Тема 1. Матрицы и определители.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

и контрольные задания к контрольной работе

для студентов заочного отделения

Специальность:

09.02.02 Компьютерные сети

Новочебоксарск 2014

«СОГЛАСОВАНО» на заседании методического совета Протокол №__ от «__»_______ 20___ г. Заместитель директора по НО, УР и К _______________ Кузьмина Т.Н.	«УТВЕРЖДАЮ» Директор техникума _______________ Е.Ю. Пристова «____»______________ 20___ г.
Рассмотрено на заседании ПЦК общеобразовательных дисциплин и физвоспитания Протокол №__ от __________ Председатель ________ Марченко В.В.

Автор:

Наумова И. В., преподаватель БОУ Чувашской Республики СПО «ЧХМТ» Минобразования Чувашии

Содержание

Пояснительная записка. 4

Общие методические указания. 5

Рабочая программа курса. 8

Перечень рекомендуемой литературы.. 8

Теоретическая справка. Основные понятия и формулы. Примеры задач с решениями. 9

Контрольная работа. 34

Экзаменационное задание……………………………………………………………………………46

Пояснительная записка

В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом по специальности среднего профессионального образования для специальности 230111 «Компьютерные сети» учебная дисциплина «Элементы высшей математики» делится на 5 основных разделов:

1. Матрицы и определители;

2. Элементы аналитической геометрии;

3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной;

4. Интегральное исчисление функции одной переменной;

5. Элементы теории вероятности.

В соответствии с вышеуказанным делением на разделы студенты-заочники изучают базовый курс высшей математики в течение двух сессий. Во вторую сессию студенты должны сдать и защитить контрольные работы и получить аттестацию в соответствии с учебным планом (экзамен).

Основная задача предмета для средних специальных учебных заведений состоит в том, чтобы вооружить студентов-заочников основами математических знаний, умений и навыков в объеме, необходимом для их повседневной практической деятельности, для усвоения общетехнических и специальных предметов («Электрорадиоизмерения», «Электротехника», «Языки программирования», «Операционные среды и системы» и т.д.), а также для дальнейшего повышения квалификации путем самообразования.

Данное пособие ставит своей целью оказание помощи студентам-заочникам средних специальных учебных заведений в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы.

Читать, понимать прочитанное и применять его практически – вот в чем суть умения работать с учебными пособиями.

В методическое пособие входят:

· программа;

· перечень рекомендуемой литературы;

· методические указания к выполнению контрольной работы с решением типовых примеров и задач;

· контрольная работа;

· экзаменационные вопросы.

Теория в пособии дается в сжатой форме и служит в основном для того, чтобы при решении задач можно было делать точные ссылки на нужные формулы, определения, теоремы, правила.

Общие методические указания

Прежде всего, необходимо ознакомиться с содержанием программы. Затем следует выбрать в качестве основного учебное пособие и придерживаться его при изучении всей части курса.

Конспекты по математике главным образом должны содержать определения, чертежи и выводы основных формул.

Записи должны быть аккуратными, т.к. они делаются для того, чтобы впоследствии ими воспользоваться.

Учитесь самоконтролю. Для заочника это важная форма проверки правильности понимания и усвоения материала.

Решение задач является лучшим способом закрепления материала. Рекомендуем придерживаться следующих советов:

Внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или с некоторыми ее элементами.
Не следует приступать к решению задачи, не выдумав условия и не найдя плана решения.
Попытайтесь соотнести данную задачу какому-либо типу задач, способ решения которых вам известен.
Если не видно сразу хода решения, то последовательно отвечайте на вопросы: что дано; что нужно найти; достаточно ли данных, чтобы найти неизвестное и т.п.
Попробуйте расчленить задачу на серию вспомогательных, последовательное решение которых может составить решение данной задачи.
Найдя план решения, выполните его, убедитесь в необходимости и правильности каждого шага, произведите проверку решения.
Подумайте, нельзя ли было решить задачу иначе, т.к. задача может иметь несколько решений, поэтому следует выделить наиболее рациональное.
Если решить задачу не удается, отыщите в учебной литературе уже решенную задачу, похожую на данную, изучите внимательно это решение и постарайтесь извлечь из него пользу для решения своей задачи.

Контрольную работу следует выполнять самостоятельно и лишь после

того, как проработан соответствующий теоретический материал.

При решении задач следует обосновать каждый шаг решения, исходя из теоретических основ курса. Не следует применять формулы, которые не входят в программу. Решение должно быть доведено до окончательного ответа.

Требования к выполнению и оформлению контрольной работы:

1. Каждая работа выполняется в отдельной тетради школьного формата. Следует пронумеровать страницы и оставить на них поля 4-5 см для замечаний преподавателя.

2. На обложке тетради должен быть приклеен титульный лист утвержденного образца.

3. Работа должна быть выполнена чернилами одного цвета, аккуратно и разборчиво.

4. Каждую задачу надо начинать с новой страницы.

5. Решение задач желательно располагать в порядке номеров, указанных в задании.

6. Условия задач должны быть обязательно переписаны полностью в контрольную тетрадь; к геометрическим задачам, кроме того, дается краткая запись условия.

7. При оформлении записей в тетради необходимо выполнять общие требования к культуре их ведения.

Перечислим важнейшие из этих требований:

1) всякую новую мысль следует начинать с красной строки;

2) важные формулы, равенство, определения нужно выделять в отдельные строки, чтобы сделать их более обозримыми;

3) при описании решения задачи краткая запись условия отделяется от решения и в конце решения ставится ответ;

4) серьезное внимание следует уделять правильному написанию сокращенных единиц величин;

5) необходимо правильно употреблять математические символы.

8. Решения задач должны сопровождаться краткими, обоснованными пояснениями, используемые формулы нужно выписывать.

9. Чертежи следует выполнять карандашом с использованием чертежных инструментов, соблюдая масштаб.

10. В конце работы следует указать литературу, которой вы пользовались, проставить дату выполнения работу и подпись.

11. Если в работе допущены недочеты и ошибки, то студент должен выполнить все указания преподавателя, сделанные в рецензии.

12. Контрольные работы должны быть выполнены в срок (в соответствии с учебным планом-графиком).

13. Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и возвращается студенту без оценки.

14. Студенты, не имеющие зачета по контрольной работе, к экзамену не допускаются.

15. Во время экзамена зачтенные контрольные работы представляются преподавателю вместе с данными методическими указаниями.

16. Индивидуальная контрольная работа имеет 30 вариантов.

Порядок расположения контрольных заданий соответствует порядку изложения материала в теоретической справке.

Рабочая программа курса

Тема 1. Матрицы и определители.

Матрицы и действия над ними. Определители, их свойства. Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы, правилу Крамера и методом Гаусса.

Тема 2. Элементы аналитической геометрии.

Прямоугольные координаты в пространстве. Векторы и простейшие действия над ними. Скалярное и векторное произведение. Смешанное произведение векторов.

Типы матриц.

1. Матрица - строка, размерность 1*n;

(а₁ а₂…а_n)

2. Матрица – столбец, размерность m*1;

3. Нулевая матрица - матрица, все элементы которой нулевые (обозначают 0).

4. Единичная матрица (обозначают Е):

, и т. д.

Понятие единичной матрицы имеет место только для квадратных матриц. Единичная матрица играет роль единицы при умножении соответствующих квадратных матриц.

5. Диагональная матрица:

Диагональная матрица характеризуется тем, что все ее элементы вне главной диагонали - нулевые. Е – частный случай диагональной.

Действия над матрицами.

Складываются (вычитаются) только матрицы одинаковых размеров. Операция производится покомпонентно.
При умножении матрицы на число все элементы матрицы умножаются на это число.

Пример 5.

Вычислить 2А-В.

Решение:

2А-В = 2*

Умножение матрицы на матрицу. Не любые две матрицы можно перемножить. Перемножаются только матрицы размеров соответственно (m * n) и (n * s), при этом получается матрица размеров (m * s). Для того, чтобы перемножить матрицы, нужно первую матрицу поочередно умножить на каждый из столбцов второй матрицы. Из существования произведения матриц А * В не следует существование произведения В * А.

Пример 6.

Вычислить: А * В и В * А.

Решение:

= ,

т.е. из (3*2) и (2*2) следует (3*2).

- не определено, т.к. - невозможно.

Определители. Ниже указаны соответственно определители первого, второго, третьего и n-го порядков:

, где - элементы определителя, индекс «i» - номер строки, индекс «ј» - номер столбца.

В результате вычисления определителя получается число (или алгебраическое выражение) следующим образом:

Вычисление определителя в п.2 называется «разложением определителя по первой строке». При этом А₁₁, А₁₂, А₁₃ называются алгебраическими дополнениями. Алгебраическое дополнение элемента определителя , где – определитель, который получается из элементов определителя после удаления строки или столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Пример 1. Вычислить определитель второго порядка .

Решение: = 2*3 – 1*(-5) = 6+5 =11.

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка .

Решение: Отметим, что перед , будет знак «+», если сумма индексов i+ ј – четное число, знак «-», если сумма i+ ј – нечетное число.

Определители четвертого порядка можно решить разложением по первой строке и т.д. Понятие алгебраического дополнения элемента , данное выше, носит общий характер и подходит для определителя любого порядка.

Подробнее свойства определителей можно изучить по рекомендуемой литературе. Перечислим только важнейшие из них:

1. Определитель при транспонировании (замены строк соответствующими столбцами) не меняется.

2. Определитель можно разложить по любой строке (столбцу). Поэтому при вычислении определителя удобно выбирать строку (столбец), где максимальное число нулевых элементов.

3. При перестановке двух строк (столбцов) определителя изменяется только (на противоположный) знак определителя.

4. Определитель, имеющий нулевую строку (одинаковые строки, пропорциональные строки), равен нулю.

5. Определитель «треугольного» вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.

6. Общий множитель строки (столбца) определителя можно

выносить за знак определителя.

Обратная матрица. Пусть А – квадратная матрица. Матрица называется обратной к матрице А, если справедливо А * = * А = Е. Не каждая квадратная матрица имеет обратную, все зависит от определителя матрицы. Если = 0, то обратной матрицы не существует, если же 0, то существует и находится по следующему алгоритму:

Находим алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .

Составляем матрицу из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А, т.е. .

Транспонируем матрицу , получаем матрицу .

Находим обратную матрицу по формуле

Пример 7.

Найти ?

Решение:

1. = -4+6 = 2 - существует.

2. А₁₁ = (-1)² * 2 = 2, А₁₂ = (-1)³ * 1 = -1, А₂₁ = (-1)³ * (-6) = 6, А₂₂ =(-1)⁴ * (-2) = -2.

3. .

4. .

5. = .

Проверка: = = Е, что и требовалось.

Методы вычисления пределов

№ п/п	Виды предела	Методы вычисления
		Записать ответ
		Разделить числитель и знаменатель на х в «младшей степени»
		Разделить числитель и знаменатель на (х-а)
		Умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение
		Привести выражение к общему знаменателю и раскрыть неопределенность по правилу 3
		Числитель и знаменатель разделить на х в «старшей степени»
		Умножить и разделить на сопряженное выражение

Пример1. Найти .

Решение: При получаем неопределенность . Для решения используется следующий прием: числитель и знаменатель раскладывается на множители:

Ответ: 0

Пример 2. Найти .

Решение: При получаем неопределенность .Для решения используется следующий прием: числитель и знаменатель делится на переменную х, возведенную в самую большую степень (в данном случае ):

Ответ: .

Пример 3. Найти .

Решение: При получаем неопределенность . Для решения используется следующий прием: числитель и знаменатель умножается на выражение, сопряженное иррациональному числителю (в данном случае на и 4) и перемножаем иррациональные выражения:

Ответ: .

Пример 4. Вычислить предел: .

Решение: Для решения данного предела используем первый замечательный предел и его следствия:

Ответ: .

Пример 5. Вычислить предел: .

Решение: При решении этого предела используется второй замечательный предел:

Ответ:

Пример 6. Вычислить предел: .

Решение: Здесь также применяется второй замечательный предел:

так как .

Ответ: .

Производной функции у = f(х) в точке х называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента х, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Производная обозначается одним из символов у^′_х, у^′, f^′(х),

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования. Во всех приведенных ниже формулах буквами u и υ обозначены дифференцируемые функции независимой переменной х: u = u(х), υ = υ (х), а буквами а, с, n – постоянные:

2. (u υ )^′ = u^′ υ ′.

3. (uυ )′ = u′ υ + uυ ^′.

4. .

5. (cu)^′ = cu^′.

Таблица производных основных элементарных функций:

7. 7а. (uⁿ)^′= n * u^{n – 1} * u^′.

8. (sin х)^′ = cos х. 8а. (sin u)^′ = соs u * u^′.

9. (соs х)^′ = - sin х. 9а. (соs u)^′ = -sin u * u^′.

10. (tg х)^′= . 10а. (tg u)^′ = .

11. (сtg х)^′ = - . 11а. (сtg u)^′= - .

12. (аrсsin х)^′ = . 12а. (аrcsin u)^′ = .

13. (аrccоs х)^′= - . 13а. (аrccos u)^′ = - .

14. (аrctg х)^′ = . 14а. (аrctg u)^′ = .

15. (аrcctg)^′ = - . 15а. (аrcctg u)^′ = - .

16. 16а.

17. 17а.

18. . 18а.

19. 19а.

В пунктах 7а — 19а функция u - это сложная функция.

Пусть у = у(u) и u = u(х) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция у = у[u(х)] есть также дифференцируемая функция, причем

у^′_х = у^′_u * u^′_х или .

Теорема: Производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Пример 7. Найти производные следующих функций:

1) 2)

3) 4) .

Решение: 1) Запишем данную функцию следующим образом:

Тогда = 4( )^{′ -}( )^′ + 6*( )^′ =

= 4 * 3 – (-1/2) + 6 * (-2/3) = 12 ⁺ .

2) Имеем производную произведения (правило 3).

у^′ = [( + 1) * cos х]^′ = ( + 1)^′ * cos х + ( + 1)*(cos х)^′ = 3 *cos х + ( + 1)*(-sinх) = 3 * cos х – ( + 1)* sin х.

3) Используем правило дифференцирования дроби, получим:

4) Имеем

y^' = (5^х + х ∙ ln х)^′ = (5^х)^′ + (х ∙ ln х)^′ = 5^х ∙ ln 5 + [ х^′∙ ln х + х ∙ (ln х)^′ ]= 5^х ∙ ln 5 + ln х + х ∙ = 5^х ∙ ln 5 +ln х + 1.

Пример 8. Найти производную функции у = ln( + 3 +4х).

Решение: Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

у^′ = [ln( – 3 +4х) ]^′ =

Производная второго порядка от функции у = f(х) есть производная от ее производной: = или .

Аналогично определяется и обозначаются производные любого порядка.

У⁽ⁿ⁾ = [f^n-1(х)]^′ или .

Дифференциал функции. Дифференциалом dу функции у = f(х) называется главная часть ее приращения, пропорциональная приращению независимой переменной х.

Дифференциал dх независимой переменной х равен ее приращению : dх = .

Дифференциал любой дифференцируемой функции у = f(х) равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной:

dу = f^′(х)dх. (1)

Если ∆ х достаточно мало по абсолютной величине, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем , имеет место приближенное равенство

, или

f(х + ) (х) . (2)

Пример 9. Найти приращение и дифференциал dу функции у = – х + 1 при х=3 и = 0, 01. Какова абсолютная и относительная погрешности, которые получаются при замене приращения функции ее дифференциалом?

Решение: Имеем: = f(х + ) – f(х) = (х + )² – (х + ) + 1 – ( –х + 1)= х² + 2х +( )² – х - + 1 – +х –1= 2х +( )² - = ( )² + 2х - = (0, 01)² + 2 ∙ 3∙ 0, 01 –0, 01= 0, 0001 +0, 06 –0, 01 = 0, 0601 –0, 01 = 0, 0501.

Дифференциал функции найдем по формуле (1): dу = f^′(х) = f^′ (3) ∙ 0.01 = (2х – 1) ∙ 0, 01 = (2∙ 3 – 1) ∙ 0, 01 = 0, 05.

Абсолютная погрешность

= = 0, 0001.

Относительная погрешность

Приложения производной к исследованию функций. Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых х₁и х₂ из этого промежутка таких, что х₁< х₂, имеет место неравенство f(х₁) < f(х₂) (f(х₁) > f(х₂)).

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Возрастание и убывание функции у = f(х) характеризуется знаком ее производной: если в некотором промежутке f^′ (х) > 0, то функция возрастает в этом промежутке; если же f^′(х) < 0, то функция – убывает.

Точка х = х_о называется точкой максимума (минимума) функции у = f (х), если существует такая окрестность точки х_о, что для всех х (х ≠ х_о) этой окрестности выполняется неравенство f (х) < f (х_о)[f(х) > f(х_о)].

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в 0 или терпит разрыв.

Теорема: если при переходе через критическую точку х = х_о в положительном направлении знак f^′ (х) меняется с плюса на минус (с минуса на плюс), то точка х = х_о есть точка максимума (минимума).

Кривая называется выпуклой (вогнутой) в некотором промежутке, если она расположена ниже (выше) касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

Отыскание промежутков выпуклости и вогнутости графика функции у = f(х) сводится к нахождению промежутков знакопостоянства ее второй производной, если в некотором промежутке f^{′ ′}(х) < 0 [f^{′ ′}(х) > 0], то кривая выпукла (вогнута) в этом промежутке.

Точкой перегибакривой называется такая ее точка, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.

Общая схема исследования функции и построения графиков:

1. Найти область определения функции;

2. Исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность;

3. Найти точки пересечения с осями координат (если это возможно);

4. Исследовать функцию на возрастание, убывание и экстремум;

5. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и точки перегиба;

6. Найти все асимптоты графика функции;

7. Найти дополнительные точки (если это необходимо);

8. По результатам исследования построить график.

Пример 10. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график:

Решение:

1. . Функция терпит разрыв в точке х = 1.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. f (-х) ≠ f (х) и f (-х) ≠ -f(х). Непериодична.

3. Найдем точки пересечения с осями координат. С осью О_х точек пересечения нет, т.к. уравнение не имеет вещественных корней. С осью Оу: х = 0 у = -1; (0; -1) – точка пересечения с осью Оу.

4. Исследуем функцию на убывание, возрастание и экстремум. Для этого найдем производную:

Далее находим критические точки. Для этого решаем уравнение f ^′(х) = 0.

Имеем

– 2х – 1 = 0

х₁ = 1 - , х₂ = 1 + .

Далее определяем знак производной в каждом из интервалов: (-∞; 1 - ), (1 - ; 1), (1; 1 + ), (1 + ; +∞ ).

+ - + -

1 - 1 _{1 +}

Итак, функция возрастает, если х (-∞; 1 - ) (1 + ; +∞ ), т.к. здесь f^′ (х) > 0; функция убывает, если х (1 - ; 1) (1; 1 + ); т.к. здесь f^′ (х) < 0.

Точка х = 1 - является точкой максимума (т.к. первая производная меняет знак с + на -); y (1 - ) = у_maх = 2 (1 - ).

Точка х = 1 + - точка минимума; y (1 + ) = у_min = 2(1 + ).

5. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Для этого находим вторую производную.

В области определения функции х ≠ 1 у^{′ ′} ≠ 0. Следовательно, у функции точек перегиба нет. Исследуем знаки у^{′ ′}. Если х < 1, то функция является вогнутой, т.к. у^{′ ′} < 0, при х > 1 функция является выпуклой, т.к. у^{′ ′} > 0.

6. Найдем все асимптоты графика функции Т.к. в точке х = =1 функция терпит разрыв, то прямая х = 1 является вертикальной асимптотой. Наклонную асимптоту будем искать в виде у = kх + b, где