Амплитудное значение напряжения на ёмкости

u_Cm = I_m× x_C = 10× 39, 81 = 398, 1 B.

Действующие значения

I = = = 7, 07 A, u_C = = = 281, 5 B.

Действующие значения напряжений на активных сопротивлениях

u_r1= I× r₁ = 7, 07× 10 = 70, 7 B, u_r2= I× r₂ = 7, 07× 20 = 141, 4 B.

II-й закон Кирхгофа в векторной форме при одном токе I имеет вид u_r1+u_r2+u_C = u, в соответствии с которым построена векторная диаграмма цепи (рис. 3.4, б).

Из прямоугольного треугольника напряжений (наружный треугольник)

u = = = 352 B,

j = arctg = arctg = -53°.

Мгновенное значение напряжения сети

u(t)= U_m× sin(ω t+ψ _i+j) = u× × sin(ω t+15°+(-53°)) = 352 × sin(ω t – 38°) B.

Напряжение на конденсаторе по фазе отстаёт от тока на 90°, его мгновенное значение u_C(t)= 398, 1× sin(ω t – 75°) B.

Напряжение на участке r₂-C, приложенное к ваттметру и вольтметру, рассчитаем по треугольнику напряжений u₂-u_r2-u_C:

u₂ = u_W = = = 315 B.

Вольтметр схемы рис. 3.4, а измеряет действующее значение напряже-ния u₂= 315 B.

Показание ваттметра: P_W = u_W × I_W × cos .

В нашем примере I_W = I, поэтому

P_W = u₂× I× cosj ₂ = I× (u₂× cosj ₂)= I× u_r2= I× I× r₂ = I ²× r₂ = P₂ – активная мощность, потребляемая сопротивлением r₂, и P₂ = 7, 07²× 20 = 1000 Bт.

 

ЗАДАЧА 3.4. Найти токи и напряжения в электрической цепи рис. 3.5, а, если: активное сопротивление катушки r_к = 4 Ом, индуктивное сопротивле-ние катушки х_к = 6 Ом, активное сопротивление реостата R = 2 Ом, ёмкост-ное сопротивление конденсатора х_С = 14 Ом, напряжение сети переменного тока U = 50 В.Построить векторную диаграмму цепи.

 

Решение

Ток цепи I, измеряемый амперметром А:

I = = = = 5 А.

Угол сдвига фаз цепи j_вх = arctg = arctg = -53, 13° < 0.

Вольтметр V измеряет входное напряжение U = 50 В.

Напряжение на катушке измеряется вольтметром V₁:

U_к = = I× Z_к = I× = 5× = 36 В.

Напряжение на реостате: U_R = I× R = 5× 2 = 10 В,

напряжение на конденсаторе U_C = I× х_С = 5× 14 = 70 В.

Векторная диаграмма цепи построена на рис. 3.5, б.

Ваттметр измеряет активную мощность цепи

Р = U× I× cosj_вх = I ²× (r_к + R) = 5²× (4 + 2) = 150 Вт.

Обращаем внимание на то, что в последовательной цепи при наличии разнородных реактивных элементов (индуктивного и ёмкостного), напряже-ние на реактивном элементе может быть больше напряжения сети:

U_C =70 В > U = 50 В.

ЗАДАЧА 3.5. В условиях задачи 3.4 при неизменном напряжении сети и параметрах r_к, х_к, R в широких пределах изменяется сопротивление кон-денсатора х_С(0¸ ¥ ).

Построить резонансные кривые I(х_С), U_L(х_С), U_С(х_С).

Решение

Ток в последовательной цепи рис. 3.5, а:

I = = А,

напряжение на индуктивности U_L = I× х_L = I× 6 В,

напряжение на ёмкости

U_С = I× х_С = = В.

Результаты расчёта резонансных кривых сведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

хС, Ом											¥
I, А	5, 89	6, 93	7, 9	8, 33	7, 9	6, 93	5, 89		3, 28	2, 02
UL, В	35, 4	41, 6	47, 4		47, 4	41, 6	35, 4		19, 7	12, 1
UС, В		13, 9	31, 6		63, 2	69, 3	70, 7		65, 6	60, 6	U = 50

В табл. 3.3 выделена колонка, когда х_к=х_С=6 Ом и в цепи наступает резонанс напряжений U_L=U_С. При этом входное сопротивление цепи минимальное Z_{вх min} = r_к+R = 6 Ом,

а ток максимальный I_max = = = 8, 33 A.

Кривая напряжения U_L повторяет по форме кривую тока, так как х_к=const, и тогда U_Lmax = I_max× х_к = 8, 33× 6 = 50 В.

Найдём максимальное значение U_Сmax в зависимости от х_С, исследовав кривую U_С(х_С) на максимум.

Координата х_С при U_С = U_Сmax определится уравнением

= 0 или – = 0,

(r_к+R)² + х_к² – 2 х_к х_С + х_C² + х_к х_С – х_C²= 0,

откуда = = = 12 Ом.

Резонансные кривые приведены на рис. 3.6.

ЗАДАЧА 3.6. Определить показания приборов в схеме рис. 3.7, а, мгновенное значение тока i₁ в неразветвлённой части схемы, построить векторную диаграмму, если:

u(t)= 200× sin(ω t+25°) В, r = 50 Ом, х_С = 50 Ом.

Решение

Приборы реагируют на действующие значения величин.

Действующие значения токов параллельных ветвей

I₂= = = = 2 = 2, 83 А,

I₃= = = 2 = 2, 83 А.

Так как ток в активном сопротивлении i₃ совпадает по фазе с напряжением, ток в ёмкости опережает по фазе напряжение на 90°, а в соответствии с І законом Кирхгофа i₁ = i₂ + i₃, то треугольник токов на векторной диаграмме (рис. 3.7, б) прямоугольный, откуда

I₁= = = 4 А,

угол сдвига фаз между током i₁ и напряжением u на входе схемы отрицательный и равен

j = -arctg = -arctg1= -45°.

Мгновенное значение тока

i₁(t) = I_1m× sin(ω t +y_u – j) = 4 × sin(ω t + 70°) A.

Показания амперметров

A₁ ® I₁= 4 А, A₂ ® I₂= 2, 83 А, A₃ ® I₃= 2, 83 А.

Показание ваттметра

P_W = u_W × I_W × cos = u× I₁× cosj = × 4× cos45° =400 Вт.

Заметим, что по схеме рис. 3.7, а ваттметр измеряет активную мощность части цепи, находящейся справа от ваттметра. Но по закону Джоуля-Ленца в этой части расходуется мощность только в активном сопротивлении r, причём

Р₃= I₃²× r = × 50 = 400 Вт, что совпадает с показанием ваттметра.

 

ЗАДАЧА 3.7. Найти показания приборов в схеме рис. 3.8, а, построить векторную диаграмму, если u = 200 В, r₁= 30 Ом, х₁= 40 Ом, r₂= 50 Ом.

Проверить балансы активных и реактивных мощностей.

 

 

Решение

Токи параллельных ветвей рассчитаем по закону Ома и определим соответствующие показания амперметров:

I₂= = = =4 А, ® А₂,

I₁= = = = 4 А, ® А₁.

Ток i₂ в активном сопротивлении совпадает по фазе с напряжением u, ток i₁ отстаёт на угол j ₁, так как в этой ветви имеется индуктивность, а сам угол j ₁ определим из треугольника сопротивлений этой ветви

j ₁ = arctg = arctg = 53, 13°.

При этом cosj ₁ = = = 0, 6, sinj ₁ = = = 0, 8.

Всё изложенное учтено при построении векторной диаграммы цепи (рис. 3.8, б).

В рассматриваемом примере получен косоугольный треугольник токов I₁, I₂, I. Задача расчёта косоугольного треугольника токов сводится к прямоугольному, если систему векторов токов спроецировать на два взаимно перпендикулярных направления: на направление вектора напряжения (проекции векторов токов называются активными составляющими) и направление, перпендикулярное вектору напряжения параллельного участка (проекции называются реактивными составляющими).

При этом I_2a = I₂ = 4 A, I_2p = 0,

I_1a = I₁× cosj₁ = 4× 0, 6 = 2, 4 A, I_1p = I₁× sinj₁ = 4× 0, 8 = 3, 2 A.

Из наружного прямоугольного треугольника определяется суммарный ток параллельных ветвей, измеряемый амперметром А:

I = = = 7, 16 А.

Далее j = arctg = arctg = 26, 57°,

cosj = = = 0, 447, sinj = = = 0, 224.

Показание ваттметра P_W = u× I× cosj = u× SI_а= 200× 6, 4 = 1280 Вт – это активная мощность источника Р_Г.

Суммарная активная мощность потребителей рассчитывается по закону Джоуля-Ленца: SР_П = I₁²× r₁ + I₂²× r₂ = 4²× 30 + 4²× 50 = 1280 Вт.

Так как для схемы Р_Г = SР_П, то баланс активных мощностей сходится.

Реактивные мощности:

- генератора Q_Г = u× I× sinj = u× I_p= 200× 3, 2 = 640 вар;

- потребителей SQ_П = I₁²× х₁ = 4²× 40 = 640 вар,

то есть выполняется и баланс реактивных мощностей.

 

3.2.2. Задачи для самостоятельного решения

ЗАДАЧА 3.8. Действующее значение синусоидального напряжения u =220 В. Определите его среднее значение.

Ответ: u_ср =198 В.

 

ЗАДАЧА 3.9. Лампа накали-вания с номинальными данными Р_Лн = 15 Вт; u_Лн = 127 В включена последовательно с конденсатором С = 2 мкФ и на вход этой цепи подано напряжение u = 220 В. Определить напряжение на лампе. Сделать вывод о том, будет ли лампа нормально светить или нет.

Ответ: U_Л = 123, 1 В; да, будет.

 

ЗАДАЧА 3.10. К цепи рис. 3.9 подведено напряжение u =220 В. Пара-метры цепи: r₁= r₂ = r₃ = r₄ =20 Ом; х_L1= х_L2= х_C1= 100 Ом; х_C2= 40 Ом. Определить показания вольтметров.

Ответ: U_V1 = 215, 4 В; U_V2 = 0.

 

ЗАДАЧА 3.11. В схеме рис. 3.10 известно:

u = 50 В; I = 0, 13 А; I_r = 0, 12 А.

Определить величину индуктивности L.

Ответ: L = 0, 318 Гн.

 

ЗАДАЧА 3.12. Три однофазных двигателя включены параллельно и к ним подведено напряжение u = 400 В. Паспортные данные двигателей:

Р₁ = 2, 4 кВт, cosj ₁= 0, 6 (j ₁ > 0); Р₂ = 1, 6 кВт, cosj ₂= 0, 8 (j ₂ < 0); Р₃ = = 1, 2 кВт, cosj ₃= 1. Определите ток, потребляемый всеми двигателями вместе.

Ответ: I = 14, 85 А.

 

ЗАДАЧА 3.13. В схеме рис. 3.11 требуется определить показание амперметра, если u = 100 В,

r₁= 3 Ом, r₂= 8 Ом, r₃= 10 Ом,

х_L1= 4 Ом, х_L2= 5 Ом, х_C = 6 Ом.

Ответ: I = 42, 4 А.

 

ЗАДАЧА 3.14. При из-менении индуктивного сопро-тивления в схеме рис. 3.12 максимальное показание ам-перметра 2 А. При этом показа-ния остальных приборов сле-дующие: вольтметра V ® 60 B, вольтметра V₂ ® 100 B, ваттметра W ® 40 Bт.

Определить параметры схемы r₁, х_L, r₂, х_С. Построить векторную диаг-рамму цепи. Построить резонансную кривую u_L(х_L) при изменении х_L(0…¥ ).

Ответы: r₁ = 20 Ом, х_L = 49 Ом,

r₂ = 10 Ом, х_С = 49 Ом.

 

Задачи повышенной сложности

ЗАДАЧА 3.15. По показаниям приборов цепи рис. 3.13 определить параметры её элементов, если V ® 100 B; V₁ ® 20 B; W ® 80 Bт; А ® 2 А.

Ответы: r₁ = 10 Ом, r₂ = 20 Ом, х₂ = 40 Ом.

 

ЗАДАЧА 3.16. В схеме рис. 3.14 определить показание ваттметра, если u = 100 В, а показания приборов: А ® 1 А; V₁ ® 150 B; V₂ ® 100.

Ответ: Р = 198, 4 Вт.

 

ЗАДАЧА 3.17. В схеме цепи рис. 3.15 задано: r₁= r₃; Р = 300 Вт; I₁ = 5 А; I₂ = 5 А; фазометр показывает нуль. Опре-делить ток I, а также L и С. Частоту при-нять равной промышленной (f = 50 Гц).

Ответы: I = 15 А, L = 6, 37 мГн,

С = 796, 3 мкФ.

 

ЗАДАЧА 3.18. В схеме рис. 3.16 известно: u = 10 В; х_L = 6 Ом; Р = 5 Вт.

Определить сопротивление R.

Решение

Используем следующие соотношения:

Р = R× I ² ; u = I× .

Тогда: I ² = ; Р = или Р× R ² – u ²× R + Р× х_L² =0.

Отсюда R_{1, 2} = = = 10 ± 8 Ом.

Задача имеет два ответа R₁= 18 Ом и R₂ =2 Ом.

 

3.3. РАСЧЁТ СМЕШАННОГО СОЕДИНЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВА-НИЕМ МЕТОДА ПРОВОДИМОСТЕЙ

3.3.1. Типовые примеры

ЗАДАЧА 3.19. К цепи рис. 3.17 подведено напряжение u = 220 В. До подключения ёмкости С приборы показывали: А ® I=2 А; W ® P=40 Вт. Требуется определить минимально возможное показание амперметра после подключения ёмкости, а также величину последней.

Решение

До подключения ёмкости, используя показания приборов, определяем полное, активное и индуктивное сопротивления ветви с r, L:

Z = = =110 Ом; r = = = 10 Ом;

x_L = = = 109, 5 Ом.

Минимальное значение тока в неразветвлённой части цепи будет иметь место при резонансе токов в цепи после подключения ёмкости, и в этом случае ток I будет иметь только активную составляющую: I = I_a = U× g, где g – активная проводимость всей цепи, равная активной проводимости ветви r, L, а именно: g = = = 2, 26× 10 ^-4 См.

Тогда I = U× g = 220× 2, 26× 10 ^-4 = 0, 182 А.

Величину ёмкости определим из условия, что её реактивная проводимость должна равняться реактивной проводимости ветви r, L, т.е.

wС = , откуда С = = = 2, 88× 10 ^-5 Ф = 28, 8 мкФ.

ЗАДАЧА 3.20. Для схемы (рис. 3.18, а) определить токи во всех ветвях и напряжения на всех участках, составить баланс активных и реактивных мощностей, построить полную векторную диаграмму цепи, записать мгновенные значения токов, если u(t) = U_m× sin(wt +y_u);

U_m = 600 B; y_u = -90°; r₁ =10 Ом, r₃ = x₂ = x₃ =20 Ом, x₄ =20 Ом.

Решение

Заменим разветвлённый участок исходной схемы эквивалентной ветвью с параметрами r₂₃, х₂₃, для чего рассчитаем активные и реактивные (с учётом характера сопротивлений) проводимости параллельных ветвей:

g₂ = = = 0; b₂ = = = 0, 05 Cм (инд.);

g₃ = = = 0, 025 Cм; b₃ = = = 0, 025 Cм (ёмк.);

g₂₃ = g₂ + g₃ = 0 + 0, 025 = 0, 025 Cм;

b₂₃ = |b₂ – b₃| = 0, 05 – 0, 025 = 0, 025 Cм (инд.);

r₂₃ = = = 20 Ом;

x₂₃ = = = 20 Ом (инд.).

Эквивалентная схема, по которой рассчитаем ток в неразветвлённой части цепи, приведена на рис. 3.18, б: i₁(t) = I_1m× sin(wt +y_u – j _вх);

где I_1m = = = 10 А;

j _вх = arctg = arctg = -45°.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: