Гармонические колебания. Гармонический осциллятор

Особое место среди периодических колебаний занимают гармоническиеколебания. Их значимость обусловлена следующими причинами. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническому, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Гармонические колебания - это колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса:

В математике функции этого вида называют гармоническими, поэтому колебания, описываемые такими функциями, тоже называют гармоническими. Положение тела, совершающего колебательное движение, характеризуется смещениемотносительно равновесного положения. В этом случае величины, входящие в формулу (1.1), имеют следующий смысл:

х - смещениетела в момент времени t;

А - амплитудаколебаний, равная максимальному смещению;

ω - круговая частотаколебаний (число колебаний, совершаемых за 2 π секунд), связанная с частотой колебаний соотношением:

φ = ( ω t +φ ₀) - фазаколебаний (в момент времени t); φ ₀ -начальная фаза колебаний (при t = 0).

Рис. Графики зависимости смещения от времени для х(0) = А и х(0) = 0

Гармонический осциллятор

Пусть гармоническое колебание описывается периодическим законом:

(*)

Рис. Гармоническое колебание

Здесь x(t) - характеризует изменение какой-либо физической величины при колебаниях (смещение положения маятника из положения равновесия; напряжение на конденсаторе в колебательном контуре и т.д.), A - амплитуда колебаний, - фаза колебаний, - начальная фаза, - циклическая частота; - величину называют также собственной частотой колебаний. Такое название подчеркивает, что эта частота определяется параметрами колебательной системы. Система, закон движения которой имеет вид (*), называется одномерным гармоническим осциллятором.

 

Свободные колебания.

Свободными или собственныминазываются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того как она была выведена из положения равновесия.

Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того чтобы вызвать колебания, нужно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его. При толчке шарику сообщается кинетическая энергия, а при отклонении сообщается потенциальная энергия.

Свободные колебания совершаются за счет первоначального запаса энергии.

Свободные незатухающие колебания

Свободные колебания могут быть незатухающими только при отсутствии силы трения. В противном случае первоначальный запас энергии будет расходоваться на ее преодоление, и размах колебаний будет уменьшаться.

В качестве примера рассмотрим колебания тела, подвешенного на невесомой пружине, возникающие после того, как тело отклонили вниз, а затем отпустили.

Рис.Колебания тела на пружине

Математический маятник - небольшое тело (материальная точка), подвешенное на невесомой нити. Если нить отклонить от положения равновесия на небольшой (до 5°) угол α и отпустить, то тело будет совершать колебания с периодом, определяемым по формуле

где L - длина нити, g - ускорение свободного падения.

Рис. 1.Математический маятник (а), физический маятник (б).

Звуковые колебания

Колеблющийся предмет толкает воздух, смещает частицы воздуха из тех положений, в которых они находились ранее. Понятно также что дело не может ограничиться влиянием лишь на близлежащий слой воздуха. Тело сожмет ближайший слой, этот слой давит на следующий - и так слой за слоем, частица за частицей приводится в движение весь окружающий воздух. Мы говорим, что воздух пришел в колебательное состояние или что в воздухе происходят звуковые колебания. При звуковых колебаниях каждая частица воздуха в среднем остается на месте - она совершает лишь колебания около положения равновесия. В самом простейшем случае частица воздуха может совершать гармоническое колебание, которое, как мы помним, происходит по закону синуса. Такое колебание характеризуется максимальным смещением от положения равновесия - амплитудой и периодом колебания, т. е. временем, затрачиваемым на совершение полного колебания. Для описания свойств звуковых колебаний чаще пользуются понятием частоты колебания, нежели периодом. Частота v = 1/T есть величина, обратная периоду. Единица частоты - обратная секунда (с^-1), однако такое слово не распространено. Говорят - секунда в минус первой степени или герц (Гц). Если частота колебания равна 100 с-1, то это значит, что за одну, секунду частица воздуха совершит 100 полных колебаний. Так как в физике весьма часто приходится иметь дело с частотами, которые во много раз больше герца, то имеют широкое применение единицы килогерц (1 кГц = 103 Гц) и мегагерц (1 МГц = 106 Гц).

При прохождении равновесного положений скорость колеблющейся частицы максимальна. Напротив, в положениях крайних смещений скорость частицы, естественно, равняется нулю. Мы уже говорили, что если смещение частицы подчиняется закону гармонического колебания, то и изменение скорости колебания следует тому же закону. Громкий разговор приводит частицы воздуха в колебание с амплитудой смещения всего лишь в несколько миллионных долей сантиметра. Амплитудное значение скорости будет величиной порядка 0, 02 см/с. Другая важная физическая величина, колеблющаяся вместе со смещением и скоростью частицы, - это избыточное давление, называемое также звуковым. Звуковое колебание воздуха состоит в периодическом чередовании сжатия и разрежения в каждой точке среды. Давление воздуха в любом месте то больше, то меньше давления, которое было при отсутствии звука. Этот избыток (или недостаток) давления и называется звуковым. Звуковое давление составляет совсем небольшую долю нормального давления воздуха. Для нашего примера - громкий разговор - амплитуда звукового давления будет равна примерно миллионной доле атмосферы. Звуковое давление прямо пропорционально скорости колебания частицы, причем отношение этих физических величин зависит только от свойств среды. Например, звуковому давлению в воздухе в 1 дин/см ² соответствует скорость колебания 0, 025 см/с.

Струна, колеблющаяся по закону синуса, приводит и частицы воздуха в гармоническое колебание. Шумы и музыкальные аккорды приводят к значительно более сложной картине. На рис. 6.9 показана запись звуковых колебаний, а именно звукового давления в зависимости от времени. Эта кривая мало похожа на синусоиду. Оказывается, что любое сколь угодно сложное колебание может быть представлено как результат наложения одной на другую большого числа синусоид с разными амплитудами и частотами. Эти простые колебания, как говорят, составляют спектр сложного колебания. Для примера такое сложение колебаний показано на рис.

С вопросом о звуковых колебаниях мы частично ознакомились на сайте http: //www.xliby.ru/fizika/fizika_dlja_vseh_molekuly/p8.php#metkadoc10. Эти материалы могут быть использованы при изучении курсантами, как математики, так и физики.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: