Следовательно, мгновенное значение тока

i₁(t) = 10 × sin(wt – 90° + 45°) = 10 × sin(wt – 45°) А,

действующее значение тока I₁ = = 10 А.

Напряжение на параллельно включенных ветвях

u_bd(t) = U_bdm× sin(wt +y_u – j _вх + j ₂₃);

где U_bdm = I_1m× = 10 × = 400 B;

j ₂₃= arctg = arctg =45°,

или u_bd(t) = 400× sin(wt – 90° + 45°+ 45°) = 400× sin(wt) B.

действующие значения напряжения эквивалентного участка и токов параллельных ветвей

U_bd = = = 282 B; I₂ = = = 14, 1 А;

I₃ = = = 10 А.

Углы сдвига фаз напряжений и токов второй и третьей ветвей

j ₂ = arctg = arctg = 90°, j ₃ = arctg = arctg = -45°.

Мгновенные значения токов параллельных ветвей

i₂(t) = I₂ × sin(wt+y_ubd – j ₂) = 20× sin(wt – 90°) А;

i₃(t) = I₃ × sin(wt+y_ubd – j ₃) = 10 × sin(wt + 45°) А;

где y_ubd = y_u – j _вх – j ₂₃ = -90° + 45° + 45° = 0.

Проверим баланс активных мощностей: U× I₁× cosj _вх = I₁²× r₁ + I₃²× r₃.

× 10× cos(-45°) = 10²× 10+10²× 20 или 3000 Вт = 3000 Вт.

Проверим баланс реактивных мощностей:

U× I₁× sinj _вх = I₁²× (-x₄) + I₂²× x₂ + I₃²× (-x₃).

× 10× sin(-45°)=10²× (-50)+(10 )²× 20+10²× (-20) или -3000 вар = -3000 вар.

Вывод: балансы активных и реактивных мощностей сходятся, следовательно, задача решена верно и можно переходить к построению полной векторной диаграммы.

Рассчитаем неизвестные напряжения на элементах электрической цепи.

U_ab = I₁× r₁= 10× 10 = 100 В; U_bc = I₃× r₃= 10× 20 = 200 В;

U_ca = I₃× x₃= 10× 20 = 200 В; U_de = I₁× x₄= 10× 50 = 500 В.

Векторная диаграмма приведена на рис. 3.19. Её построение начинается с выбора масштабов напряжений и токов. Затем в произвольном направлении строится вектор напряжения на параллельно включенных ветвях U_bd, от которого под углами j ₂, j ₃, j ₂₃ строятся векторы токов I₂, I₃ и I₁, соответственно. При этом следует учесть, что I₁ = I₂ + I₃.

Остальные векторы напряжений строятся в соответствии с уравнениями второго закона Кирхгофа и порядком расположения элементов эквивалентной схемы (см. рис. 3.18, б):

U_ab + U_bd + U_de = U.

 

ЗАДАЧА 3.21. Рас-считать действующие значе-ния напряжений и токов в схеме рис. 3.20, а, проверить балансы активных и реак-тивных мощностей, постро-ить полную векторную диаг-рамму напряжений и токов, если: U = 300 B; r₂ = 30 Ом, x₂ =10 Ом; x₃ = 33, 33 Ом; x₄ = 2 Ом;

x₅ = 20 Ом; r₆ = 10 Ом; x₁ = 8 Ом; r₁ = 4 Ом.

Решение

В рассматриваемой схеме два разветвления: на участке bc параллельно включены 2^я и 3^я ветви, которые могут быть заменены эквивалентной ветвью r₂₃-x₂₃ (рис. 3.20, б); на участке de параллельно включены 5^я и 6^я ветви, заменяемые последовательной эквивалентной цепью r₅₆-x₅₆. Замена осуществляется на основании соотношений между активными и реактивными проводимостями параллельных ветвей:

g₂ = = = 0, 03 Cм; b₂ = = = 0, 01 Cм (инд.);

g₃ = 0; b₃ = = = 0, 03 Cм (инд.);

g₂₃ = g₂ + g₃ = 0, 03 + 0 = 0, 03 Cм; b₂₃ = b₂ + b₃ = 0, 01 + 0, 03 = 0, 04 Cм (инд.);

r₂₃ = = = 12 Ом;

x₂₃ = = = 16 Ом (инд.).

g₅ = 0; g₆ = = = 0, 1 Cм; b₅ = = = 0, 05 Cм (ёмк.); b₆ = 0;

g₅₆ = g₅ + g₆ = 0 + 0, 1 = 0, 1 Cм; b₅₆ = b₅ + b₆ = 0, 05 + 0 = 0, 05 Cм (ёмк.);

r₅₆ = = = 8 Ом; x₅₆ = = = 4 Ом (ёмк.).

Входное сопротивление цепи по эквивалентной схеме (рис. 3.20, б)

Z_вх =

= = 30 Ом;

cosj _вх = = = 0, 8;

sinj _вх = = = 0, 6.

Ток в общей части схемы I₁ = I₄ = = = 10 A,

напряжения на разветвлениях U_bc = I₁× = 10 = 200 B,

U_de = I₁× = 10 = 40 B,

токи в остальных ветвях

I₂ = = = 2 A, I₅ = = = 2 A,

I₃ = = = 6 A, I₆ = = = 4 A.

Проверим балансы мощностей. Баланс активных мощностей представляется для схемы рис. 3.20, а выражением

U× I₁× cosj _вх = I₁²× r₁ + I₂²× r₂ + I₆²× r₆,

300× 10× 0, 8 = 10²× 4+ × 30+ × 30

или 3000 Вт = 3000 Вт - выполняется.

Баланс реактивных мощностей цепи

U× I₁× sinj _вх = I₁²× x₁ + I₂²× x₂ + I₃²x₃ – I₄²× x₄ – I₅²× x₅,

300× 10× 0, 6 = 10²× 8 + × 10 + 6²× 33, 33 – 10²× 2 – × 20

или 1800 вар = 800 + 400 + 1200 – 200 – 400 вар - выполняется.

Так как оба баланса мощностей выполняются, задача расчёта цепи решена верно, и можно переходить к построению векторной диаграммы.

Так как в схеме рис. 3.20, а имеется два разветвления, то сначала строится векторная диаграмма для последовательной эквивалентной схемы рис. 3.20, б и построение начинается с выбора произвольного направления вектора тока I₁ последовательной цепи (горизонтально, вправо) (рис. 3.21).

Уравнение по второму закону Кирхгофа запишем в векторной форме с соблюдением принципа: падения напряжений на элементах схемы строго следуют в соответствии с расположением элементов, и каждому вектору напряжения присваиваются соответствующие индексы точек схемы:

+ × r₂₃+ × x₂₃+ + × r₅₆+ × x₅₆+ = = .

При этом = × x₁=10× 8 = 80 B и этот вектор напряжения опережает ток на 90°;

I₁× r₂₃= 10× 12 = 120 B, I₁× x₂₃= 10× 16 = 160 B,

U_cd = I₁× x₄= 10× 2 = 20 B, I₁× r₅₆= 10× 8 = 80 B,

I₁× x₅₆= 10× 4 = 40 B, I₁× r₁= U_ef = 10× 4 = 40 B.

На рис. 3.21 падения векторных напряжений × r₂₃, × x₂₃, × r₅₆, × x₅₆

построены пунктирно, так как эти напряжения отсутствуют в исходной схеме.

Далее переходим к построению векторов токов I₂ и I₃. Ток I₃ перпендикулярен напряжению U_bc, а ток = - .

Параллельно вектору U_de откладывается ток I₆, а ток = - стро-ится в соответствии с первым законом Кирхгофа.

Затем относительно тока I₂ откладываются векторы падений напряжений = × x₂ и = × r₂.

Векторная диаграмма принимает окончательный вид рис. 3.21. На этой векторной диаграмме указан также вектор напряжения .

 

ЗАДАЧА 3.22. В схеме рис. 3.22 известно:

U = 200 B; r₁ = 30 Ом; x₁ = 50 Ом;

x₂ = 10 Ом; r₃ = 5 Ом; x₃ = 15 Ом.

Определить показания приборов.

Решение

1. Заменяем параллельное соеди-нение ветвей 2 и 3 эквивалентным последовательным соединением сопротивлений r₂₃ и x₂₃:

g₂ = 0; b₂ = = = 0, 1 Cм; Z₃ = = = = 5 Oм;

g₃ = = = 0, 02 Cм; b₃ = = = 0, 06 Cм;

g₂₃ = g₂ + g₃ = 0 + 0, 02 = 0, 02 Cм; b₂₃ = b₂ – b₃ = 0, 1 – 0, 06 = 0, 04 Cм;

Y₂₃ = = = 0, 02 Cм; Z₂₃ = = = 10 Oм;

r₂₃ = = = 10 Ом; x₂₃ = = = 20 Ом.

2. Входное сопротивление цепи и её коэффициент мощности:

Z = = = 50 Oм;

cosj = = = 0, 8.

Действующее значение тока в неразветвлённой части цепи (показание первого амперметра): I₁ = = = 4 A.

Напряжение на зажимах параллельных ветвей:

U₂₃ = Z₂₃× I₁= 10 × 4 = 40 B.

Показания второго и третьего амперметров:

I₂ = = = 4 A; I₃ = = = 4 A.

3. Ваттметр включен на измерение активной мощности цепи. Его показание:

P = U× I₁× cosj = 200× 4× 0, 8 = 640 Вт.

Активная мощность резисторов

P_R = r₁× I₁² + r₂× I₂² = 30× 4² + 5× = 640 Вт

равна активной мощности источника, то есть налицо выполнение баланса активных мощностей.

ЗАДАЧА 3.23. В схеме рис. 3.23, а известно: u(t) =100 × sin(wt+30°) B;

r₁ = 5 Ом; x_C1 = 8 Ом; r₂ = 3 Ом; x_C2 = 10 Ом; x_L = 4 Ом.

Определить токи, коэффициент мощности, построить полную векторную диаграмму цепи. Задачу решить методом пропорциональных величин. Дополнительно ответить на вопросы: при каком x_C2 будет резонанс токов? При каком x_C1 будет резонанс напряжений?

Решение

1. Построим качественно векторную диаграмму (ВД) (рис. 3.23, б). Построение следует начинать с самого дальнего от источника участка цепи (это – третья ветвь). Поскольку здесь имеется последовательное соединение сопротивлений, сначала строим вектор тока I₃. Далее построение диаграммы ведётся от конца схемы к началу (источнику) с соблюдением законов Кирхгофа и правил построения ВД.

2. Расчёт выполняем в том же порядке, в каком строилась ВД.

Пусть I₃ = 1 A, т.е. i₃(t) = × sin(wt) A. Тогда

U_r2 = r₂× I₃ = 3 B, U_xL = x_L× I₃ = 4 B, I₂ = = = 0, 5 A.

Проекции векторов токов на оси х и у:

I_3x = I₃ = 1 A, I_3y = 0; j ₃ = arctg = arctg = 53, 1°,

I_2x = I₂× cos(j ₃ + 90°)= 0, 5× (-0, 8) = -0, 4 A, I_2y = I₂× sin(j ₃ + 90°)= 0, 5× 0, 6 = 0, 3 A.

Определяем первый ток по проекциям:

I_1x = I_2x + I_3x = -0, 4 + 1 = 0, 6 A, I_1y = I_2y + I_3y = 0, 3 A,

I₁ = = = 0, 671 A.

Фаза первого тока y_i1 = arctg = arctg = 26, 6°.

Определяем расчётное значение входного напряжения по проекциям:

U_xC1 = x_C1× I₁ = 8× 0, 671 = 5, 36 B; U_r1 = r₁× I₁ = 5× 0, 671 = 3, 35 B,

U_x = U_xC1× cos( 90° – y_i1) + U_r1× cos(y_i1) + U_r2 =

= 5, 36× cos(90° – 26, 6°) + 3, 35× cos(26, 6°) + 3 =8, 40 B,

U_y = U_xC1× sin(y_i1 – 90°) + U_r1× sin(y_i1) + U_xL =

= 5, 36× sin(26, 6° – 90°) + 3, 35× sin(26, 6°) + 4 =0, 707 B,

U_расч = = = 8, 43 B,

y_Uрасч = arctg = arctg = 4, 8°.

3. Коэффициенты пересчёта:

k = = = 11, 86; Dy =y_U – y_Uрасч = 30° – 4, 8° = 25, 2°.

4. Получаем ответы i₁(t) = 7, 96 × sin(wt + 51, 8°) A;

i₂(t) = 5, 93 × sin(wt + 168, 4°) A;

i₃(t) = 11, 86 × sin(wt + 25, 2°) A.

5. Условие резонанса токов: b₂= b₃.

b₂= ; b₃= = См; х_С2 = = = = 6, 25 Ом.

6. Условие резонанса напряжений х_С1= х₂₃,

но Z₂₃= = = 7, 46 Ом,

х₂₃ = Z₂₃× sin(j ₃ – y_i1) = 7, 46× sin(53, 1° –26, 6°) = 3, 33 Ом.

Таким образом, резонанс напряжений наблюдается при х_С1= 3, 33 Ом.

 

3.3.2. Задачи для самостоятельного решения

ЗАДАЧА 3.24. Рассчитать мгновенные и действующие значения напряжений и токов схемы рис. 3.24, составить баланс активных и реактивных мощностей, построить полную векторную диаграмму напряжений и токов, если:

u(t) = 200× sin(wt +120°) B;

х₁ = 28 Ом; х₃ = 24 Ом; r₂ = 24 Ом.

Ответы: i₁(t) = 10× sin(wt + 66, 87°) A; u_ab(t) = 280× sin(wt +156, 87°) B;

u_bc(t) = 120 × sin(wt +21, 87°) B; i₂(t) = 5 × sin(wt +21, 87°) A;

i₃(t) = 5 × sin(wt +111, 87°) A; P = 600 Вт; Q = 800 вар.

 

ЗАДАЧА 3.25. Методом проводимостей определить показания прибо-ров электродинамической системы в схеме рис. 3.25, если: u = 200 B;

х₁ = 8 Ом; х₂ = 10 Ом; r₃ = 5 Ом;

х₃ = 15 Ом; r₁ = 6 Ом.

Построить векторную диаграм-му цепи.

Ответы: A₁ ®10 A; V ® 224 B;

A₂ ® 22, 4 A; A₃ ® 14, 14 A;

W ® 1000 Вт.

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: