что каждый элемент множества А принадлежит В. В этом случае множество А называют подмножеством множества В.

Множества А и В называют равными (А = В), если BÌ A и AÌ B. Например, множества А = {3, 5, 7, 9} и В = {7, 3, 9, 5} равны, так как состоят из одинаковых элементов.

Если множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым и обозначают символом Æ .

Совокупность допустимых объектов называют основным (универсальным) множеством (обычно U).Множество задают либоперечислением его элементов, либо описанием свойств множества, которые четко определяют совокупность его элементов. При втором способе множество обычно определяется как совокупность тех, и только тех, элементов из некоторого основного множества Т, которые обладают свойством α . В этом случае используют обозначение А = {х Î Т: α (х)}.

Например, множество А = {1, 2, 3, 4, 5} равно А = – {x Î N: х < 6} и А = {x Î N: 0, 5 < x < 5, 9}, где N – множество натуральных чисел.

 

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: