|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРАКТИКУМСтр 1 из 10Следующая ⇒
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРАКТИКУМ Выполнил: студент _________________________________ группа __________________________ специальность ____________________________ шифр __________________________ Проверил: ____________________________________ ____________________________________ Гродно 2011 Автор: ст. преподаватель кафедры информатики Рецензент: Фио Практикум содержит задания для работы в аудитории и самостоятельного решения по курсу начертательной геометрии, предусмотренному стандартами образования для технических специальностей. Использование практикума предусматривает продуктивную работу студентов на учебных занятиях, повышает эффективность изучения дисциплины, улучшает качество образовательного процесса. Задания, приведенные в практикуме, предназначены для выполнения в аудитории на практических занятиях. Часть заданий может быть использована для выполнения самостоятельно вне аудитории. Каждая тема раскрывается на лекциях, в процессе решения типовых примеров на практических занятиях. Задачи по каждой теме имеют различную степень сложности, что позволяет учитывать индивидуальный уровень подготовки каждого студента. Решение задач должно проводиться непосредственно в практикуме на выделенном месте. Все построения выполняются карандашом с использованием чертежных инструментов в заданном масштабе чертежа. Согласно требованиям ЕСКД проекции фигур выполняются сплошной толстой основной линией толщиной от 0, 8 до 1, 0 мм. Линии связи, оси проекций, линии построений выполняются сплошной тонкой линией толщиной 0, 3 мм. Все необходимые для построения линии и точки следует обозначать буквами или цифрами с соответствующими индексами. Необходимые надписи выполняются чертежным шрифтом размером 3, 5 или 5 мм. Практикум предназначен для студентов очной формы обучения, изучающих курс начертательной геометрии. Практикум с решёнными заданиями предъявляется преподавателю на практических занятиях, зачёте по начертательной геометрии. Начертательная геометрия. Практикум. рассмотрен и одобрен: на заседании кафедры «Информатики и компьютерного моделирования» « » марта 2011 г., протокол №__ Зав кафедрой, д.ф-м.н. Г.Ч. Шушкевич _____________________ на заседании УМК факультета М и И «____ » 2011г., протокол №____ Председатель УМК доц., д.ф-м.н. ФИО __________________________ Принятые наименования и обозначения 1. Плоскости проекций: Горизонтальная - П1 Фронтальная - П2 Профильная - П3 2. Дополнительные плоскости проекций, вводимые при замене плоскостей проукций- П4, П5… Пn 3. Начало координат - 0 4. Оси проекции пересечения двух плоскостей проекций. Так ось пересечения плоскости: П1 и П2 Ох - ось абсцисс П1 и П3 Оу - ось ординат П2 и П3 Оz - ось аппликат 5. Точки, расположенные в пространстве, обозначаются прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D, Е …L, M, N, … 6. Проекции точек: горизонтальные – А1, В1, С1….L1… фронтальные – А2, В2, С2….L2… профильные – А3, В3, С3….L3… на других дополнительных плоскостях проекций– Аn, Вn, Сn….Ln… 7. Прямые и кривые линии, произвольно расположенные в пространстве относительно плоскостей проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d,.. 8. Проекции прямых и кривых линий: горизонтальные – а1, b1, c1, d1… фронтальные – а2, b2, c2, d2… профильные – а3, b3, c3, d3… на других дополнительных плоскостях проекций– аn, bn, cn, dn… 9. Линии частного положения и их проекции: параллельные горизонтальной проекции – горизонталь – h (h1, h2 , h3) параллельные фронтальной проекции – фронталь – f (f1, f2, f3 ) параллельные профильной проекции – профильная – р (р1, р2, p3 ) проецирующие прямые – i ( i1, i2, i3) 10. Плоскости обозначаются строчными буквами греческого алфавита: α (альфа), β (бэта), γ ( гамма), δ (дельта), ε ( эпсилон). Λ ( лямда), σ ( сигма), j ( фи) 11. Следы плоскостей: горизонтальные - α П1, β П1… фронтальные - α П2, β П2… профильные - α П3, β П3… 12. ≡ - Совпадение ( А≡ В) – точка А и В совпадают 13. ║ Параллельность (а║ b) – прямые а и b параллельны. 14. ^ Перпендикулярность (а ^ α )- прямая а перпендикулярна плоскости α. 15. Î - Принадлежность (АÎ а) - точка А принадлежит прямой а (точка А лежит на прямой а). 16. Ì Включение (взаимная принадлежность) а Ì α – прямая а принадлежит плоскости α. 17. ∩ Пересечение ( А=а∩ α ) – точка А есть точка пересечения прямой а с поверхностью α. 18. Þ Импликация (логическое следование) (а║ с, b║ с Þ а║ b ) – если прямые а и b параллельны прямой с, то они параллельны между собой. ТОЧКА Общие сведения Способ построения комплексного чертежа точки основан на применении метода прямоугольного проецирования. Точку проецируют на три взаимно перпендикулярных плоскости проекций, которые делят пространство на 8 частей - октантов. Их нумерация показана на рис. 1.
Рис. 1 Рис. 2
Плоскость П1располагают горизонтально и называютгоризонтальной плоскостью проекций. Плоскость П2располагают вертикально перед наблюдателем и называютфронтальной плоскостью проекций. Плоскость П3располагают вертикально и перпендикулярно двум, П1 и П2, плоскостям. Ее называютпрофильной плоскостью проекций. Пользоваться данной пространственной моделью для изображения ортогональных проекций геометрических объектов неудобно, поэтому его преобразуют в эпюр (рис.2) следующим образом: горизонтальную и профильную плоскости проекций совмещают с фронтальной путем поворота плоскости П1 на 90º вокруг оси x по часовой стрелке и плоскости П3на 90º вокруг оси z против часовой стрелки. Эпюр - чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры. Примеры решения задач Задача №1. По заданным координатам построить наглядное изображение точек А и В и их эпюры. Для построения каждой точки выполнить отдельный чертеж. Определить положение точек относительно плоскостей проекций.
а) А (40, 30, 50)
Рис. 3 Рис. 4
Точка А находится в I октанте и удалена от горизонтальной плоскости проекций на 50 мм, от фронтальной плоскости проекций - на 30 мм, от профильной плоскости проекций - на 40 мм (рис. 3, 4).
б) В (40, 0, 30)
Рис. 5 Рис. 6
Точка В
Вопросы для подготовки 1. Метод центрального проецирования. Его основные элементы и область применения. 2. Метод параллельного проецирования и его основные свойства. 3. Сущность метода Монжа. Комплексный чертеж точки в системе двух и трех плоскостей проекций. 4. Как образуются четверти и октанты пространства? 5. Какие координаты определяют горизонтальную, фронтальную и профильную проекцию точки? 6. Особенности изображения на комплексном чертеже точек, расположенных в различных четвертях и октантах пространства. 7. Условия связи между проекциями точки на комплексном чертеже. Задачи 1.1. По наглядному изображению точек A, B, C, D, E, F, G определить и записать их координаты. Построить комплексный чертеж точек в системе двух плоскостей проекций.
1.2. По двум заданным проекциям точек A, B, C, D, E, F, G построить третью. Измерить и записать координаты точек; определить, в какой части пространства расположены точки. Построить наглядные изображения точек.
1.3. Построить проекции точки В, расположенной на 10 мм ближе к плоскости П1 и на 20 мм дальше от плоскости П2, чем заданная точка А(30, 10, 25). Постройте наглядное изображение точек.
1.4. По двум заданным проекциям точек построить третью. Определить, в каком октанте пространства расположена точка.
1.5. Задана точкаА(15, 20, 30). Построить проекции точек, симметричных точке А: В - относительно плоскости П1, С -относительно плоскости П2, D - относительно оси проекций Оx, Е - относительно начала координат.
ЛИНИЯ Общие сведения Линию следует рассматривать как траекторию перемещения точки. Линии могут быть пространственные и плоские. Пространственными линиями называют линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости. Линии, у которых все точки принадлежат одной плоскости, называют плоскими. Простейшей линией является прямая. При ортогональном проецировании, в общем случае, на плоскость прямая проецируется в прямую. Поэтому для определения её проекции достаточно знать проекции двух нетождественных точек, принадлежащих этой прямой. Прямая может занимать следующие положения относительно плоскостей проекций: 1. Прямыеобщего положения - это прямые не параллельные и не перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций.
Модель Эпюр
2. Прямыечастного положения; а) прямые уровня - прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций; Горизонтальная прямая уровня h CD || П1
Модель Эпюр Фронтальная прямая уровня f EF || П2
Модель Эпюр Профильная прямая уровня p MN || П3
Модель Эпюр a - угол наклона прямой к П1; b - угол наклона прямой к П2; g - угол наклона прямой к П3; б) проецирующие прямые - прямые, перпендикулярные к какой-либо плоскости проекций и параллельные к другим двум; Горизонтально – проецирующая прямая KL ^ П1
Модель Эпюр Фронтально - проецирующая прямая HG ^ П2
Модель Эпюр Профильно - проецирующая прямая PQ ^ П3
Модель Эпюр
в) прямые, принадлежащие плоскости проекций - частный случай прямых уровня. След прямой - это точка пересечения прямой с плоскостью проекций. Точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций называют горизонтальным следом прямой, с фронтальной - фронтальным следом прямой, с профильной - профильным следом прямой.
Модель Эпюр N – фронтальный след прямой, M – горизонтальный след прямой. Положение горизонтального и фронтального следов прямой определяет, какие четверти пространства пересекает прямая. Прямая частного положения не пересекает все три плоскости и не имеет следа на той плоскости, которой она параллельна. В частности горизонтальная прямая не имеет горизонтального следа, фронтальная прямая не имеет фронтального следа, горизонтально-проецирующая прямая не имеет фронтального и профильного следов и т. д. По взаимному положению прямых в пространстве они подразделяются на: · совпадающие; · пересекающиеся прямые; · параллельные прямые; · скрещивающиеся прямые. Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а проекции точек пересечения лежат на одной линии связи. Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны между собой в пространстве. Точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи. На скрещивающихся прямых можно выделить конкурирующие точки, т. е. такие, проекции которых на одной из плоскостей совпадают. Анализ положения конкурирующих точек позволяет определить, какая из изображенных на чертеже точек прямой ближе другой к наблюдателю.
Рис.7 В нашем примере (рис.7) на фронтальной плоскости проекций конкурируют точки А и В, при проецировании их на горизонтальную плоскость проекций точка А расположена ближе к наблюдателю и координата y у нее больше, следовательно, на фронтальной плоскости проекций точка В будет невидима. Точки С и D конкурируют на горизонтальной плоскости проекций. По направлению взгляда мы видим, что точка С расположена выше (координата z больше), а следовательно, на горизонтальной плоскости проекций точка D будет невидима. Примеры решения задач Задачи
2.1. Прочитать чертеж отрезка АВ.
2.3. Определить взаимное положение прямых.
2.4. Построить следы прямой. Указать четверти пространства, через которые проходит прямая.
2.11. Опустить перпендикуляр из точки А на прямую m.
Общие сведения Плоскость на чертеже может быть задана следующими способами: · проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой, · прямой и точкой, не лежащей на этой прямой, · двух пересекающихся прямых, · двух параллельных прямых, · проекциями плоской фигуры. Плоскость относительно плоскостей проекций может занимать одно из следующих положений: 1. Плоскость не параллельна и не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций. Такая плоскость называется плоскостью общего положения. 2. Плоскость перпендикулярна к одной плоскости проекций. Такая плоскость называется проецирующей. Если плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то её называют горизонтально-проецирующей плоскостью, если плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций - фронтально-проецирующей плскостью, если плоскость перпендикулярна профильной плоскости проекций - профильно-проецирующей плоскостью. 3. Плоскость параллельная какой – либо плоскости проекций называется плоскостью уровня.Такие плоскости называются горизонтальными, фронтальными или профильными в зависимости от того, какой из плоскостей проекций данная плоскость параллельна. Прямая по отношению к плоскости может занимать одно из следующих положений: · принадлежать плоскости; · быть параллельной плоскости; · пересекать плоскость, в частном случае, занимая перпендикулярное плоскости положение. Построение линий, лежащих в плоскости, основано на свойстве принадлежности точки и линии плоскости: 1) точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, расположенной в этой плоскости; 2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две различные точки этой плоскости (рис.11). К главным линиям плоскости относят линии уровня и линии наибольшего наклона. Прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные плоскостям проекций, называют линиями уровня. Различают горизонтальную прямую плоскости (горизонталь), фронтальную прямую плоскости (фронталь) и профильную прямую плоскости. Горизонталью (h) называется прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция горизонтали (h2) параллельна оси Ох (рис. 11). Фронталью (f) плоскости называется прямая, лежащая в этой плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. У фронтали горизонтальная проекция (f1) параллельна оси Ох.
Рис. 11 Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Такими пересекающимися прямыми могут быть: · произвольные прямые плоскости; · следы плоскостей. На рис.12 плоскость a, заданная двумя пересекающимися прямыми h и f параллельна плоскости b заданной следами bП1 и bП2. Согласно определению параллельности двух плоскостей: h1 || h01(bП1), f1 || f01(ось Х), h2 || h02(ось Х), f2 || f02(bП2).
Рис. 12 Если плоскости не параллельны, то они пересекаются по прямой линии. Построение линии пересечения плоскостей - это первая основная позиционная задача начертательной геометрии на пересечение геометрических образов. Все задачи на пересечение двух плоскостей можно разбить на две группы: 1) нахождение двух точек, принадлежащих одновременно двум плоскостям. Эти точки определяют искомую линию пересечения плоскостей; 2) определение одной общей точки и направления линии пересечения плоскостей. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей плоскости. Плоскость может быть задана следами, т. е. такими прямыми, по которым она пересекает плоскости проекций. Различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости. Если плоскость пересекает оси проекций, то на этих осях получаются точки пересечения следов плоскости между собой, которые называются точками схода следов плоскости. След плоскости на плоскости проекций совпадает со своей проекцией на этой плоскости. Горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией, а фронтальная проекция горизонтального следа лежит на оси Ох. Фронтальный след совпадает со своей фронтальной проекцией, а горизонтальная проекция фронтального следа также лежит на оси Ох. Следует помнить, что горизонталь имеет только один фронтальный след, а фронталь имеет только один горизонтальный след. Отметим также, что все горизонтали одной плоскости параллельны между собой и параллельны горизонтальному следу плоскости, так же все фронтали плоскости параллельны между собой и параллельны фронтальному следу этой плоскости. Пересечением прямой и плоскости является точка. Для нахождения точки пересечения в общем случае пользуются следующим алгоритмом: 1) заданную прямую заключают в вспомогательную проецирующую плоскость; 2) находят линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей; 3) точка пересечения найденной линии и заданной является искомой. Пересечением двух плоскостей является прямая, поэтому для ее определения достаточно найти две точки, принадлежащие одновременно каждой из двух заданных плоскостей. В общем случае пользуются следующим алгоритмом: 1) вводят две вспомогательные секущие (проецирующие) плоскости; 2) находят линии пересечения заданных плоскостей с одной из вспомогательных; 3) находят точку пересечения найденных линий пересечения; 4) выполняют те же действия со второй вспомогательной плоскостью; 5) через полученные точки проводят искомую линию пересечения. Если плоскости заданы следами, то построение их линии пересечения упрощается, т.к. роль вспомогательных секущих плоскостей могут выполнять плоскости проекций. При определении видимости точек, линий, плоскостей условно считают, что плоскости непрозрачны. Анализ видимости линий проводят путем анализа видимости конкурирующих точек. Конкурирующие точки - это точки, проекции которых на одной из плоскостей проекций совпадают. При определении видимости на фронтальной плоскости проекций смотрят на конкурирующие точки снизу и определяют, какая точка или линия находится ближе к наблюдателю. При определении видимости на горизонтальной плоскости проекций смотрят на конкурирующие точки сверху и определяют, какая точка или линия находится выше. Примеры решения задач Задача №1. Найти точку пересечения прямой m c плоскостью S(АВС) (рис. 13).
Рис. 13 Решение задачи состоит из трех этапов. 1. Прямую m заключают во вспомогательную плоскость D. В данном случае выбрали горизонтально проецирующую плоскость (можно заключить и во фронтально проецирующую плоскость). 2. Строят линию пересечения плоскостей D и S. Ее находят в пересечении двух прямых АВ и ВС, принадлежащих плоскости S, с плоскостью D. АВ Ç D = 1, ВС Ç D = 2. Линией пересечения плоскостей S и D является прямая (1-2). 3. Находят точку пересечения линий m и (1-2). Вначале определяют фронтальную проекцию искомой точки К – К2, затем с помощью линии проекционной связи находят ее горизонтальную проекцию – К1. В точке К прямая m пересекает плоскость S. Определим видимость прямой линии, применяя способ конкурирующих точек. Если смотреть по направлению проецирующей прямой, то можно увидеть ту из конкурирующих точек, которая наиболее удалена от плоскости проекций, или наиболее близко расположена к наблюдателю. Так, на горизонтально-проецирующей прямой (1-3), находятся точки 1 и 3, принадлежащие прямым m и АВ. Точка 1 принадлежит стороне АВ треугольника, точка 3 принадлежит прямой m. По фронтальным проекциям 12 и 32 этих точек устанавливаем, что точка 1 расположена дальше, чем точка 3 относительно плоскости проекций П1. Следовательно, на участке (3-K) прямая линия m (если смотреть на горизонтальную плоскость проекций П1) находится под плоскостью треугольника, т.е. закрыта этим треугольником. Условно горизонтальную, проекцию прямой m1 на участке (31-К1) покажем штриховой линией. Чтобы определить видимость прямой относительно фронтальной плоскости проекций, воспользуемся фронтально-проецирующей прямой (4-5). Здесь точка 5 принадлежит стороне ВС треугольника, а точка 4 – прямой m. По местоположению горизонтальных проекций этих точек устанавливаем, что точка 5 ближе к наблюдателю, чем точка 4. Поэтому на участке (К-4) (если смотреть на фронтальную плоскость проекций П2) прямая m закрыта треугольником и является невидимой. Условно на участке (К2-42) проекцию m2 прямой покажем штриховой линией. Задача №2. По заданным координатам построить комплексный чертеж пересечения двух плоскостей. Определить видимость. Плоскости ABC и DEF являются плоскостями общего положения (рис. 14). Заключим фронтальную проекцию FD в вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость α, которая пересекает треугольник ABC по отрезку 1-2. 11-21 ∩ F1 D1 = K1. Находим K2. Введем вторую вспомогательную секущую плоскость β . Заключим горизонтальную проекцию AC в горизонтально-проецирующую плоскость β . b∩ DEF = 3-4. 32-42 ∩ A2 C2 = L2. Находим L1. Точки K и L принадлежат линии пересечения заданных плоскостей, поэтому отрезок KL является искомым. Видимость линий определяем с помощью конкурирующих точек.
Рис. 14
Вопросы для подготовки 1. Какие существуют способы задания плоскости на чертеже? 2. Какое положение может занимать плоскость относительно плоскостей проекций? 3. Что такое следы плоскости? Как находят следы плоскости? 4. Что такое линии уровня в плоскости? 5. Что такое линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций? Каков алгоритм их построения? 6. Как найти недостающие проекции точек и прямых, лежащих в плоскости? 7. Как достроить недостающую проекцию плоской фигуры? 8. Какое положение по отношению друг к другу могут занимать плоскости? 9. Что является результатом пересечения двух плоскостей? Сколько точек необходимо найти для построения линии пересечения плоскостей? 10. По какому алгоритму в общем случае решается задача построения линии пересечения двух плоскостей? 11. Каково условие параллельности двух плоскостей? 12. Какое положение по отношению друг к другу могут занимать прямая и плоскость? 13. Как определяется видимость прямой относительно плоскости? 14. Каково условие параллельности прямой и плоскости? Задачи 3.1. Определить положение плоскостей заданных различными способами относительно плоскостей проекций, записать их название.
3.3. Определить положение плоскости, заданной прямыми а и b, относительно плоскостей проекций. Найти недостающие проекции точек А и В, принадлежащих плоскости. Через точку В провести в плоскости горизонталь и фронталь.
3.5. Прямую а заключить в плоскость, задав ее следами:
3.6. Достроить недостающую проекцию треугольника ABC, принадлежащего плоскости S.
3.9. Построить следы плоскости: а ) S(а, b), б) D(f, h).
3.11. Достроить недостающую проекцию плоского многоугольника.
3.17. Построить линию пересечения плоскостей, заданных различными способами.
3.18. Построить линию пересечения плоскостей.
3.19. Построить линию пересечения плоскостей по стандартному алгоритму. Записать план решения задачи.
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 10021; Нарушение авторского права страницы
П2, удалена от горизонтальной плоскости проекций на 30 мм, от профильной плоскости проекций - на 40 мм (рис. 5, 6).
