|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Плоскость. Прямая и точка в плоскости. Взаимное положение прямой линии и плоскости. Взаимное положение плоскостей
Общие сведения Плоскость на чертеже может быть задана следующими способами: · проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой, · прямой и точкой, не лежащей на этой прямой, · двух пересекающихся прямых, · двух параллельных прямых, · проекциями плоской фигуры. Плоскость относительно плоскостей проекций может занимать одно из следующих положений: 1. Плоскость не параллельна и не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций. Такая плоскость называется плоскостью общего положения. 2. Плоскость перпендикулярна к одной плоскости проекций. Такая плоскость называется проецирующей. Если плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то её называют горизонтально-проецирующей плоскостью, если плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций - фронтально-проецирующей плскостью, если плоскость перпендикулярна профильной плоскости проекций - профильно-проецирующей плоскостью. 3. Плоскость параллельная какой – либо плоскости проекций называется плоскостью уровня.Такие плоскости называются горизонтальными, фронтальными или профильными в зависимости от того, какой из плоскостей проекций данная плоскость параллельна. Прямая по отношению к плоскости может занимать одно из следующих положений: · принадлежать плоскости; · быть параллельной плоскости; · пересекать плоскость, в частном случае, занимая перпендикулярное плоскости положение. Построение линий, лежащих в плоскости, основано на свойстве принадлежности точки и линии плоскости: 1) точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, расположенной в этой плоскости; 2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две различные точки этой плоскости (рис.11). К главным линиям плоскости относят линии уровня и линии наибольшего наклона. Прямые линии, лежащие в плоскости и параллельные плоскостям проекций, называют линиями уровня. Различают горизонтальную прямую плоскости (горизонталь), фронтальную прямую плоскости (фронталь) и профильную прямую плоскости. Горизонталью (h) называется прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция горизонтали (h2) параллельна оси Ох (рис. 11). Фронталью (f) плоскости называется прямая, лежащая в этой плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. У фронтали горизонтальная проекция (f1) параллельна оси Ох.
Рис. 11 Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Такими пересекающимися прямыми могут быть: · произвольные прямые плоскости; · следы плоскостей. На рис.12 плоскость a, заданная двумя пересекающимися прямыми h и f параллельна плоскости b заданной следами bП1 и bП2. Согласно определению параллельности двух плоскостей: h1 || h01(bП1), f1 || f01(ось Х), h2 || h02(ось Х), f2 || f02(bП2).
Рис. 12 Если плоскости не параллельны, то они пересекаются по прямой линии. Построение линии пересечения плоскостей - это первая основная позиционная задача начертательной геометрии на пересечение геометрических образов. Все задачи на пересечение двух плоскостей можно разбить на две группы: 1) нахождение двух точек, принадлежащих одновременно двум плоскостям. Эти точки определяют искомую линию пересечения плоскостей; 2) определение одной общей точки и направления линии пересечения плоскостей. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей плоскости. Плоскость может быть задана следами, т. е. такими прямыми, по которым она пересекает плоскости проекций. Различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости. Если плоскость пересекает оси проекций, то на этих осях получаются точки пересечения следов плоскости между собой, которые называются точками схода следов плоскости. След плоскости на плоскости проекций совпадает со своей проекцией на этой плоскости. Горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией, а фронтальная проекция горизонтального следа лежит на оси Ох. Фронтальный след совпадает со своей фронтальной проекцией, а горизонтальная проекция фронтального следа также лежит на оси Ох. Следует помнить, что горизонталь имеет только один фронтальный след, а фронталь имеет только один горизонтальный след. Отметим также, что все горизонтали одной плоскости параллельны между собой и параллельны горизонтальному следу плоскости, так же все фронтали плоскости параллельны между собой и параллельны фронтальному следу этой плоскости. Пересечением прямой и плоскости является точка. Для нахождения точки пересечения в общем случае пользуются следующим алгоритмом: 1) заданную прямую заключают в вспомогательную проецирующую плоскость; 2) находят линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей; 3) точка пересечения найденной линии и заданной является искомой. Пересечением двух плоскостей является прямая, поэтому для ее определения достаточно найти две точки, принадлежащие одновременно каждой из двух заданных плоскостей. В общем случае пользуются следующим алгоритмом: 1) вводят две вспомогательные секущие (проецирующие) плоскости; 2) находят линии пересечения заданных плоскостей с одной из вспомогательных; 3) находят точку пересечения найденных линий пересечения; 4) выполняют те же действия со второй вспомогательной плоскостью; 5) через полученные точки проводят искомую линию пересечения. Если плоскости заданы следами, то построение их линии пересечения упрощается, т.к. роль вспомогательных секущих плоскостей могут выполнять плоскости проекций. При определении видимости точек, линий, плоскостей условно считают, что плоскости непрозрачны. Анализ видимости линий проводят путем анализа видимости конкурирующих точек. Конкурирующие точки - это точки, проекции которых на одной из плоскостей проекций совпадают. При определении видимости на фронтальной плоскости проекций смотрят на конкурирующие точки снизу и определяют, какая точка или линия находится ближе к наблюдателю. При определении видимости на горизонтальной плоскости проекций смотрят на конкурирующие точки сверху и определяют, какая точка или линия находится выше. Примеры решения задач Задача №1. Найти точку пересечения прямой m c плоскостью S(АВС) (рис. 13).
Рис. 13 Решение задачи состоит из трех этапов. 1. Прямую m заключают во вспомогательную плоскость D. В данном случае выбрали горизонтально проецирующую плоскость (можно заключить и во фронтально проецирующую плоскость). 2. Строят линию пересечения плоскостей D и S. Ее находят в пересечении двух прямых АВ и ВС, принадлежащих плоскости S, с плоскостью D. АВ Ç D = 1, ВС Ç D = 2. Линией пересечения плоскостей S и D является прямая (1-2). 3. Находят точку пересечения линий m и (1-2). Вначале определяют фронтальную проекцию искомой точки К – К2, затем с помощью линии проекционной связи находят ее горизонтальную проекцию – К1. В точке К прямая m пересекает плоскость S. Определим видимость прямой линии, применяя способ конкурирующих точек. Если смотреть по направлению проецирующей прямой, то можно увидеть ту из конкурирующих точек, которая наиболее удалена от плоскости проекций, или наиболее близко расположена к наблюдателю. Так, на горизонтально-проецирующей прямой (1-3), находятся точки 1 и 3, принадлежащие прямым m и АВ. Точка 1 принадлежит стороне АВ треугольника, точка 3 принадлежит прямой m. По фронтальным проекциям 12 и 32 этих точек устанавливаем, что точка 1 расположена дальше, чем точка 3 относительно плоскости проекций П1. Следовательно, на участке (3-K) прямая линия m (если смотреть на горизонтальную плоскость проекций П1) находится под плоскостью треугольника, т.е. закрыта этим треугольником. Условно горизонтальную, проекцию прямой m1 на участке (31-К1) покажем штриховой линией. Чтобы определить видимость прямой относительно фронтальной плоскости проекций, воспользуемся фронтально-проецирующей прямой (4-5). Здесь точка 5 принадлежит стороне ВС треугольника, а точка 4 – прямой m. По местоположению горизонтальных проекций этих точек устанавливаем, что точка 5 ближе к наблюдателю, чем точка 4. Поэтому на участке (К-4) (если смотреть на фронтальную плоскость проекций П2) прямая m закрыта треугольником и является невидимой. Условно на участке (К2-42) проекцию m2 прямой покажем штриховой линией. Задача №2. По заданным координатам построить комплексный чертеж пересечения двух плоскостей. Определить видимость. Плоскости ABC и DEF являются плоскостями общего положения (рис. 14). Заключим фронтальную проекцию FD в вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость α, которая пересекает треугольник ABC по отрезку 1-2. 11-21 ∩ F1 D1 = K1. Находим K2. Введем вторую вспомогательную секущую плоскость β . Заключим горизонтальную проекцию AC в горизонтально-проецирующую плоскость β . b∩ DEF = 3-4. 32-42 ∩ A2 C2 = L2. Находим L1. Точки K и L принадлежат линии пересечения заданных плоскостей, поэтому отрезок KL является искомым. Видимость линий определяем с помощью конкурирующих точек.
Рис. 14
Вопросы для подготовки 1. Какие существуют способы задания плоскости на чертеже? 2. Какое положение может занимать плоскость относительно плоскостей проекций? 3. Что такое следы плоскости? Как находят следы плоскости? 4. Что такое линии уровня в плоскости? 5. Что такое линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций? Каков алгоритм их построения? 6. Как найти недостающие проекции точек и прямых, лежащих в плоскости? 7. Как достроить недостающую проекцию плоской фигуры? 8. Какое положение по отношению друг к другу могут занимать плоскости? 9. Что является результатом пересечения двух плоскостей? Сколько точек необходимо найти для построения линии пересечения плоскостей? 10. По какому алгоритму в общем случае решается задача построения линии пересечения двух плоскостей? 11. Каково условие параллельности двух плоскостей? 12. Какое положение по отношению друг к другу могут занимать прямая и плоскость? 13. Как определяется видимость прямой относительно плоскости? 14. Каково условие параллельности прямой и плоскости? Задачи 3.1. Определить положение плоскостей заданных различными способами относительно плоскостей проекций, записать их название.
3.3. Определить положение плоскости, заданной прямыми а и b, относительно плоскостей проекций. Найти недостающие проекции точек А и В, принадлежащих плоскости. Через точку В провести в плоскости горизонталь и фронталь.
3.5. Прямую а заключить в плоскость, задав ее следами:
3.6. Достроить недостающую проекцию треугольника ABC, принадлежащего плоскости S.
3.9. Построить следы плоскости: а ) S(а, b), б) D(f, h).
3.11. Достроить недостающую проекцию плоского многоугольника.
3.17. Построить линию пересечения плоскостей, заданных различными способами.
3.18. Построить линию пересечения плоскостей.
3.19. Построить линию пересечения плоскостей по стандартному алгоритму. Записать план решения задачи.
3.22. Через точку А провести плоскостьD параллельную плоскости S.
3.23. Проверить параллельность плоскостей.
3.26. Найти точку пересечения прямой m с плоскостью S для частных случаев расположения прямой или плоскости. Определить видимость.
г) д) е)
3.27. Найти точку пересечения прямой m с плоскостью S. Определить видимость.
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 2541; Нарушение авторского права страницы
