Интегральный признак сходимости

Теорема. (Интегральный признак Коши)

Пусть члены знакоположительного числового ряда u₁+u₂+…+u_n… (7) не возрастают: u₁³ u₂≥ …≥ u_n≥ … и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1; ∞ ) функция, что f(1)=u₁, f(2)= u₂, …, f(n)= =u_n, …. Тогда ряд (7) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

Доказательство. Построим график функции y=f(x) на отрезке [1; n] и построим прямоугольник с основаниями [1; 2], [2; 3], …, [n-1; n] и высотами u₁, u₂, …, u_n-1, а также с высотами u₂, u₃, …, u_n.

S_n=u₁+u₂+…+u_n-1+u_n, S_впис=u₂^.1+u₃^.1+…+u_n^.1=u₂+u₃+…+u_n=S_n-u₁,

S_опис=u₁+u₂+…+ +u_n-1=S_n-u_n.

Площадь криволинейной трапеции S= . Получаем S_n-u₁< < S_n-u_n. Отсюда S_n< u₁+ (17)

и S_n> u_n+ (18)

Пусть сходится. Это означает, что существует конечный предел =Y. Соотношение (17) принимает вид: S_n< u₁+Y при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм S_n ряда (7) ограничена и, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть расходится. Это означает, что =∞ и тогда из (18) следует, что последовательность частичных сумм S_n ряда (7) неограничена и, следовательно, ряд (7) расходится. Теорема доказана.

Пример.

Исследуем с помощью интегрального признака Коши обобщённый гармонический ряд

Очевидно, f(x)= . При к≠ 1 имеем =

При к=1 имеем

Таким образом, обобщённый гармонический ряд сходится при k> 1 и расходится при k≤ 1.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Определение Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на –1.

Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.

Определение. Числовой ряд вида u₁-u₂+u₃-u₄+…+ +(-1)^n-1.u_n+…, где u_n – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Теорема. (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда (19)

Выполняются два условия: Члены ряда убывают по модулю u₁> u₂> …> u_n> …, то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S_2n=(u₁-u₂)+(u₃-u₄)+…+(u_2n-1-u_2n).

По условию u₁> u₂> …> u_2n-1> u_2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S_2n возрастает с возрастанием n и S_2n> 0 при любом n.

С другой стороны S_2n=u₁-[(u₂-u₃)+(u₄-u₅)+…+(u_2n-2-u_2n-1)+u_2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и S_2n> 0, поэтому S_2n< u₁ для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S_2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S_2n=S. При этом 0< S≤ u₁.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S_2n+1=S_2n+u_2n+1. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→ ∞ : S_2n+1= S_2n+ u_2n+1=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому S_n=S, то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Лейбница.

u_n= > u_n+1=

u_n=

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Замечания.

1. Теорема Лейбница справедлива и если условие u_n> u_n+1 выполняется, начиная с некоторого номера N.

2. Условие u_n> u_n+1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется. Например, ряд
сходится, как разность двух сходящихся рядов хотя условие u_n> u_n+1 не выполняется.

Определение . Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный ряд сходится условно.

Определение 9. Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример.

Установить характер сходимости ряда

Очевидно, что данный ряд сходится по признаку Лейбница. Действительно: и u_n=

Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда является расходящимся гармоническим рядом. Поэтому данный ряд сходится условно.

Абсолютная сходимость рядов

Теорема 10. (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости)

Пусть u₁+u₂+…+u_n+…= (20) знакопеременный ряд и пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов │ u₁│ +│ u₂│ +…+│ u_n │ +…= │ u_n │. (21) Тогда ряд (20) тоже сходится.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд

(u₁+│ u₁│ )+(u₂+│ u₂│ )+…+(u_n+│ u_n│ )+…= (u_n+│ u_n│ ). (22)

Очевидно, 0≤ u_n+│ u_n│ ≤ 2│ u_n│ при всех n=1, 2, …. Ряд (21) сходится по условию, поэтому сходится ряд 2│ u_n│, тогда по признаку сравнения сходится ряд (22). Ряд (20) представляет собой разность двух сходящихся рядов (22) и (21), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание.

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходиться.

Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд расходится (это гармонический ряд).

Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся числовой ряд

(23)

Вычисление суммы ряда S= обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут S≈ S_n. Точность этого равенства возрастает с увеличением n.

Определение. Если числовой ряд сходится, то разность R_n=S-S_n называется n-м остатком ряда.

Таким образом, R_n представляет собой сходящийся числовой ряд: R_n= u_n+1+u_n+2+…. Заметим, что R_n= ( S-S_n)=S-S=0.

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой S_n равна |R_n|=|S-S_n|. Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до E> 0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие |R_n|< E. Однако в общем случае находить точно R_n не удаётся.

Теорема (об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n-й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n+1)-го члена ряда.

Доказательство. Пусть ряд u₁-u₂+u₃-u₄+…+(-1)^n-1.u_n+… сходится по признаку Лейбница. Тогда n-й остаток ряда R_n=±(u_n+1-u_n+2+u_n+3-…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |R_n|≤ |u_n+1|. Теорема доказана.

Пример.

Вычислить с точностью до 0, 01 сумму ряда

Очевидно, ряд сходится по признаку Лейбница. u₁= =1; u₂= ≈ 0, 166; u₃= ≈ 0, 008< 0, 01. Поэтому S≈ 1-0, 166≈ 0, 84.

Действия над рядами

Действия с числовыми рядами

Выделяют следующие действия с числовыми рядами (они имеют смысл, т.е. сохраняют сумму ряда, только если она существует):

· Линейная комбинация рядов

Если ряды и сходятся, то сходится и ряд (α, β — постоянные), при этом

· Группировка членов ряда

Сгруппируем слагаемые ряда , объединив без изменения порядка следования по нескольку (конечное число) членов ряда. Получим некоторый новый ряд . Раскрытие скобок в ряде в общем случае недопустимо, однако: если после раскрытия скобок получается сходящийся ряд, то раскрытие скобок возможно; если а каждой скобке все слагаемые имеют один и тот же знак, то раскрытие скобок не нарушает сходимости и не изменяет величину суммы.

· Перестановка членов ряда

Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Если ряд сходится условно, то для любого наперёд заданного A (в том числе , , ) можно так переставить члены этого ряда, что преобразованный ряд сходится к A (расходится к , , ) либо не имеет предела (теорема Римана).

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: