Достаточные условия возрастания (убывания) функции.

Теорема 33. Если функция дифференцируема на интервале и ( ) для всех, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Доказательство. Пусть на интервале. Возьмем точки . Применим к отрезку теорему Лагранжа

,

где . Так как и , то и . Следовательно, функция возрастает на интервале.

 

19.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

 

 

(Необходимое условие экстремума)

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x0, то ее производнаяf’(xo) либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: f’(x)=0, называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения f’(x)=0), либо это точки, в которых производная f’(x) не существует.

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум

Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции y=f(x) выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки Xo;

2. f’(Xo)=0 или f’(Xo) не существует;

3. производная f’(x) при переходе через точку Xo меняет свой знак.

Тогда в точке X=Xo функция y=f(x) имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку Xo производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку Xo производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная f’(x) при переходе через точку Xo не меняет знак, то экстремума в точке X=Xo нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию y=f(x) на экстремум, необходимо:

1. найти производную f’(x);

2. найти критические точки, то есть такие значения X, в которых f’(x)=0 или f’(x) не существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.

Второе условие экстремум:

Пусть для функции y=f(x) выполнены следующие условия: 1. она непрерывна в окрестности точки Xo; 2. первая производная f’(x)=0 в точке Xo; 3. f’’(x) 0 в точке Xo. Тогда в точке Xo достигается экстремум, причем, если f’’(Xo)> 0, то в точке X=Xo функция y=f(x)имеет минимум; если f’’(Xo)< 0, то в точке X=Xo функция y=f(x) достигает максимум.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

 

Пусть функция у = f (х) непрерывна на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a, b], либо на границе отрезка.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] необходимо:

1)найти критические точки функции в интервале (a, b);

2)вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть при x= а и х = b;

4)из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [0; 3].

Находим критические точки:

Эти точки лежат внутри отрезка [0; 3]; y(1) = 5; y(2) = 4; y(0) = 0; y(3) = 9;

в точке x = 3 и в точке x = 0.

 

Схема иследования функции на экстриумум:

. Найти производную данной функции.

2. Найти критические точки функции.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии точек экстремума.

4. Найти экстремумы функции.

 

20.

.Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой называется точкой перегиба. Достаточный признак сущ-я точки перегиба: Если для ф-и y=f(x) в т. Х0 вторая производная обращается в 0 при переходе через эту точку меняет знак, то точка с координатами х0, у0 будет т.перегиба ф-и

Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f (x ) в любой точке ( x₀, f ( x₀ ) ), x₀ ( a, b

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1. Найти вторую производную функции.

2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиб

 

Необходимое условие перегиба. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю.

Достаточное условие перегиба. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.

 

 

21.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая следующим свойством. Расстояние от точки до этой прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Теорема 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая, быть может, саму эту точку), и хотя бы один из пределов функции при (слева) или при (справа) равен бесконечности, т.е. или . Тогда прямая является вертикальной асимптотой графика функции .

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения , если а и b – конечные числа.

Теорема 2. Пусть функция определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Если конечен только один из пределов или , то функция имеет лишь левостороннюю или правостороннюю асимптоту.

Теорема 3. Если функция определена при достаточно больших х, и существуют конечные пределы и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции.

 

22.

 

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика

 

23.

Дифференциалом функции называется главная линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .   Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной . На основании этого формулу дифференцирования функции удобно записать в другом виде Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . Зная производные от элементарных функций можно вычислить дифференциалы функций. Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции – это приращение до касательной.

 

 

24. Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции.

Напомним, что если – дифференцируемая в точке функция, то произведение

является дифференциалом функции в точке соответственно приращению аргумента .

Для дифференцируемых функций и правила действий над их дифференциалами аналогичны правилам вычисления производных (здесь и везде далее – произвольное число), а именно:

;

; ;

; ;

.

Для первообразной функции из соотношения , имеем или – подведение функции под дифференциал.

Используя указанные равенства, получаем следующие свойства неопределенного интеграла.

Свойство 1. ,

т.е. производная неопределенного интеграла (производная каждой функции множества всех первообразных ) равна подынтегральной функции.

Свойство 2. ,

т.е. дифференциал неопределенного интеграла (дифференциал

каждой функции множества всех первообразных) равен подынтегральному выражению.

Иначе, знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак « »стоит перед знаком « ».

Свойство 3. ,

т.е. неопределенный интеграл от дифференциала какой-либо функции равен сумме этой функции и произвольного числа . Иначе, если знак « »стоит рядом и перед знаком « », то эти знаки тоже взаимно уничтожаются, причем к функции прибавляется произвольное число .

Свойство 4. – аддитивность по функции операции интегрирования, т.е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций (предполагается, что все участвующие в равенстве интегралы существуют). При этом, если и , то записывают , объединяя и в одну произвольную постоянную .

Свойство 4 верно для суммы конечного множества слагаемых.

Свойство 5. , , –

Однородность операции интегрирования, т.е. при вычислении неопределенного интеграла постоянный ненулевой множитель можно

выносить за знак интеграла (соответственно можно вносить под знак интеграла).

 

Таблица неопределенных интегралов

1. , . 2. .

3. , .

4. . 5. .

6. . 7. .

8. . 9. .

10. .

11. .

12. . 13. .

14. .

15. .

 

 

25. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл к более простому. Такой метод называется методом замены переменной или методом подстановки.

Пусть функция непрерывно дифференцируема на промежутке и имеет обратную функцию . Тогда

.

При замене переменной в интеграле нужно

а) заменить переменную на функцию , заменить на ,

б) вычислить получившийся интеграл,

в) результат выразить через первоначальную переменную .

Пусть и – дифференцируемые функции. Найдем дифференциал их произведения: . Проинтегрируем это равенство и воспользуемся свойством . Тогда получим формулу или

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула применяется, когда подынтегральное выражение можно представить в виде произведения двух множителей и так, чтобы отыскание функции по ее дифференциалу и вычисление интеграла составляли в совокупности задачу более простую, чем вычисление интеграла .

Умение разбивать разумным образом подынтегральное выражение на множители и вырабатывается в процессе решения задач. Укажем, когда и как это делается в некоторых случаях:

1) интегралы ,

где – многочлен, вычисляются многократным интегрированием по частям, причем следует взять , а оставшееся выражение взять за ;

при каждом применении формулы степень многочлена будет понижаться на единицу;

2) интегралы вида также вычисляются методом интегрирования по частям, но за следует взять соответственно функции .

 

 

26.

 

Интегрирование тригонометрических функций.

 

Случай 1. , где хотя бы одно из чисел положительное нечетное число. В этом случае следует отделить от нечетной степени (или ) одну степень и подвести ее под знак дифференциала.

Пример 1. Найти .

Подынтегральная функция содержит в нечетной положительной степени. Поэтому отделим в числителе и воспользуемся тем, что , а . Тогда

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: