Первая группа. Дискретные случайные величины

Число положительных исходов при независимых повторных испытаниях;
Количество солнечных дней;
Количество пятен на солнце;
Игра в кости;
Лото.

Вторая группа. Непрерывные случайные величины

Температура воздуха;
Ошибки измерений;
Уровень шума в
электронных прибор

Дискретной называется случайная величина, которая при испытаниях может принимать одно из изолированных значений, количество которых конечно. К ним относятся величины из первой группы.

Непрерывной называют случайную величину, которая в пределах ее изменения может принимать любые значения, которые могут быть конечными или бесконечными. К ним относятся величины из второй группы.

Случайные величины принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита:
..., X, Y, Z

Конкретное значение, которое случайная величина (не важно какая – дискретная или непрерывная) приняла при испытании (опыте) принято обозначать как
x1, x2, x3,...; y1, y2, y3,...; z1, z2, z3,....

Для дискретной случайной величины принято также обозначать
X = {x1, x2, …, xn }, ах.

Билет 10

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, принимающей конечное число значений х_i с вероятностями р_i, называется сумма:

 

М ( Х ) = х₁ · р₁ + х₂ · р₂ + х₃ · р₃ +... + х_n· р_n.

 

Свойства математического ожидания:

 

1) М ( с · Х ) = с · М ( Х ), c R,

 

2) М ( Х + Y ) = М ( Х ) + М ( Y ), Х, Y Е,

 

3) М ( Х · Y ) = М ( Х ) · М ( Y ) для независимых случайных величин Х и Y.

 

Дисперсией случайной величины Х называется число:

 

D ( Х ) = М{ [ Х – М ( Х )] ² }= М ( Х ² ) – [М ( Х )] ².

 

Свойства дисперсии:

1) D ( с · Х ) = с ² · D ( Х ), c R,

 

2) D ( Х + Y ) = D ( Х ) + D ( Y ) для независимых случайных величин Х и Y.

 

Среднее квадратичное отклонение:

 

Билет 11 Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь разные формы.

Рядом распределения дискретной случайной величины Х называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины х₁, х₂, ..., х_n с соответствующими им вероятностями р₁, р₂, ..., р_n:

хi	x1	x2	...	xn
pi	p1	p2		pn

Связь числовых характеристик
и параметров типичных распределений

распределение	параметры	формула	Mx	Dx
равномерное	a, b		(b+a) / 2	(b-a)2 / 12
нормальное	a, σ		a	σ 2
Бернулли	n, p		np	npq
Пуассона	a		a	a

Билет 12.

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х ® + ¥ (при х ® - ¥ рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х ® + ¥. Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х ® + ¥. Тогда

lim = k.

х ® + ¥

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

х ® + ¥

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является

х ® + ¥

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем

х ® + ¥

lim [f (x) - (kx + l)] = 0,

х ® + ¥

 

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim (f (x) – kx)

х ® + ¥ х ® + ¥

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует

 

 

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) – kx)

х ® + ¥ х ® + ¥

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,

найденную нами выше другим способом:

 

 

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х ® + ¥, так и при х ® - ¥.

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.

Бывают горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты.

Билет 13.

Функция распределения случайной величины. Её свойства

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x.- случайная величина, то функция F(x) = F_x (x) = P(x < x) называется функцией распределения случайной величины x. Здесь P(x < x) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют простораспределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

· F(x)определена на всей числовой прямой R;

· F(x)не убывает, т.е. если x₁x₂, то F(x₁) F(x₂);

· F(- )=0, F(+ )=1, т.е. и ;

· F(x) непрерывна справа, т.е.

.

Функция распределения дискретной случайной величины

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁ < x₂ < … < x_i < … с вероятностями p₁ < p₂ < … < p_i < …, то таблица вида

x1	x2	…	xi	…
p1	p2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Если функция распределения F_x (x) непрерывна, то случайная величина x называетсянепрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p_x (x), которая связана с функцией распределения F_x (x) формулами

и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .

Билет 14.

Функция распределения случайной величины. Её свойства

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x.- случайная величина, то функция F(x) = F_x (x) = P(x < x) называется функцией распределения случайной величины x. Здесь P(x < x) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют простораспределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

· F(x)определена на всей числовой прямой R;

· F(x)не убывает, т.е. если x₁x₂, то F(x₁) F(x₂);

· F(- )=0, F(+ )=1, т.е. и ;

· F(x) непрерывна справа, т.е.

Дифференциальной функцией распределения f(x, у) двумерной непрерывной случайной величины (X, Y) называют вторую смешанную частную производную от интегральной функции:

Зная дифференциальную функцию f(x, у), можно найти интегральную функцию F(x, у) по формуле

Вероятность попадания случайной величины в область вычисляется по формуле

Свойство 1. Дифференциальная функция неотрицательна:

F(x, у)> =0.

Свойство 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от дифференциальной функции равен единице:

 

БИЛЕТ 15

Производной функции f ( x ) в точке x ₀ называется предел отношения приращения функции Δ f в этой точке к приращению аргумента Δ х , когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало). Нахождение производной называется дифференцированием . Вводится определение дифференцируемой функции: Функцияf, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке. Физический смысл производной x`(t) от непрерывной функции x(t) в точке t₀– есть мгновенная скорость изменения величины функции, при условии, что изменение аргумента Δ t стремится к нулю. Таким образом, мгновенная скорость (величина пути, пройденного за мгновение) и есть производная величина от функции, описывающей путь самолёта по времени. Мгновенная скорость - это и есть физический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).

Правила дифференцирования.

Если у функций f(x) и g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀:

Билет 16

Таблица производных

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: