Свойства периодических функций.

• Если f (x) – периодическая функция с периодом T, то функция g (x) = A · f (kx + b), где k ≠ 0 также является периодической с периодом .
• Пусть функции f₁ (x) и f₂ (x) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами T₁ > 0 и T₂ > 0. Тогда если , то функция периодическая с периодом T, равным наименьшему общему кратному чисел и .

Особенности построения графика периодических функций

График периодической функции обычно сначала строят на промежутке [x₀; x₀ + T). Выполняют параллельный перенос точек графика на всю об­ласть определения.

 

Примеры периодических функций и их графиков.

Примерами периодических функции могут служить тригонометрические функ­ции. Рассмотрим основные из них.

Функция F(x) =sin(x)

а) Область определения: D (sin x) = R.

б) Множество значений: E (sin x) = [– 1, 1].
в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом .

д) Нули функции: sin x = 0 при , n Z.

е) Промежутки знакопостоянства функции:

при , ;

при

 

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает при ;

функция убывает при ,

з) Экстремумы функции:
; .

 

График функции y= sin x изображен на рисунке.

Функция F(x) = cos(x)

а) Область определения .

б) Множество значений: E (cos x ) = [ – 1, 1 ].

в) Четность, нечетность: функция четная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом .

д)Нули функции: при .

е)Промежутки знакопостояннства:

 

;
.

ж) Промежутки монотонности:

функция возрастает при ;

функция убывает при

 

з) Экстремумы:

; .

График функции y= cosx изображен на рисунке.

 

Функция F(x) = tg(x)

а) Область определения:

б) Множество значений: E ( )

в) Четность, нечетность. Функция нечетная.

г) Периодичность. Функция периодическая с основным периодом

д) Нули функции.: tg x = 0 при x = n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

 

График функции y = tg x изображен на рисунке.

 

Функция F(x) = ctg(x)

 

а) Область определения: D (ctg x) = R \ { n( n Z ) }.

б) Множество значений: E (ctg x ) = R.
в) Четность, нечетность функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .

д) Нули функции: ctg x = 0 при x = /2 + n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства;

ж) Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале, це­ликом принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = ctg x изображен на рисунке.

 

 

 

Интересные графики получаются с применением суперпозиции-образования сложных функций на основе тригонометрических периодических функций.

 

 

График периодической функции

 

II. Приложения периодических функций. Периодические колебания.

Колебания.

Колебаниями называют процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Колебания являются процессами, повторяющимися через одинаковые промежутки времени (при этом далеко не все повторяющиеся процессы являются колебаниями). В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т.п. При механических колебаниях периодически изменяются положения и координаты тел. При электрических – напряжение и сила тока. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные колебания, вынужденные, автоколебания и параметрические колебания.

Повторяющиесяпроцессы непрерывно происходят внутри любого живого организма, например: сокращения сердца, работа легких; мы дрожим, когда нам холодно; мы слышим и разговариваем благодаря колебаниям барабанных перепонок и голосовых связок; при ходьбе наши ноги совершают колебательные движения. Колеблются атомы, из которых мы состоим. Мир, в котором мы живем, склонен к колебаниям.

Периодические колебания.

Периодическими называют такие колебания, при которых все характеристики движения повторяются через определенный промежуток времени.

Для периодических колебаний используют следующие характеристики:

• период колебаний Т, равный времени, в течение которого совершается одно полное колебание;

• частота колебаний ν, равная числу колебаний, совершаемых за одну секунду (ν = 1/Т);

Параметрические колебания осуществляются при периодическом изменении параметров колеблющейся системы (качающийся на качелях человек периодически поднимает и опускает свой центр тяжести, тем самым меняя параметры системы). При определенных условиях система становится неустойчивой - случайно возникшее отклонение из положения равновесия приводит к возникновению и нарастанию колебаний. Это явление называется параметрическим возбуждением колебаний (т.е. колебания возбуждаются за счет изменения параметров системы), а сами колебания – параметрическими. Несмотря на разную физическую природу, для колебаний характерны одни и те же закономерности, которые исследуются общими методами. Важной кинематической характеристикой является форма колебаний. Она определяется видом той функции времени, которая описывает изменение той или иной физической величины при колебаниях. Наиболее важными являются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Они называются гармоническими. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер очень близких к гармоническим. Во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение, или суперпозиция, гармонических колебаний.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: