Определитель n-го порядка и его св-ва

Определителем называется число, записанное в виде квадратной таблицы:

.

Значение определителя не изменится, если:

- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;

- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.

Такие Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.

Определитель равен нулю, если:

- все элементы какой-либо строки равны нулю;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.

действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.

Минором к элементу называется определитель, полученный из исходного, вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Таким образом, порядок минора меньше порядка исходного определителя на единицу.

Алгебраическое дополнение – минор с соответствующим знаком, т.е.

.

Вычисление определителей n-го порядка выполняется по формуле:

т.е. определитель представляется в виде разложения по элементам -й строки.
6.5. Решение матричных уравнений

Записываем в матричном виде AX=B

Равенство AX=B обычно называют матричным уравнением, и если матрица А невырожденная, то можно найти решение уравнения AX=B с помощью обратной матрицы А^-1

Пусть |А| 0. Умножая обе части AX=B на А^-1 слева, получим А^-1 (AX) = А^-1 B,

откуда A^-1 (AX) = (A^-1A) X = EX = А^-1 B

или X = А^-1 B.

Последнее равенство даёт нам все решения матричного уравнения
6.6. Правило Крамера

Правило Крамера:

Пусть матричное уравнение

AX = B

(1)

описывает систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Если , то система (1) является совместной и имеет единственное решение, описываемое формулой

(2)

где ; – определитель, полученный из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов матрицы B:

(3)

Доказательство: теоремы разобьём на три части:

1. Решение системы (1) существует и является единственным.
2. Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1).
3. Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1).

Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .
Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения:

(4)

Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.

Перейдем к доказательству взаимно-однозначного соответствия между формулами (1) и (2).

Используя формулу (4), получим выражение для i-го элемента. Для этого нужно умножить i-ую строку матрицы

на столбец B.

Учитывая, что i-ая строка присоединенной матрицы составлена из алгебраических дополнений , получаем следующий результат:

(5)

Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение определителя D_i по элементам i-го столбца и, следовательно,

(6)

Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения

(7)

влекут за собой матричное уравнение (1).

Умножим обе части уравнения (7) на и выполним суммирование по индексу i:

(8)

Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:

(9)

 

(10)

где – дельта символ Кронекера.

Учитывая, что дельта символ снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат:

(11)

6.7. Ранг матрицы

Рангом системы строк (столбцов) матрицы с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа линейного оператора, которому соответствует матрица.

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

• Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

• Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице найден ненулевой минор -го порядка . Рассмотрим все миноры -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.
6.8. Решение систем линейных уравнений
6.9. Критерий совместимости системы линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и совпадают, т.е.
r(A) = r( ) = r.

Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:

1) M = ∅ (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда
r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (m≥ n); если m> n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0< r< n, то система является неопределенной.
6.10. Свойства решений О.С.Л.У.
6.11 Свойства решений Н.С.Л.У

Поверхности второго порядка

Линейное пространство

Лине́ йное простра́ нство, или ве́ кторное простра́ нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов n-мерного пространства.

⇐ Предыдущая12

Поделиться: