Несовместные, определенные и неопределенные системы.

Выбор главного элемента, предваряющий исключение на очередном шаге метода Гаусса, можно проводить, учитывая большее количество элементов матрицы СЛАУ. Так перед исключением в первом столбце выберем максимальный по модулю элемент во всей матрице системы . Пусть этот элемент - . Для того, чтобы вывести этот элемент на место (1, 1), переставим в первую и ую строки (соответственно в векторе - первый и ый элементы), первый и ый столбец, после чего проведем исключения в первом столбце.

9.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

1. Общее уравнение прямой:

Ax + By + C = 0. (1)

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y - y_o = k (x - x_o), (2)

где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg a, где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (x_o, y_o ) - некоторая точка, принадлежащая прямой.

3. Уравнение прямой в отрезках:

x/a + y/b = 1, (3)

где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки - A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂ ):

. (4)

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x₁, y₁) параллельно данному вектору a (m, n):

. (5)

6. Нормальное уравнение прямой:

rn - р = 0, (6)

где r - радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой, n - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

x cos a + y sin a - р = 0,

где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx.

Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x₁, y₁) имеет вид:

y-y₁ = l(x-x₁ ),

где l - параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A₁x +B₁y+ C₁=0, A₂ x + B₂ y + C₂ = 0, то его уравнение имеет вид:

l (A₁ x + B₁ y + C₁) + m (A₂ x + B₂ y + C₂ )=0,

где l и m - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k₁ x + b₁ задается формулой:

tg j = .

Равенство 1 + k₁ k = 0 есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Для того чтобы два уравнения

A₁ x + B₁ y + C₁= 0, (7)

A₂ x + B₂ y + C₂ = 0, (8)

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C_2.

Уравнения (7), (8) задают две различные параллельные прямые, если

A₁/A₂ = B₁/B₂ и B₁/B₂ ¹ C₁/C_2;

прямые пересекаются, если

A₁/A₂ ¹ B₁/B₂.

Расстояние d от точки M_о(x_о, y_о) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки M_о к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то

d = ê r n - р ê,

где r - радиус-вектор точки M_о или, в координатной форме, d = ê x_о cosa + y_о sina - р ê.

Угол между двумя прямыми

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле:

Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями (x-x₁)/m₁ = (y-y₁)/n₁ и (x-x₂)/m₂ = (y-y₂)/n₂, вычисляется по формуле:

Каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет вид , где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю.

10.