Основная формула комбинаторики

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n_i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n₁*n₂*n₃*...*n_k. В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n₁=n₂=...n_k=n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n^k.Такой способ выбора носит название выборки с возвращением.

Определение 1. Размещением из n элементов по m называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Число размещений обозначается A_n^m и вычисляется по формуле:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Число сочетаний обозначается C_n^m
и вычисляется по формуле:

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Число различных перестановок из n элементов обозначается P_n и вычисляется по формуле P_n=n!.

Билет 25

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В).

Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)

БИЛЕТ 26

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,
а, k, C - постоянные величины.

Функцияf(x)	Первообразная F(x)	Формулы интегрирования (формулы вычисления первообразной)
k	kx +C	kdx=kx+C
xn	n+1xn+1+C n =1	xndx=n+1xn+1+C n =1
x1	ln\|x\| + C	xdx=ln x +C
sin x	- cos x + C	sinxdx=− cosx+C
cos x	sin x + C	cosxdx=− sinsx+C
1cos2x	tg x + C	dxcos2x=tgx+C
1sin2x	- ctg x + C	dxsin2x=− ctgx+C
ex	ex+C	exdx=ex+C
ax	axlnx+C a 0 a =1	axdx=axlnx+C a 0 a =1
11+x2	arctg x + C	dx1+x2=arctgx+C
1 1− x2	arcsin x + C	dx 1− x2=arcsinx+

БИЛЕТ 27

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю: