Магнитное поле, создаваемое витком с током (магн. диполем) на его оси. Магнитный момент.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называ­ется скалярная физическая величина, равная

(120.1)

где Bn=В cos a —проекция вектора В на направление нормали к площадке dS (a — угол между векторами n и В), dS=dSn — вектор, модуль которого равен dS, а направление его совпадает с направлением нормали n к площадке. Поток вектора В может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cos a (определяется выбором положительного направления нормали n). Поток вектора В связывают с контуром, по которому течет ток. В таком случае положительное направление нормали к контуру нами уже определено (см. § 109): оно связывается с током правилом правого винта. Таким образом, магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.

Поток вектора магнитной индукции ФB через произвольную поверхность S равен

(120.2)

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору В, Bn=B=const и

Из этой формулы определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб — маг­нитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью 1 м2, расположен­ную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл (1 Вб=1 Тл× м2).

Теорема Гаусса для поля В: поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

(120.3)

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

Итак, для потоков векторов В и Е сквозь замкнутую поверхность в вихревом и потенциальном полях получаются различные выражения (см. (120.3), (81.2)).

В качестве примера рассчитаем поток вектора В сквозь соленоид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницае­мостью m, согласно (119.2), равна

Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен

а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называемый потокосцеплением,

Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).

30. Работа при движении контура (проводника) с током в магнитном поле.

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера. Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки, рис. 177), то под действием силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно перемещаться), помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпен­дикулярное плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера (см. (111.2)), равна

Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая магнитным полем, равна

так как ldx=dS — площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле, BdS=dФ — поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,

(121.1)

т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Полученная формула справедлива и для произвольного направления вектора В.

Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током I в магнитном поле. Предположим, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение М', изображенное на рис. 178 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа — за чертеж) указано на рисунке. Контур М мысленно разобьем на два соединенных своими концами проводника: AВС и CDА.

Работа dA, совершаемая силами Ампера при рассматриваемом перемещении контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению провод­ников AВС (dA1) и CDA (dA2), т. е.

(121.2)

Силы, приложенные к участку CDA контура, образуют с направлением перемеще­ния острые углы, поэтому совершаемая ими работа dA2> 0..Согласно (121.1), эта работа равна произведению силы тока I в контуре на пересеченный проводником CDA магнитный поток. Проводник CDA пересекает при своем движении поток dФ0 сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ2, пронизывающий контур в его конечном положении. Следовательно,

(121.3)

Силы, действующие на участок AВС контура, образуют с направлением перемещения тупые углы, поэтому совершаемая ими работа dA1< 0. Проводник AВСпересекает при своем движении поток dФ0 сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ1, пронизывающий контур в начальном положении. Следовательно,

(121.4)

Подставляя (121.3) и (121.4) в (121.2), получим выражение для элементарной работы:

где dФ2—dФ1=dФ' — изменение магнитного потока сквозь площадь, ограниченную контуром с током. Таким образом,

(121.5)

Проинтегрировав выражение (121.5), определим работу, совершаемую силами Ампера, при конечном произвольном перемещении контура в магнитном поле:

(121.6)

т. е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. Формула (121.6) остается справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле.