Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
IV. Интегральный признак Коши.
Теорема. Пусть члены ряда положительны и пусть такая непрерывная функция, что , , … , …, причем функция невозрастающая на интервале при некотором . Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд , 2) если несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд . Для краткости говорят: «Ряд и интеграл ведут себя одинаково». Замечание. Для применения интегрального признака к исследованию сходимости ряда надо подобрать такую функцию , что , т.е. попросту говоря выписать и заменить в нем n на x, и затем исследовать сходимость интеграла . Это имеет смысл делать только тогда, когда полученный интеграл достаточно легко вычисляется. Примеры. 1) Применим интегральный признак к исследованию на сходимость ряда вида , , называемого обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле. Решение. В этом случае требуемой функцией является . Функция является невозрастающей на интервале . Вычислим . Если , то . Если , то . Следовательно, несобственный интеграл сходится при и расходится при . То же самое можно сказать и о данном ряде. Запомнить! Обобщенный гармонический ряд сходитсяпри и расходится при . 2) Исследовать на сходимость ряд . Решение. Выписав и заменив в нем n на x, получим функцию . Внимание! Пока мы не убедились, что функция невозрастающая на некотором интервале вида , к интегрированию переходить рано! Исследуем функцию на монотонность с помощью производной: . Критическая точка , на интервале , функция убывает. Теперь можно переходить к интегрированию. , интеграл расходится, расходится и данный ряд. V. Признаки сравнения. Теорема. Первый признак сравнения (признак сравнения в форме неравенства). Пусть даны два ряда с положительными членами: (7) (8) причем члены первого ряда не превосходят членов второго, т.е. при любом (9) Тогда: а) если сходится ряд (8), то сходится и ряд (7) б) если расходится ряд (7), то расходится и ряд (8).
Удобно применять другую формулировку этой теоремы: а) если больший ряд сходится, то меньший ряд тоже сходится; б) если меньший ряд расходится, то больший ряд тоже расходится; Примеры. Исследовать сходимость следующих рядов: 1) Решение. Сравним данный ряд с гармоническим , мысленно отбросив его первый член, равный 1 (что, естественно, не повлияет на сходимость ряда). Т.к. , , и вообще, (ведь ), то члены данного ряда больше членов расходящегося гармонического ряда, и, следовательно, на основании признака сравнения данный ряд расходится. Понятно, что для применения признака сравнения в форме неравенства нужно сначала установить подходящее неравенство. При этом часто пользуются следующими стандартными неравенствами: , (10) , . Иногда приходится применять более сложные неравенства: , , , , при некотором . (11) 2) Решение. Прежде всего, заметим, что это ряд с положительными членами, т.к. синус возводится в положительную степень. Далее, очевидное неравенство позволяет заключить, что , а поскольку ряд сходится, то и ряд с меньшими членами тоже сходится. 3) Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком суммы, следующим образом: (здесь мы учли, что ). Т.к. ряд – сходится (как обобщенный гармонический при ), то исследуемый ряд также сходится.
Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения: а) геометрический ряд – сходится при , расходится при , б) обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при . Нестандартность применения признака сравнения заключается в том, что надо не только подобрать соответствующий «эталонный» ряд, но и доказать неравенство (9), для чего часто требуется преобразование рядов (например, отбрасывание или приписывание конечного числа членов, умножение на определенные числа и т. п.). Более простым оказывается признак сравнения в предельной форме – ведь вычислять пределы обычно гораздо проще, чем доказывать неравенства. Теорема.Второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме). Если и – ряды с положительными членами и существует предел отношения их общих членов , причем , то ряды ведут себя одинаково: либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Чаще всего исследуемый ряд сравнивают с обобщенным гармоническим рядом , причем p удобно подбирать в процессе сравнения, как это сделано ниже в примере 1. Примеры. 1) Решение. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом , причем p подберем в процессе сравнения. Выпишем предел и преобразуем его: (12) Мы пришли к пределу отношения двух степенных выражений на бесконечности. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел равен 0, а это тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен , а это опять тот случай, когда признак сравнения в предельной форме не работает. Таким образом, нас устроит только случай, когда степень числителя равна степени знаменателя, т.е. , или (в этом случае предел равен отношению старших коэффициентов, т.е. не 0 и не ). Итак, исследуемый ряд ведет себя так же, как и ряд , т.е. сходится. Разумеется, решение похожих задач не надо расписывать так подробно. Обычно, выписав предел (12), далее пишут сходится. Ясно, что слово «сходится» относится сразу к двум рядам и к , и к исходному ряду. Следствием второго (предельного) признака сравнения является третий признак сравнения. Теорема. Третий признак сравнения (признак сравнения в форме эквивалентных б.м. или кратко эквивалентный признак сравнения). В общем члене ряда бесконечно малый множитель или делитель можно заменить на эквивалентный, поведение ряда (сходимость или расходимость) от этого не изменится. Замечание 1. Напомним таблицу эквивалентных бесконечно малых величин (при ): . Замечание 2. При работе с эквивалентным признаком сравнения необходимо помнить, что таблица эквивалентных бесконечно малых величин выписана при , а в рядах всегда , т.е. n является б.б.. А вот б.м. являются величины вида: (и вообще при ), (и вообще при ). 2) Решение. Т.к. при (т.е. — б.м.), то , и ряд ведет себя так же, как и ряд – обобщенный гармонический ряд p=1/2< 1, т.е. расходится. На практике запись ведут кратко: – расходится. Ясно, что слово «расходится» относится к обоим рядам. 3) . Решение. Т.к. , то , ряд знакоположительный, и к нему можно применять эквивалентный признак сравнения. Поскольку – б.м. при , то и = . Последний ряд легко исследуется по признаку Даламбера (он сходится). Несмотря на то, что предельный и эквивалентный признаки сравнения более просты по сравнению с признаком сравнения в форме неравенства, иногда без первого признака не обойтись. Покажем это на следующем примере, а заодно продемонстрируем, как надо рассуждать в общем и целом при исследовании рядов на сходимость. 4) Решение. Проверим необходимый признак: – необходимый признак не работает. Попробуем применить признак Даламбера: , т.е. вопрос о сходимости ряда остается открытым. Этого следовало ожидать (см. замечание к признаку Даламбера). Применим признак сравнения в предельной форме. Сравним данный ряд, например, с гармоническим рядом: , т.е. ответа о сходимости ряда нет. Аналогичная картина наблюдается и при использовании других «эталонных» рядов. Применим, наконец, признак сравнения в форме неравенства (первый признак сравнения). Сравним данный ряд с гармоническим, у которого отброшен первый член: ... Т.к. члены рассматриваемого ряда больше членов расходящегося гармонического , что вытекает из неравенства , то данный ряд расходится. Отметим, что для исследования сходимости данного ряда неприменим и интегральный признак, т.к. первообразная подынтегральной функции не является элементарной функцией, т.е. соответствующий неопределенный интеграл является «не берущимся».
Задачи. А) Исследовать ряды с помощью признака Даламбера: 1. 2. 3. 4. 5. 6. B) Исследовать ряды с помощью радикального признака Коши: 7. 8. 9. 10. C) Исследовать ряды с помощью интегрального признака Коши: 11. 12. 13. 14. 15. D) Исследовать ряды с помощью признаков сравнения: 16. 17. 18. 19. 20. 21. Е) Исследовать ряды на сходимость: 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 40. 41. 42. 43. 44. 45. . |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 458; Нарушение авторского права страницы