Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого числа можно указать такое , что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство . В этом случае пишут .

Теоремы о пределах: 1. Если существуют пределы функций f(x) и , то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций f(x) и :

.

2. Если существуют пределы функций f(x) и при , то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций f(x) и :

.

3. Если существуют пределы функций f(x) и при и предел функции отличен от нуля, то существует также и предел их отношения, равный отношению пределов функций f(x) и :

Методы вычисления пределов

№ п/п	Виды предела	Методы вычисления
		Записать ответ
		Разделить числитель и знаменатель на х в «младшей степени»
		Разделить числитель и знаменатель на (х-а)
		Умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение
		Привести выражение к общему знаменателю и раскрыть неопределенность по правилу 3
		Числитель и знаменатель разделить на х в «старшей степени»
		Умножить и разделить на сопряженное выражение

Пример1. Найти .

Решение: При получаем неопределенность . Для решения используется следующий прием: числитель и знаменатель раскладывается на множители:

.

Ответ: 0

Пример 2. Найти .

Решение: При получаем неопределенность .Для решения используется следующий прием: числитель и знаменатель делится на переменную х, возведенную в самую большую степень (в данном случае ):

Ответ: .

Пример 3. Найти .

Решение: При получаем неопределенность . Для решения используется следующий прием: числитель и знаменатель умножается на выражение, сопряженное иррациональному числителю (в данном случае на и 4) и перемножаем иррациональные выражения:

Ответ: .

Пример 4. Вычислить предел: .

Решение: Для решения данного предела используем первый замечательный предел и его следствия:

.

Ответ: .

Пример 5. Вычислить предел: .

Решение: При решении этого предела используется второй замечательный предел:

Ответ:

Пример 6. Вычислить предел: .

Решение: Здесь также применяется второй замечательный предел:

так как .

Ответ: .

Производной функции у = f(х) в точке х называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента х, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Производная обозначается одним из символов у^′ _х, у^′ , f^′ (х),

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования. Во всех приведенных ниже формулах буквами u и υ обозначены дифференцируемые функции независимой переменной х: u = u(х), υ = υ (х), а буквами а, с, n – постоянные:

1.

2. (u υ )^′ = u^′ υ ′.

3. (uυ )′ = u′ υ + uυ ^′ .

4. .

5. (cu)^′ = cu^′ .

6.

Таблица производных основных элементарных функций:

7. 7а. (uⁿ)^′ = n * u^{n – 1} * u^′ .

8. (sin х)^′ = cos х. 8а. (sin u)^′ = соs u * u^′ .

9. (соs х)^′ = - sin х. 9а. (соs u)^′ = -sin u * u^′ .

10. (tg х)^′ = . 10а. (tg u)^′ = .

11. (сtg х)^′ = - . 11а. (сtg u)^′ = - .

12. (аrсsin х)^′ = . 12а. (аrcsin u)^′ = .

13. (аrccоs х)^′ = - . 13а. (аrccos u)^′ = - .

14. (аrctg х)^′ = . 14а. (аrctg u)^′ = .

15. (аrcctg)^′ = - . 15а. (аrcctg u)^′ = - .

16. 16а.

17. 17а.

18. . 18а.

19. 19а.

В пунктах 7а — 19а функция u - это сложная функция.

Пусть у = у(u) и u = u(х) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция у = у[u(х)] есть также дифференцируемая функция, причем

у^′ _х = у^′ _u * u^′ _х или .

Теорема: Производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Пример 7. Найти производные следующих функций:

1) 2)

3) 4) .

Решение: 1) Запишем данную функцию следующим образом:

.

Тогда = 4( )^{′ -} ( )^′ + 6*( )^′ =

= 4 * 3 – (-1/2) + 6 * (-2/3) = 12 ⁺ .

2) Имеем производную произведения (правило 3).

у^′ = [( + 1) * cos х]^′ = ( + 1)^′ * cos х + ( + 1)*(cos х)^′ = 3 *cos х + ( + 1)*(-sinх) = 3 * cos х – ( + 1)* sin х.

3) Используем правило дифференцирования дроби, получим:

4) Имеем

y^' = (5^х + х ∙ ln х)^′ = (5^х)^′ + (х ∙ ln х)^′ = 5^х ∙ ln 5 + [ х^′ ∙ ln х + х ∙ (ln х)^′ ]= 5^х ∙ ln 5 + ln х + х ∙ = 5^х ∙ ln 5 +ln х + 1.

Пример 8. Найти производную функции у = ln( + 3 +4х).

Решение: Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

у^′ = [ln( – 3 +4х) ]^′ =

Производная второго порядка от функции у = f(х) есть производная от ее производной: = или .

Аналогично определяется и обозначаются производные любого порядка.

У⁽ⁿ⁾ = [f ^n-1(х)]^′ или .

Дифференциал функции. Дифференциалом dу функции у = f(х) называется главная часть ее приращения, пропорциональная приращению независимой переменной х.

Дифференциал dх независимой переменной х равен ее приращению : dх = .

Дифференциал любой дифференцируемой функции у = f(х) равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной:

dу = f^′ (х)dх. (1)

Если ∆ х достаточно мало по абсолютной величине, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем , имеет место приближенное равенство

, или

f(х + ) (х) . (2)

Пример 9. Найти приращение и дифференциал dу функции у = – х + 1 при х=3 и = 0, 01. Какова абсолютная и относительная погрешности, которые получаются при замене приращения функции ее дифференциалом?

Решение: Имеем: = f(х + ) – f(х) = (х + )² – (х + ) + 1 – ( –х + 1)= х² + 2х +( )² – х - + 1 – +х –1= 2х +( )² - = ( )² + 2х - = (0, 01)² + 2 ∙ 3∙ 0, 01 –0, 01= 0, 0001 +0, 06 –0, 01 = 0, 0601 –0, 01 = 0, 0501.

Дифференциал функции найдем по формуле (1): dу = f^′ (х) = f^′ (3) ∙ 0.01 = (2х – 1) ∙ 0, 01 = (2∙ 3 – 1) ∙ 0, 01 = 0, 05.

Абсолютная погрешность

= = 0, 0001.

Относительная погрешность

Приложения производной к исследованию функций. Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых х₁ и х₂ из этого промежутка таких, что х₁< х₂, имеет место неравенство f(х₁) < f(х₂) (f(х₁) > f(х₂)).

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Возрастание и убывание функции у = f(х) характеризуется знаком ее производной: если в некотором промежутке f^′ (х) > 0, то функция возрастает в этом промежутке; если же f^′ (х) < 0, то функция – убывает.

Точка х = х_о называется точкой максимума (минимума) функции у = f (х), если существует такая окрестность точки х_о, что для всех х (х ≠ х_о) этой окрестности выполняется неравенство f (х) < f (х_о)[f(х) > f(х_о)].

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в 0 или терпит разрыв.

Теорема: если при переходе через критическую точку х = х_о в положительном направлении знак f^′ (х) меняется с плюса на минус (с минуса на плюс), то точка х = х_о есть точка максимума (минимума).

Кривая называется выпуклой (вогнутой) в некотором промежутке, если она расположена ниже (выше) касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

Отыскание промежутков выпуклости и вогнутости графика функции у = f(х) сводится к нахождению промежутков знакопостоянства ее второй производной, если в некотором промежутке f^{′ ′} (х) < 0 [f^{′ ′} (х) > 0], то кривая выпукла (вогнута) в этом промежутке.

Точкой перегибакривой называется такая ее точка, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.

Общая схема исследования функции и построения графиков:

1. Найти область определения функции;

2. Исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность;

3. Найти точки пересечения с осями координат (если это возможно);

4. Исследовать функцию на возрастание, убывание и экстремум;

5. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и точки перегиба;

6. Найти все асимптоты графика функции;

7. Найти дополнительные точки (если это необходимо);

8. По результатам исследования построить график.

Пример 10. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график:

Решение:

1. . Функция терпит разрыв в точке х = 1.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. f (-х) ≠ f (х) и f (-х) ≠ -f(х). Непериодична.

3. Найдем точки пересечения с осями координат. С осью О_х точек пересечения нет, т.к. уравнение не имеет вещественных корней. С осью Оу: х = 0 у = -1; (0; -1) – точка пересечения с осью Оу.

4. Исследуем функцию на убывание, возрастание и экстремум. Для этого найдем производную:

Далее находим критические точки. Для этого решаем уравнение f ^′ (х) = 0.

Имеем

– 2х – 1 = 0

х₁ = 1 - , х₂ = 1 + .

Далее определяем знак производной в каждом из интервалов: (-∞; 1 - ), (1 - ; 1), (1; 1 + ), (1 + ; +∞ ).

+ - + -

Х

1 - 1 _{1 +}

Итак, функция возрастает, если х (-∞; 1 - ) (1 + ; +∞ ), т.к. здесь f^′ (х) > 0; функция убывает, если х (1 - ; 1) (1; 1 + ); т.к. здесь f^′ (х) < 0.

Точка х = 1 - является точкой максимума (т.к. первая производная меняет знак с + на -); y (1 - ) = у_maх = 2 (1 - ).

Точка х = 1 + - точка минимума; y (1 + ) = у_min = 2(1 + ).

5. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Для этого находим вторую производную.

В области определения функции х ≠ 1 у^{′ ′} ≠ 0. Следовательно, у функции точек перегиба нет. Исследуем знаки у^{′ ′} . Если х < 1, то функция является вогнутой, т.к. у^{′ ′} < 0, при х > 1 функция является выпуклой, т.к. у^{′ ′} > 0.

6. Найдем все асимптоты графика функции Т.к. в точке х = =1 функция терпит разрыв, то прямая х = 1 является вертикальной асимптотой. Наклонную асимптоту будем искать в виде у = kх + b, где

Итак, при х → +∞ и х → -∞ график функции имеет наклонную асимптоту у = х + 1.

7. Строим график.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: