Признаки сходимости знакопостоянных рядов

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Введение в теорию рядов

Учебно-методическое пособие

Москва 2012

УДК 51

ББК 22.1

Рецензент – доктор физ.-мат.наук, профессор Карташов Э.М.

Л.М. Ожерелкова, А.Г. Рубин, И.А. Джемесюк

Введение в теорию рядов. Учебно-методическое пособие. М.: ИПЦ МИТХТ, 44 с.

Утверждено библиотечно-издательской комиссией

в качестве учебно-методического пособия

для студентов 2–4-го курсов дневного отделения

всех специальностей МИТХТ им. М.В.Ломоносова

по дисциплине «Высшая математика», поз. /2011.

МИТХТ им. М.В.Ломоносова, 2012

Основные понятия

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединенных знаком сложения:

. (1)

Числа называются членами ряда, а член – общим или n-м членом ряда.

Ряд (1) считается заданным, если известен его общий член , ( ), т.е. задана функция натурального аргумента. Например, ряд с общим членом имеет вид:

Образуем новую последовательность:

………………..

Определение. Сумма первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается .

Определение. Если последовательность частичных сумм ряда имеет предел, то такой ряд называется сходящимся, а этот предел называется суммой ряда.

То есть если , то ряд сходится, а – сумма ряда. В этом смысле можно записать .

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда суммы нет.

Пример 1. Исследовать на сходимость геометрический ряд, т.е. ряд, составленный из последовательных членов геометрической прогрессии:

(2)

Решение: Необходимо установить, при каких значениях знаменателя прогрессии ряд (2) сходится, а при каких – расходится. Из школьного курса алгебры известно, что сумма первых членов геометрической прогрессии, т.е. n-я частичная сумма ряда при равна .

Возможно несколько случаев:

1) если , то и

, т.е. ряд сходится и его сумма .

2) если , то и, следовательно, и ряд расходится.

3) если , то ряд (2) примет вид , его и , ряд расходится.

4) если , то ряд (2) примет вид , и его при четном и при нечетном, следовательно, не существует, и ряд расходится.

Т.о. геометрический ряд сходится к сумме при и расходится при .

Пример 2. Найти сумму ряда:

(3)

Решение: -я частичная сумма ряда:

Учитывая, что

, , ,..., ,

и тогда частичную сумму ряда можно представить в виде

получаем: , т.е. сумма ряда .

Свойства сходящихся рядов

Свойство 1. Если ряд сходится и имеет сумму , то и ряд , полученный умножением данного ряда на число , также сходится, и имеет сумму .

Свойство 2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряды также сходятся и их суммы равны соответственно и .

Свойство 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или добавления) конечного числа членов.

Установить сходимость (расходимость) ряда путем нахождения частичной суммы и вычисления , как это сделано в примерах 1 и 2, возможно лишь в редчайших случаях из-за принципиальных трудностей при нахождении (суммировании первых членов ряда). Обычно сходимость (расходимость) ряда устанавливается с помощью специальных теорем – признаков сходимости.

В большинстве признаков сходимости вам придется вычислять некоторый предел. Напомним кратко два основных приема вычисления пределов, которыми вы будете пользоваться чаще всего.

А) Предел отношения двух степенных выражений на бесконечности равен:

0, если степень числителя меньше степени знаменателя;

, если степень числителя больше степени знаменателя;

отношению старших коэффициентов, если степень числителя равна степени знаменателя*.

Б) Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых величин (б.м.) или двух бесконечно больших величин (б.б.) равен пределу отношения их производных. Например, по правилу Лопиталя имеем:

Признаки сходимости знакопостоянных рядов

II. Признак Даламбера.

Теорема. Пусть для ряда ( ) существует предел отношения ( )-го члена ряда к –му: . Тогда:

а) если , то ряд сходится,

б) если , то ряд расходится,

в) если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, т. е. признак не работает.

Примеры. Исследовать следующие ряды на сходимость:

Решение. Т.к.

то по признаку Даламбера ряд сходится.

Замечание. Напомним, что , поэтому .

Решение. Воспользуемся формулой , тогда:

следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Решение:

и ряд расходится.

Замечание: С помощью признака Даламбера исследовать ряды на сходимость имеет смысл только тогда, когда в выражении для - го члена ряда имеются показательная функция и/или факториал.

Степенные ряды

До сих пор рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности, степенные функции с целыми неотрицательными показателями степени:

(1)

Определение. Такой ряд называются степенным, а числа называются коэффициентами степенного ряда.

Рассматривают и степенные ряды более общего вида:

(2)

(по степеням ). Такой ряд не отличается существенно от ряда вида (1), ибо приводится к нему простой заменой переменной: .

Определение. Множество значений , при которых степенной ряд (1) или (2) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью следующей теоремы:

Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд вида (1), т.е. по степеням , сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях таких, что .

2) Если степенной ряд вида (1) расходится при значении , то он расходится при всех значениях таких, что .

Из теоремы Абеля вытекает следующая теорема.

Теорема. Областью сходимости степенного ряда вида (2), т.е. ряда по степеням , является интервал с центром в точке и с концами в точках и .

Число получило название радиуса сходимости, а интервал – интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при и вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (при ), у других охватывает всю числовую ось (при ).

Для начала укажем способ определения интервала сходимости степенного ряда на примере ряда (1).

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда:

(3)

Т.к. при каждом конкретном ряд (3) является числовым знакоположительным рядом, то для выяснения вопроса о его сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера:

Допустим, что существует

Тогда, по признаку Даламбера ряд сходится, если (т.е. при ), и расходится, если (т.е. при ).

Следовательно, ряд (1) сходится абсолютно при и расходится при , и интервалом сходимости является интервал , а радиусом сходимости является число .

При признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости, поэтому необходимо, подставляя значения в ряд (1), исследовать получающиеся числовые ряды в каждом конкретном случае.

Замечание: Интервал сходимости можно найти, используя радикальный признак Коши (также применяя его к ряду (3)):

Примеры.

Найти области сходимости степенных рядов:

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

Применим к нему признак Даламбера.

Отсюда получаем интервал сходимости: .

Исследуем сходимость на концах интервала:

При исходный ряд принимает вид: – это обобщенный гармонический ряд при , а значит, он сходится. При получаем абсолютно сходящийся ряд , т.к. ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Следовательно, интервал сходимости ряда имеет вид: .

2) .

Решение. Ряд, составленный из модулей, имеет вид:

ряд сходится при любых . Таким образом, интервалом сходимости является интервал .

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда , исследуем с помощью радикального признака Коши:

Следовательно, область сходимости ряда состоит из одной точки .

Решение.

Отсюда получаем интервал сходимости: .

При исходный ряд имеет вид: – это расходящийся ряд (обобщенный гармонический при ). Подставляя , получаем условно сходящийся ряд . Окончательно, интервал сходимости ряда имеет вид: .

Свойства степенных рядов:

1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией во всем интервале сходимости ряда.

2. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку , лежащему в интервале сходимости

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать сколь угодно раз. При этом будут получаться степенные ряды с тем же радиусом сходимости:

Задачи.

Найти области сходимости степенных рядов:

1 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. (Указание: при исследовании сходимости на правом конце интервала учесть, что факториалы больших чисел могут быть выражены приближенно формулой Стирлинга ).

Ряды Маклорена и Тейлора

Предположим, что функция , определенная и бесконечно дифференцируемая в окрестности точки , может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

Выразим коэффициенты ряда через . Найдем производные функции , почленно дифференцируя ряд раз:

…………………………………………………………….

Полагая в полученных равенствах , получим , , , , …, , откуда

, , , , …, , …

Подставляя значения коэффициентов , получим ряд:

(1)

называемый рядом Маклорена.

Отметим, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся или сходящимся не к функции .

Если представить ряд Маклорена в виде , где – -я частичная суммаряда, – -й остаток ряда, то можно сформулировать следующую теорему:

Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции , необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е. для всех значений из интервала сходимости ряда.