Основные правила дифференцирования.

1. Если функции U(x) и (x) дифференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале , т.е. производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций.

2. Если функций U(x) и (х) диффференцируемы на некотором интервале, то на этом интервале или короче

3. Пусть функции и диференцируемы на интервале (a; b). Если 0, то или короче

 

.

4. y=CU(x), постоянный коэффициент можно вынести за знак производной.

 

Таблица производных

у = сonst; y’=0	; y’=
;
y=sinx; y’=cosx	y=cosx; y’= -sinx;
y=tgx; y’=	y=ctgx; y’= -
y=a ; y’ = a lna	y=e ; y’= e
y=log ; y’=	y=lnx, y’=
y=arcsinx; y’=	y=arccosx; -
y=arctgx; y’=	y=arcctgx;

Производные высших порядков

Пусть функция дифференцируема отрезке [ a, b ] значения производной , вообще говоря, зависит от х, т. е. производная представляет собой тоже новую функцию от х.

Дифференцируя эту функцию, мы получаем так называемую производную 2-го порядка или вторую производную от первоначальной функции, и обозначается символом или (х):

Пример:

Производная от второй производной называется производной 3-го порядка или 3-й производной от функции обозначается через или

Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная от производной (n-1)-го порядка и обозначается символом или .

Производная 4, 5 и высших порядков обозначаются также (римские цифры)

Пример:

 

Пример:

 

Дифференциал.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a, b]. Производная этой функции в некоторой точке х отрезка [a, b] определяется равенством:

Отношение при стремиться к определенному числу и следовательно, отличается от производной на величину бесконечно малую:

= , где при

Умножая последовательно равенство на получим:

1)

т.к. в общем случае 0, то при постоянном х и переменном произведение есть бесконечно малая величина первого порядка относительно . Произведение же есть бесконечно малая величина высшего порядка относительно , т.к.

Таким образом, приращение функции состоит из 2-х слагаемых, из которых первое слагаемое есть так называемая главная часть приращения, линейная относительно произведение называют дифференциалом функции и обозначают через dy или df(x).

Таким образом, если функция y=f(x) имеет произведение на приращение аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом dy

 

(2)

Найдем дифференциал функции y=x, в этом случае

,

и следовательно, dy = dx = или dx = . Таким образом, дифференциал dx независимого переменного х совпадает с его приращением . Равенство dx = можно было бы рассматривать также как определение дифференциала независимого переменного, и тогда рассмотренный пример показал бы, что это не противоречит определению дифференциала функций. В любом случае формулу (2) можем записать так:

 

Но из этого соотношения следует, что

Следовательно, производную можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Вернемся к выражению (1), которое с учетом (2) перепишем так:

(3)

Таким образом, приращение функции отличается от дифференциала функции на величину бесконечно малую высшего порядка относительно . Если , то является бесконечно малой высшего порядка и относительно dy и

Поэтому в приближенных вычислениях иногда используют приближенное равенство:

(4)

или в развернутом виде

(5)

(6)

что значительно сокращает вычисления.

Пример:

Найти дифференциал dy и приращение функции

1) при произвольных значениях х и

2) при х=20, =0

Решение:

1)

dy=(x²)’ =2x

2)если х=20, =0, 1

=2*20*0, 1+0, 1²=4, 01

dy = 2*20*0, 1=4

Погрешность при замене на dy равна 0.01 (можно считать очень малой по сравнению с 4.01 и пренебречь).

Пример :

f(x)= , то формула (6)

дает:

если: х=1, = , то

Задача нахождения дифференциала функций равносильна нахождению производной, поэтому основные теоремы и формулы сохраняют свою силу и для дифференциалов.

1. Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций U и равен сумме дифференциалов этих функций:

2. Дифференциал произведения 2-х дифференцируемых функций U и определяется формулой:

3. Дифференциал частного 2-х дифференцируемых функций U и , причем , определяется формулой: , то dy

4. d(cu)=cdu

Пример:

1)

2)

3) , найти dy

Представим данную функцию как сложную

у = sin U, U=

, но т.к. то или

Из примера 3) можно записать важное свойство дифференциала, называемое инвариантностью формы дифференциала: форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента.

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: