Основные процедуры системного анализа

Основные процедуры системного анализа

Три основные процедуры:

· декомпозиция;

· анализ;

· синтез.

Декомпозиция – это разбиение системы на подсистемы. Часто декомпозицию рассматривают как первый этап процедуры анализа.

Анализ – включает оценивание преобразований, которые реализуют подсистемы. Часто главной задачей анализа является оценка преобразование системы в целом, то есть определяется алгоритм преобразования входных переменных в выходные. В этом случае система рассматривается как единое целое, то есть производится композиция, либо агрегация подсистемы.

Синтез – это процедура противоположная задачи анализа. По известному закону преобразования необходимо построить такую систему, которая реализует данное преобразование. При этом должен быть задан класс элементов, из которых строится система.

Каждая процедура включает более мелкие процедуры. Например, декомпозиция включает наблюдение и оценивание входных и выходных переменных. Анализ включает процедуру оценивания эффективности исследуемых алгоритмов преобразования.

 

Определение системы как семантической модели

Понятие семантической модели

Пусть имеется два множества A и B, тогда функция f однозначно ставящая в соответствие каждому элементу называется отображением множества A на множество B, то есть .

Элемент называется образом элемента a.

Если существует , которое не является образом ни одного из элементов множества A, то преобразование f называется отображением множества A «в» B.

Если f(A) = B , то отображение называется «на», A «на» B.

 

 

Множество, задаваемое функцией , которое включает, элементы множества A называются прообразом множества B. В общем случае может обеспечить неоднозначное преобразование.

Отображение называется взаимнооднозначным, если каждому элементу множества A соответствует один элемент множества B и наоборот.

Отображение A «в» B называется гомоморфизм, если выполняется условие .

Изоморфизм – множество A «на» B является взаимнооднозначным гомоморфизмом, то есть , тогда семантическая модель представляет собой изоморфизм множества A в Ψ (пси), где A – фиксированное множество элементов исследуемой области с исследуемыми связями между ними.

Пси определяется следующим набором:

 

,

 

где – множество элементов модели соответствующих элементам предметной области, носитель модели, – предикаты, характеризующие отношения между элементами предметной области.

Предикат – это логическое выражение содержащие производное число аргументов и принимающее два значения, либо «истинное», либо «ложное».

Пример: хороший студент

Предикаты называются сигнатурой модели. Носитель модели является содержательной областью для предикатов. Выбор сигнатуры и носителя модели определяется рассматриваемой предметной областью.

 

Классификация систем

Системы классифицируют:

1) По происхождению:

a) естественные;

b) искусственные.

Социально-экономическая система – это объединение людей и машин, при реализации определенных функций связанных с достижением конкретных целей.

2) По объективности существования:

a) материальные системы (существуют объективно не зависимо от нашего сознания);

b) идеальные (складывается в сознании человека).

3) По взаимодействию с внешней средой:

a) открытые;

b) закрытые.

Если каждый элемент системы имеет связи только с элементами подсистем данной системы, система называется закрытой. Если хотя бы один элемент имеет связь с внешней средой, то система является открытой. Закрытых систем на практике почти не бывает. Моделирование закрытой системы производится, когда необходимо исследовать поведение систем при обрыве внешних связей. Если при обрыве внешних связей или при резком изменении характеристик внешней среды показатели функциональной системы не выходят из допустимого интервала, то система называется слабозависящей от внешней среды.

4) По действию во времени:

a) статические системы (не зависят от времени);

b) динамические.

На практике все системы являются динамические.

5) По обусловленности действия:

a) детерминированные;

b) вероятностные.

В детерминированных системах характеристики изменяются по заранее известным законам. В вероятностных системах предсказать их поведение можно только с определенной степенью вероятности (математическая теория вероятности).

6) По степени сложности:

a) сложные;

b) особо сложные;

c) простые.

При этом учитывается иерархия системы, количество элементов и связей.

Сложная система характеризуется:

· целостностью реакции на внешнее воздействие;

· большая размерность – это большое количество входов и выходов и сложный характер преобразований входных переменных в выходные;

· сложный характер связей. Изменение любого из элементов оказывающих влияние на другие элементы.

 

Свойства систем

Целостность – означает наличие некоторых общих целей у элементов системы. Также с данным понятием связаны симметрия и асимметрия, которые определяют степень соразмерности в пространстве и во времени связей между элементами.

Неодетивность – это появление нового качества системы, которое вызвано эффектом объединения элементов, то есть сумма эффектов от реализации элементов отличающихся от эффекта реализации системы в целом.

Эмерджентность – это появление новых свойств системы, которые не свойственны элементам системы.

Синергизм – это получение дополнительного эффекта от согласованной и целенаправленной деятельности элементов системы. Проявлением является мультипликативный эффект, то есть суммарный эффект равен не сумме, а произведению эффектов функциональных элементов.

Обособленность – это определенная изолированность системы от внешней среды.

Согласованность – это наличие взаимосвязей элементов подсистем системы с элементами других систем. Также системы низкого уровня должны быть связаны с системами высокого уровня.

Адаптивность – это способность системы подстраиваться под изменения внутренней и внешней среды.

 

Система с управлением

Определение моделирования

Моделирование – это процесс исследования реальных систем, который включает построение модели ее анализ и перенос получение информации на прототип.

Основными функциями моделирования является:

· описание;

· объяснение;

· прогнозирование состояние систем.

Цели моделирования:

· определение оптимальных управленческих решений;

· оценка эффективности систем управления;

· прогнозирование состояния системы;

· изучение ее свойств.

Модель – это объект определенной природы, который по определенным характеристикам соответствует прототипу.

Существует три основных типа моделей:

· функциональная;

· информационная;

· ситуационная (поведенческая).

Функциональные модели характеризуют основные функции системы и ее подсистем, а также структуру систем. Информационные модели характеризуют связи между элементами в виде структур данных. Третий тип характеризует динамику системы. Здесь используется понятия: состояние, ситуация, условие перехода из одного состояния в другое, последовательность событий и т.д.

Состояние – это совокупность значений характеристик системы в определенный момент времени.

Ситуация – это совокупность состояний системы и внешней среды в определенный момент времени.

Событие – это действие, переводимое систему из одного состояния в другое.

 

Принципы моделирования

 

1. Адекватность, то есть соответствие свойств модели свойствам объекта.

2. Соответствие модели решаемой задаче.

3. Снижение сложности при учете основных свойств системы (абстрагирование от второстепенных свойств).

4. Соответствие сложности и точности модели.

Для упрощения модели используются:

a) сокращение числа входов и выходов системы. Малозначительные входы и выходы системы исключаются или объединяются;

b) изменение физики параметров на модели. Переменные параметры рассматриваются как постоянные, дискретные как непрерывные;

c) изменение физики взаимосвязей между параметрами (например, не учитывается вероятностный характер);

d) ослабление ограничений;

e) снижение требуемой точности.

5. Баланс между погрешностями различных типов (систематической, абсолютной, относительной, приведенной).

6. Многовариантное моделирование, то есть использование различных подходов с выбором оптимального подхода.

7. Модульность моделей сложных систем, предполагает построение общей модели при помощи подмоделей, что дает возможность использовать накопленный опыт.

 

Основные понятия

Пусть U – некоторое полное множество, включающее понятие некоторой предметной области. Тогда нечеткое множество F, является подмножеством множества U, определяется при помощи функции принадлежности .

Функция принадлежности отображает элементы на множество действующих чисел в интервале [0.1] и характеризует степень отношения элементов к нечеткому множеству F.

Пусть полное множество U содержит элементы .

 

,

 

где «+» – это знак объединения;

«/» – ставит в соответствие каждому элементу значение соответствующей функции принадлежности.

Пример:

Пусть полное множество U – процентные ставки по предмету на приобретение жилья.

Нечеткое множество – низкие процентные ставки, имеет вид:

 

 

Высокие ставки:

 

 

Функция принадлежности обычно определяется экспертами (0, 0.1, 0.7, 0.8, 0.9)

 

 

Нечеткие логические выводы

Четким продукционным правилом называется следующее выражение:

Если .

Нечетким продукционным правилом называется следующая конструкция:

Если X есть A и Y есть B, то Z есть C;

X, Y – входные переменные;

Z – выходная переменная;

A, B и C – нечеткие множества.

 

Задачей нечеткого логического вывода является на основании заданных четких значений входных характеристик системы, определить четкое значение его выхода.

Алгоритм нечеткого логического вывода включает четыре этапа:

1. Приведениек нечеткости (фазификация).

2. Логический вывод.

3. Композиция.

4. Приведение к четкости (дефазификация).

Пусть система описана при помощи двух нечетких продукционных правил:

1) Если X есть A1 и Y есть B1, то Z есть C1.

2) Если X есть A2 и Y есть B2, то Z есть C2.

Пусть X – доля рынка предприятия, Y – темп роста отрасли, а Z – объем инвестиций в предприятие.

1) Если X, Y, то Z.

2) Если X, Y, то Z (если доля рынка маленькая, темп роста отрасли средний, то инвестиции средние).

1)

 

10% 20% x, % 5% 10% y, % 100 z, млн. руб.

большую долю 20% высокий темп роста 10% большие инвестиции

 

2)

 

 

X0 =10% Y0 =5% 100 z, млн. руб.

незначительная доля средний темп роста средний объем инвестиций

 

 

Пусть x = 10%, y = 5%, необходимо определить, сколько инвестировать в млн. руб.

 

 

Z0 Z

центр тяжести фигуры

 

Фазификация – определяется степенью истинности предпосылок каждого правила для заданных входов X0, Y0, то есть определяются значения А1(X0), В1(Y0), А2(X0), В2(Y0).

Нечеткий логический вывод – находятся уровни отсечения по каждому правилу:

1) ;

2) .

Находящиеся усеченные функции принадлежности:

Композиция – усеченные функции принадлежности правой части правил:

Дефазификация (приведение к четкости)– позволяет получать четкие значения входа z, которое соответствует нашим значениям.

 

Нечеткие когнитивные карты

В нечетких когнитивных картах связи между концептами принимают значения от –1 до +1. Силу связи определяет эксперт или группа экспертов.

В нечетких когнитивных картах концепты обычно отражают ситуационные аспекты, то есть роли, стабилизации иных показателей.

Процедура анализа нечетких когнитивных карт:

 

 

+1

1. Строится исходная когнитивная матрица.

КУДА ВХОДИТ

О Т К У Д А   В Ы Х О Д И Т	К1	К2	К3	К4	К5
К1		0, 4	0, 6	-0, 5
К2
К3					0, 8
К4					-0, 2
К5

 

 

2. Строится транзитивно замкнутая матрица влияний концепта на концепт.

Матрица , в ячейках которой находятся два элемента и .

характеризует положительный наибольший путь от концепта i к концепту j.

характеризует наибольший по модулю отрицательный путь от концепта i к концепту j.

Размер пути определяется как произведение значений связи на данном пути.

 

	К1	К2	К3	К4	К5
К1		0, 4	0, 6	0, 4 -0, 5	0, 48 -0, 08
К2					-0, 2
К3					0, 8
К4					-0, 2
К5

 

 

3. Строится матрица консонансов.

Матрица консонансов – влияние концепта на концепт консонанс определяет, на сколько согласованно присутствие концептов в моделируемой системе.

Матрица консонансов включает следующие элементы:

 

	К1	К2	К3	К4	К5
К1				0, 4	5/7
К2
К3
К4
К5

4. Строится матрица диссонансов влияния концепта на концепт.

 

	К1	К2	К3	К4	К5
К1				0, 8	2/7
К2
К3
К4
К5

5. Строится матрица воздействия концепта на концепт.

 

	К1	К2	К3	К4	К5
К1		0, 4	0, 6	-0, 5	0, 48
К2					-0, 2
К3					0, 8
К4					-0, 2
К5

 

 

6. Расчет системных показателей.

· Консонанс влияния концепта на систему (n = 5):

 

 

· Диссонанс влияния концепта на систему (n = 5):

 

 

· Совокупное воздействие концепта на систему (n = 5):

 

 

 

· Полученные результаты сводятся в таблицу:

Консонанс
К1
К2

· Показатели, характеризующие влияние системы на концепт:

 

Анализ когнитивной карты проводится следующим образом: значения консонансов и диссонансов позволяют оценить сбалансированность построенной когнитивной карты.

Если некоторый консонанс обладает большим диссонансом, то он либо исключается и когнитивной карты, либо экспертам предлагают пересмотреть значение связи.

Особое внимание уделяется взаимному влиянию.

Выявив концепты, которые оказывают наибольшее влияние на систему либо целевые концепты могут выработать соответствующее управление решения.

 

Т - терн

Имея обобщенную нечеткую когнитивную карту и задавая конкретные состояния концептов (из тернов), можно получить нечеткую когнитивную карту как частный случай, таким образом рассматривать различные ситуации.

На основе обобщенной нечеткой когнитивной карты можно построить систему нечетких продукционных правил (СНПП). СНПП с помощью процедуры нечеткого логического вывода позволит определить зависимость входных характеристик от выходных.

 

Постановка задачи

Алгоритм задачи основан на мере близости. Вводится расстояние в пространстве признаков, тогда если существует , то объект , если расстояние .

В качестве L рассматривается эвклидого расстояние классификации объекта, то каждый элемент принадлежит определенному классу.

Расстояние:

,

где - количество элементов в j классе;

- эвклидого расстояние.

 

 

Метод дробящихся этапов

На первом этапе в обучающей выборке «охватывают» все объекты каждого класса гиперсферой возможно меньшего радиуса.

Строится эталон каждого класса. Вычисляется расстояние от эталона до всех объектов данного класса. Выбирается максимальное из этих расстояний . Строится гиперсфера с центром в эталоне и радиусом, охватывающая все объекты данного класса .

Эта процедура проводится для всех классов. Если гиперсферы различным образом пересекаются и в области перекрытия оказываются объекты более чем одного образа, то для них строится гиперсфера второго уровня. Затем третьего и так далее до тех пор, пока область окажется не пересекающейся, либо в области пересечения будут присутствовать объекты только одного образа.

Распознавание идет следующим образом: определяется место каждого объекта относительно гиперсфер первого уровня. При попадании объекта в гиперсферу соответствующего одному и только одному гиперобразу, процедура распознавания прекращается.

Если объект оказывается в области перекрытия гиперсферы, которая при обучении содержала объекты более чем одного образа, то осуществляется переход к гиперсферам второго уровня, и проводятся те же действия, что и для гиперсфер первого уровня.

Процесс продолжается до тех пор, пока принадлежность неизвестного объекта к тому или иному образу определяется однозначно.

Следует отметить, что неизвестный объект может не попасть ни в одну из гиперсфер какого-либо уровня.

Необходима корректировка решающих правил. Данный метод по сравнению с предыдущим представляется более точным, но трудоемким ввиду большого числа определенных и использованных эталонов. Возможность в применении в задаче динамического распознавания, что и у метода построения эталонов.

 

Метод ближайших соседей

Обучение в данном случае состоит в запоминании всех объектов в обучающей выборке. Если системе предъявлен нераспознаваемый объект Х*, то она относит этот объект тому образу, чей «представитель» оказался ближе всех к Х*. Это правило называется «правилом ближайшего соседа».

Правило состоит в том, что строится гиперсфера объемом V с центром Х*. Распознавание осуществляется по большому числу «представителей» какого-либо образа оказавшегося внутри гиперсферы.

Метод ближайшего соседа имеет недостаток, так как необходимо хранить всю обучающую выборку. Другим недостатком является большая величина ошибки, при x* близкой к границе X, то есть на границе сферы.

Использование данного метода в задаче динамического распознавания представляется проблематичным.

Метод потенциальных функций

 

Название метода связано с аналогией: пусть распознается два образа. Объекты являются точками некоторого пространства X. В эти точки будем помещать заряды , если объект принадлежит образу и образу . Функцию, описывающую распределение электростатического потенциала в таком поле можно использовать для распознавания (построение решающего правила). Если потенциал в точке X создаваемый единичным зарядом находится в , равен K (X; ), то общий потенциал в точке X созданный зарядами равен:

,

где K (X; ) – потенциальная функция.

Данный метод иллюстрирует рисунок:

 

 

- некоторые образы;

------ - потенциальная функция, порождаемая одиночным объектом;

____ - суммарная потенциальная функция, порождаемая обучающей последовательностью.

Чаще всего в виде потенциальной функции используется функция, имеющая максимум при образе и монотонно убывающая до нуля. При норме стремящейся к бесконечности:

При предъявлении новых объектов рассматривается новый потенциал.

Если g(x*) > 0, то объект относится к классу 1.

Если g(x*) < 0, то объект относится к классу 2.

Недостаток: сложность реализации при наличии большого количества классов.

 

Предмет теории игр

Основные понятия

Во многих задачах приходится сталкиваться с ситуацией принятия решения в условиях неопределенности.

Неопределенности могут быть как результатом выполнение операции, так и сознательных действий противника конкурента.

При решении практических задач приходится анализировать такие ситуации, когда результат какого-либо мероприятия зависит от того, какие действия предпримет соперник. Такие ситуации называются конфликтными.

Теория игр – это математический аппарат конфликтных ситуаций, позволяющий выбрать рекомендации по рациональному действию участников конфликта.

Игрой называется модель конфликтных ситуаций с использованием математических правил. Отличие от реальной конфликтной ситуации в том, что игра ведется по определенным правилам. Примерами таких игр могут быть: шашки, шахматы и др.

Игра с нулевой суммой называется игра, если один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой.

Правило игры – это система условий регламентируемая:

· возможные варианты действий игроков;

· объем информации каждой стороны о поведение другой;

· результат игры, к которой приводит каждая данная совокупность ходов.

Обозначим a выигрыш игрока A, и b выигрыш игрока B. В дальнейшем будем себя ассоциировать игроком A.

Так как игра рассматривается с нулевой суммой, то a=-b. B – противник (конкурент).

Ходы бывают случайные и личные.

Случайным называют ход, когда выбор из ряда возможностей осуществляется не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, карты).

Стратегией игры называется совокупность правил, определенных выбором варианта действий, при каждом личном исходе игрока в зависимости от ситуации сложившейся в ходе игры.

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, в противном случае игра называется бесконечной.

Оптимальной называется стратегия, если она при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.

Основой при выборе стратегии является предположение, что противник, по меньшей мере, также разумен, как и мы, сами и делает все возможное для того, чтобы помешать «нам» добиться своей цели.

Поэтому в теории игр не учитываются просчеты игроков, элементы риска и азарта.

 

Платежная матрица

Рассмотрим конечную игру, в которой игрок A имеет m-стратегий, а игрок B-конкурент n-стратегий. Такая игра называется m x n игрой. Стратегии: A1, A2, …, Am; B1, B2, …, Bn – конкурент.

Предположим, что «мы» выбрали стратегию Ai, а конкурент стратегию Bj. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий Ai и Bj однозначно определяют исход игры: «нам» выигрыш , которое может быть как больше нуля, так и меньше нуля.

Если игра состоит как из личных, так и из случайных ходов, то выигрыш при паре Ai и Bj – есть величина случайная, зависящая от исходов всех случайных ходов. В этом случае оценка выигрыша является математическим ожиданием случайного выигрыша.

Предположим, что нам известно при каждой стратегии. Эти значения можно записать в виде таблицы (матрицы):

 

 

Ai/Bj	B1	B2	…	Bn
A1			…
A2			…
…	…	…	…	…	…
Am			…

 

Такая таблица называется платежной матрицей или матрицей игры.

 

Игра 2 X 2

Эта игра является наиболее простым случаем конечной игры где у каждого игрока две стратегии.

Рассмотрим игру 2 X 2 с матрицей:

Ai/Bj	B1	B2
A1
A2

 

Здесь могут встретиться два случая:

1. Игра имеет седловую точку.

2. Игра не имеет седловой точки.

В первом случае решение очевидно - это пара стратегий пересекающихся в столбцах.

Рассмотрим второй случай, при этом нижняя цена игры не равна верхней ( не равна ).

Найдем это решение, то есть пару оптимальных смешенных стратегий и соответствующих для его конкурента .

С начало определим оптимальную смешенную стратегию . Согласно теореме об активных стратегиях, если мы будем придерживаться этой стратегии, то независимо от образа действий противника (если он только не выходит за пределы своих активных стратегий) выигрыш .

В игре 2 X 2 обе стратегии противника являются активными (иначе игра имела седловую точку). Если мы придерживаемся своей оптимальной стратегии , то противник, не меняя выигрыша, может применить любую из своих чистых стратегий:

 

- цена игры, .

 

Аналогично находится оптимальная стратегия конкурента из уравнения:

.

 

Основные процедуры системного анализа

Три основные процедуры:

· декомпозиция;

· анализ;

· синтез.

Декомпозиция – это разбиение системы на подсистемы. Часто декомпозицию рассматривают как первый этап процедуры анализа.

Анализ – включает оценивание преобразований, которые реализуют подсистемы. Часто главной задачей анализа является оценка преобразование системы в целом, то есть определяется алгоритм преобразования входных переменных в выходные. В этом случае система рассматривается как единое целое, то есть производится композиция, либо агрегация подсистемы.

Синтез – это процедура противоположная задачи анализа. По известному закону преобразования необходимо построить такую систему, которая реализует данное преобразование. При этом должен быть задан класс элементов, из которых строится система.

Каждая процедура включает более мелкие процедуры. Например, декомпозиция включает наблюдение и оценивание входных и выходных переменных. Анализ включает процедуру оценивания эффективности исследуемых алгоритмов преобразования.

 

1234567Следующая ⇒

Поделиться: