Виды уравнений прямой на плоскости

Аналитическая геометрия

Векторы

Вектором называется направленный отрезок , где точка - начало, точка - конец вектора.

Действия с векторами

Суммой векторов и называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают.

Разностью векторов и называется вектор такой, что выполняется условие: .

Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. 
2. 
3. , если , , если .

1.2. Коллинеарные и компланарные векторы

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами

1) Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

2) Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

Доказательство:

Пусть есть два коллинеарные вектора a = {a_x; a_y; a_z} и b = {na_x; na_y; na_z}. Найдем их векторное произведение

a × b =	i	j	k	= i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx) =
ax	ay	az
bx	by	bz

= i (a_yna_z - a_zna_y) - j (a_xna_z - a_zna_x) + k (a_xna_y - a_yna_x) = 0i + 0j + 0k = 0

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

1) Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

2) Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

3) Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.
1.3. Скалярное произведение векторов и его св-ва

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения:

1° - симметричность.

2° . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3° Если , то

4° Если и и , то . Верно и обратное утверждение.

5°

6°

7°
1.4. Косинус угла между векторами

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

cos α =	a·b
|a|·|b|

1.5. Векторное произведение векторов и его св-ва

Векторным произведением ненулевых векторов и называется вектор , обозначаемый символом или , длина которого .

Свойства векторного произведения:

1° , тогда и только тогда, когда

2°

3° Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах и (рис. 2), т.е.

4°

5°
1.6. Смешанное произведение векторов и его св-ва

Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :

Свойства смешанного произведения:

1°

2°

3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

9°

10° Тождество Якоби:
1.7. Двойное векторное произведение

Двойное векторное произведение векторов — векторное произведение вектора на векторное произведение векторов и

Прямая на плоскости

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy есть некоторое уравнение с двумя переменными x и y, которое обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки этой прямой.

Плоскость в пространстве

Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнением

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Матрицы

Ма́ трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A'

Строки и столбцы поменялись местами
6.3. Обратная матрица

Обра́ тная ма́ трица — такая матрица A^{− 1}, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Свойства обратной матрицы

• , где обозначает определитель.
• для любых двух обратимых матриц и .
• , где обозначает транспонированную матрицу.
• для любого коэффициента .
• .
• Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где — искомый вектор, и если существует, то . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Поверхности второго порядка

Линейное пространство

Лине́ йное простра́ нство, или ве́ кторное простра́ нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов n-мерного пространства.

Квадратная форма и ее св-ва

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Пусть есть векторное пространство над полем и — базис в .

Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

где , а — некоторые элементы поля .

Свойства:

• Критерий Сильвестра
• Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
• Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.
• Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

• Для любой невырожденной квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:

• Найти этот базис можно при помощи метода Лагранжа.
• Разность между числом положительных ( ) и отрицательных ( ) членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).
• Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.

Аналитическая геометрия

Векторы

Вектором называется направленный отрезок , где точка - начало, точка - конец вектора.

Действия с векторами

Суммой векторов и называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают.

Разностью векторов и называется вектор такой, что выполняется условие: .

Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. 
2. 
3. , если , , если .

1.2. Коллинеарные и компланарные векторы

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами

1) Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

2) Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

Доказательство:

Пусть есть два коллинеарные вектора a = {a_x; a_y; a_z} и b = {na_x; na_y; na_z}. Найдем их векторное произведение

a × b =	i	j	k	= i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx) =
ax	ay	az
bx	by	bz

= i (a_yna_z - a_zna_y) - j (a_xna_z - a_zna_x) + k (a_xna_y - a_yna_x) = 0i + 0j + 0k = 0

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

1) Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

2) Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

3) Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.
1.3. Скалярное произведение векторов и его св-ва

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения:

1° - симметричность.

2° . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3° Если , то

4° Если и и , то . Верно и обратное утверждение.

5°

6°

7°
1.4. Косинус угла между векторами

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

cos α =	a·b
|a|·|b|

1.5. Векторное произведение векторов и его св-ва

Векторным произведением ненулевых векторов и называется вектор , обозначаемый символом или , длина которого .

Свойства векторного произведения:

1° , тогда и только тогда, когда

2°

3° Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах и (рис. 2), т.е.

4°

5°
1.6. Смешанное произведение векторов и его св-ва

Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :

Свойства смешанного произведения:

1°

2°

3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

9°

10° Тождество Якоби:
1.7. Двойное векторное произведение

Двойное векторное произведение векторов — векторное произведение вектора на векторное произведение векторов и

Прямая на плоскости

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy есть некоторое уравнение с двумя переменными x и y, которое обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки этой прямой.

Виды уравнений прямой на плоскости

Общее уравнение прямой:

Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

Нормальный вектор прямой, заданной общим уравнением прямой вида , имеет координаты .

Уравнение прямой в отрезках:

Уравнение прямой вида , где a и b – некоторые действительные числа отличные от нуля, называется уравнением прямой в отрезках.

Каноническое уравнение прямой:

Каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет вид , где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю.

В свою очередь числа и , стоящие в знаменателях дробей, представляют собой координаты направляющего вектора этой прямой.

Параметрическое уравнение прямой:

Параметрические уравнения прямой на плоскости имеют вид , где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю, а - параметр, принимающий любые действительные значения.

Нормальное уравнение прямой:

Если в общем уравнении прямой вида числа А, В и С таковы, что длина вектора равна единице, то это общее уравнение прямой называется нормальным уравнением прямой. Нормальное уравнение прямой определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, нормальным вектором которой является вектор , причем эта прямая проходит на расстоянии от начала координат в направлении вектора .
2.2. Взаимное расположение прямых на пл-ти

Теорема. Пусть

и

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда

1) если , то прямые и совпадают;

2) если , то прямые и

параллельные;

3) если , то прямые пересекаются.
2.3. Угол между прямыми на пл-ти

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле:

Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k₁x + b₁ и y₂ = k₂x + b₂, вычисляется по формуле:

Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями (x-x₁)/m₁ = (y-y₁)/n₁ и (x-x₂)/m₂ = (y-y₂)/n₂, вычисляется по формуле:

2.4 Расстояние от точки до прямой на пл-ти

Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y) до прямой можно найти, используя следующую формулу

d =	|A·Mx + B·My + C|
√ A2 + B2

 

Плоскость в пространстве

Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнением

12Следующая ⇒

Поделиться: