Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций.

Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций.

Экстре́ мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x₁< x₂ выполняется неравенство (f(x₁) < f (x₂) (f(x₁) > f(x₂)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ^'(x) > 0 (f ^' (x) < 0).

Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика функций.

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x₁ и x₂ из этого отрезка

Другими словами, если для любых точек x₁ и x₂ отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Если меняет знак при переходе через точку то – точка перегиба функции f (x).

асимптоты прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов.

Первообра́ зной функции f называют такую F, производная которой равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. Так, например, функция является первообразной .

Неопределённый интегра́ л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то

;

Замена переменной в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям.

Вычислить интеграл .

Решение.

Сделаем замену переменной tg x = t, тогда . Получим табличный интеграл , где C - произвольная постоянная. Производя обратную замену переменной, получим:

Пусть функции и(х), v(x) имеют непрерывные производные, тогда — формула интегрирования по частям. Она применяется, если более прост для интегрирования, чем . для неопределённого интеграла:

для определённого:

 

Пример:

Определенный интеграл и его геометрический смысл.

Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции.

Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.

Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x).

Основные свойства определенного интеграла.

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

V.

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Экстремум функции многих переменных

Безусловный экстремум

Точка x0, y0 наз-ся точкой локального min(max), если сущ. Такая окрестность U(x0, y0) этой точки, что f(x, y) f(x0, y0),

Теорема. Если u=f(x, y) имеет в x0, y0 локальный экстремум и диф-ма в этой же точке, то .

Теорема. Пусть u=f(x0, y0) диф-ма в окрестности точки x0, y0 и дважды диф-ма x0, y0. Обозначим

D=a11a22- 12

Тогда если: 1) D> 0, то ф-ция имеет локальный экстремум

2) D< 0-экстремума нет

3) D=0- требуются дополнительные исследования

Условный экстремум

(x0, y0) наз-ся точкой условного лок-ого min(max), если сущ-ет такая окрестность U, что f(x, y) f(x0, y0), f(x, y) f(x0, y0), (x, y) U(x0, y0)/

Задача отыскания точек условного эк-ма равносильна поиску точек безусловного эк-ма, так наз-ой ф-ции Лангранжа:

-составим ф-цию:

где - вектор Лангранжа.

 

-Составим систему из уравнений

-Если полученная система имеет решение, то есть решение исходной задачи

 

Площадь фигуры и объём тела

Под фигурой в будем понимать любое множество точек. Прямоугольник П= . Площадь будем обозначать , тогда площадь прямоуг. .

Фигура F наз. эл-ой, если она сост. из конечных прям-ов Пi, которые имеют общие точки возможно лишь на границе. Элементарные фигуры , наз. соответственно описанными и вписанными в фигуру D, если .Внутренняя площадь S -sup, внешняя S -inf. Фигура D наз. квадрируемой, когда площадь её границы равна 0.

Объём. Под телом в будем понимать произвольное множество точек. Параллелепипед P= . . Эл-ым телом F наз. тело сост. из объединения конечного числа парал.Fi, которые имеют общие точки возможно лишь на границе. , наз. соответственно описан. и вписанным в тело D, если . Внутренний наз. sup, внешний -inf. Тело D будет кубируемым, когда объём его границы равен 0.

 

Тройной интеграл.

Если сущ. Конечный предел не зависящий от разбиения

и выбора точек ( , ) то этот предел назыв. тройным интегралом и обозна-ся

Тройной интеграл изучают и используют по аналогам с двойным.

Аналогично двойному интегралу сущ. формулы, позволяющие перейти от тройного интегр. к повторному(или двойному)

Например, если T-парал-ед, а -его проекция на плоскость , то тройной интеграл

= =

Пусть ф-ция f(x, y, z)непрерывна на D, тогда тройной интеграл по D

,

где I(u, v, w)-матрица Якоби отображения , (u.v.w)

Отметим основные классы интегрирования ф-ции:

1.непрерывные на компакте

2.оганиченные и непрерывные на мн-ве D, за исключением подмножества мн-ва D, объем которого равен 0.

3. произведение интегрируемых ф-ций.

 

Условие Эйлера

- назыв. условием Эйлера

Теорема.Пусть односвязное мн-во G ограничено кривой L, т.е. кривая L замкнутая.И пусть ф-ция P и Q непрерывно диференц. в области G.Тогда след. 4 услов. эквивалентны:

1.

2.Интеграл в области G не зависит от пути интегрирования.

3.Выражение явл. полным дифференц. в области G.

4.Ф-ции P и Q удовлетв. условию Эйлера

Замечание.При нахождении ф-ции F за основу можно брать рав-во , котор. сначало интегрир. по перемен. y, а затем дифференц. по перем. x.

 

Комплексные числа.

Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i ² = –1.Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP.. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:

 

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент :

Рассм. 2 комплексн. числа, запис. в тригонометр. формуле:

z₁ = r₁(cos φ ₁ + i sin φ ₁) и z₂ = r₂(cos φ ₂ + i sin φ ₂). Имеем:

_1. z₁₊ z₂₌ r₁cos φ ₁+ r₂cos φ ₂ +i( r₁sin φ ₁+ r₂sin φ ₂₎

2. z_1* z₂₌ r₁r₂(cos φ ₁+ isin φ ₁ )( cos φ ₂ + i sin φ ₂)= r₁r₂(cos φ ₁ cos φ ₂ +i cos φ ₁ sin φ ₂+

isin r₁r₂cos φ ₂ -sin φ ₁ sin φ ₂)= r₁r₂(cos(φ 1+φ 2)+isin(φ 1+φ 2)

Из этой формулы след. формула Муавра:

 

.

3.

4. +isin , k=0, n-1

 

25.Линейное пространство: определение и примеры.

Определение1. Мн-во V с определ-ми на нем операц. сложен. вект. и умнож. вект. на число назыв.веществ.вектор.(линейн) простр-ом, если указанные операц. облад след св-ами:

1.x+y=y+x(коммуникат)

2.x+(y+z)=(x+y)+z(фссщциативность)

3.сущ. нулевой элем. мн-ва V, обознач. 0, такой что 0+x=x, 0, х

4.для сущ. противопол элем -х , такой что х+-х=0

5. , x

6. , x

7. , x, y

8.1*x=x x

Примеры:

1.Если V есть мн-во своб вект.|R³ c обычным пониманием опер слож вект. и умнож.вект. на число.

2.мн-во -мн-во матриц размера m , в кот. сложение вект и умнож вект на число понимаются всмысле сложен матриц и умножение матрицы на число.

3.мн-во [x]-мн-во многочленов с действит коэффиц степени .Операции слож вект и умнож вектора на число поним. в обычном смысле слож многочлена и умнож многочленов на число.

Замечание.комплексное вект. пр-во опред. так же, как и веществ. вект. пр=во, если только в опред.1 мн-во заменить на мн-во C.

 

Матрица линейного оператора

Пусть Vn векторные пространства, f – лин. Оператор, Е= ) – базис в Vn. Раз f: Vn в себя, то элементы f( ), f( ) будут элементами пр-ва Vn, а значит их можно разложить по базису Е

f( )= )

………………………………………………….. (1)

 

g( )= )

Составим матрицу А= Обозначим f(E)=f( …f( Тогда (1) можно записать в виде: f(E)=EA. Матрица А называется матрицей линейного оператора f в базисе Е. Заметим, что матрица А зависит от базиса. Итак, показали, что каждому лин. оператору соответствует в заданном базисе матрица, верно и обратное. Обратим внимание, что каждый k-ый столбец матрицы А представляет собой координаты элемента f( ).

Возьмем Х Vn и положим у=f(х). Пусть Х, У координаты столбца-вектора х и у в базисе Е, тогда ЕУ=f(x)=f(EX)=f(E)X=EAX

Из этого равенства на основании того, что базисные векторы линейно независимы, имеем У=АХ (2)

(2) позволяет поставить в соответствие каждому опретору произведение матрицы на координатный столбец, т.е. любой лин. оператор можно определить соотношением (2)

 

 

31. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Подобные матрицы

Пусть V – линейное пространство, заданное двумя базисами е= ) и е′ =( ). Пусть S матрица перехода от базиса к базису e’, т.е. Е′ =SE (1) Пусть f – линейный оператор, действующий в пр-ве Vn, матрица которого в базисе Е обозначена через А, а в базисе Е′ через В. Возьмем х Vn и положим у=f(x). Векторы х и у разложим по базисам Е и Е′

x=EX=E′ X′ (2)

y=EY=E′ Y′

Используемые матрицы А и В запишем: У=АХ, У′ =ВХ′

SY=BSX SAX=BSX – это равенство справедливо для любого вектора х, поэтому S′ A=BS

A= BJ(или B=SA ) (3)

(3) устанавливает связь между матрицами 1-ого и также лин. оператора в разных базисах.

Определение: матрицы А и В называются подобными, если существует невырожденная матрица S, что A= BS, В= AS При этом матрица S называется трансформирующей. Ра-ва A= BJ называется преобразованием подобия или преобразованием матрицы.

Свойства:

1) Если А~В, В~С, то А~С

А= BS

B= С => A= C = C S= S

 

2)определители и ранги подобных матриц равны

 

 

 

Свойства

· Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

· Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

· Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа

Из коэффициентов квадратичной формы составим симметричную матрицу

А=

которую назовем матрицей квадратичной формы.

36. Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду

Метод Лагранжа - это просто метод выделения полных квадратов. Например:

(собираем все слагаемые с )

(обозначаем )
.
Если на каком-то шаге нет квадрата очередной переменной, но есть смешанное произведение, то надо сделать замену типа , , чтобы квадрат появился.

 

Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций.

Экстре́ мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x₁< x₂ выполняется неравенство (f(x₁) < f (x₂) (f(x₁) > f(x₂)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ^'(x) > 0 (f ^' (x) < 0).

123456Следующая ⇒

Поделиться: