Статистический метод исследования

Статистические закономерности – количественные закономерности, устанавливаемые статистическим методом, в котором рассматриваются лишь средние значения величин, характеризующих данную совокупность молекул (рассматривается конкретная молекулярная модель, и к ней применяются математические методы статистики, основанные на теории вероятностей).

Вероятность термодинамическая – число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической физической системы (предел, к которому стремится относительная частота появления некоторого события при достаточно большом, стремящемся к бесконечности числе повторений опыта при неизменных внешних условиях):

w = n/N,

где N – число опытов;

n – число раз получено определенное событие.

Флуктуации – случайные отклонения физических величин от их среднего значения.

Средняя квадратичная скорость молекул (для газа массой m, находящегося в состоянии равновесия, при T = const) остаётся постоянной:

или ,

где N_i – число молекул, обладающих скоростью v_i;

N – число всех молекул.

Наиболее вероятная скорость – скорость движения молекул, которая характеризует положение максимума функции распределения Максвелла:

Средняя арифметическая скорость

Относительная скорость применяется для расчета числа молекул, движущихся со скоростями в интервале от v до v + dv:

u = v/v_в.

Закон распределения молекул идеального газа по скоростям в стационарном состоянии (распределение Максвелла):

где dn_v – среднее число молекул в единице объема со скоростями в интервале от v до v + dv;

n – число молекул в единице объема.

Функция распределения (доля молекул от их общего числа отнесена к некоторому интервалу скоростей):

или

где dn_v/ndv – функция распределения.

Свободные пробеги молекул – прямолинейные участки траектории, проходимые молекулой между двумя последовательными соударениями.

Средняя длина свободного пробега молекулы – среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя соударениями:

где Z – число соударений;

< v> – средняя скорость молекулы;

k – постоянная Больцмана;

< d> – диаметр молекулы;

p – давление;

T – абсолютная температура.

Среднее число соударений < z> – число соударений молекул, численно равное отношению средней скорости движения молекул < v> к средней длине свободного пробега:

, или

Эффективный диаметр молекулы d – минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры 2–х молекул.

Эффективное сечение – величина равная

s = pd².

Барометрическая формула показывает, что давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ и чем ниже его температура:

Закон распределения молекул газа по высоте в поле сил тяготения (распределение Больцмана):

, ,

где n_o – число молекул в единице объема в том месте, где потенциальная энергия молекул равна нулю;

n – число молекул в единице объема в тех точках пространства, где потенциальная энергия молекул равна W_p.

Распределение Максвелла–Больцмана – благодаря этому распределению можно определить долю молекул идеального газа, имеющих скорости в интервале от v до v + dv и обладающих потенциалом c = gh во внешнем силовом поле:

,

где v_в – наиболее вероятная скорость, значению которой соответствует максимум кривой Максвелла.

Зависимость плотности газа от высоты:

; ,

где m_o – масса одной молекулы.

Основы термодинамики

Первое начало термодинамики – это закон сохранения и превращения энергии, которым сопровождаются термодинамические процессы. Оно утверждает: «Изменение внутренней энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно сумме механических эквивалентов всех внешних воздействий».

Математически первое начало термодинамики можно записать так:

dU = dQ – dA + dM,

где dU – изменение внутренней энергии системы;

dQ – элементарное количество тепла, подводимого к системе;

dA – элементарная работа, совершаемая системой;

dM – другие виды элементарных энергий.

Если dM = 0, то

dU = dQ – dA или dQ = dU + dA.

Изотермический процесс – процесс, протекающий при постоянной температуре (T = const).

Первое начало термодинамики для изотермического процесса: таккак

dU = C_VdT = 0, то U = const, а dQ = dU + dA = dA,

т.е. все подводимое к системе тепло идет на совершение этой системой работы.

Работа, совершаемая идеальным газом при изотермическом процессе:

а) для моля или киломоля идеального газа:

,

или

;

б) для произвольной массы газа:

,

или

.

Изобарический процесс – процесс, протекающий при постоянном давлении (p = const).

Первое начало термодинамики для изобарического процесса:

dQ_p = dU + dA,

т.е. подводимое к системе тепло идет как на изменение ее внутренней энергии, так и на совершение этой системой работы. При этом:

а) для моля или киломоля идеального газа:

dQ_p = C_pdT, dU = C_VdT, dA = pdV = RdT;

б) для произвольной массы газа:

dQ_p = mC_pdT/μ, dU = mC_VdT/μ, dA = mpdV/μ = mRdT/μ.

Доля подводимой к системе энергии, которая идет на совершение работы:

dA = R/C_p× dQ_p = (1 – 1/g) dQ_p = dQ_p× (g – 1)/g.

Доля подводимой к системе энергии, которая идет на изменение внутренней энергии системы:

а) для моля или киломоля идеального газа:

dU = C_VdT = dQ_p C_V/C_p = dQ_p/g;

б) для произвольной массы газа:

dU = mC_V× dT/μ = m× dQ_pC_V/μ C_p = mdQ_p/μ g,

где g = C_p/C_V.

Изохорический процесс – процесс, протекающий при постоянном объеме (V = const).

Первое начало термодинамики для изохорического процесса:

Так как dA = p× dV = 0,
то dQ_V = dU + dA = dU,

т.е. при изохорическом процессе все подводимое к системе тепло идет на изменение ее внутренней энергии. При этом

dQ_V = C_VdT,

следовательно,

dU = C_VdT, или DU = C_vDT.

Изменение внутренней энергии системы пропорционально изменению ее температуры.

Адиабатические или адиабатные процессы – процессы, протекающие без теплообмена или почти без теплообмена с окружающей средой. Примером адиабатического процесса может служить быстро протекающий процесс сжатия или расширения газа.

Первое начало термодинамики для адиабатического процесса: так как dQ = 0, то

dU + dA = 0, a dA = –dU,

т.е. работа, совершаемая системой при адиабатическом процессе, сопровождается уменьшением ее внутренней энергии.

Связь между параметрами состояния системы при адиатическом процессе (уравнения Пуассона):

Работа, совершаемая произвольной массой m идеального газа при адиабатическом расширении:

.

Политропическим называют процесс, при котором p и V связаны следующими соотношениями:

где n – показатель политропы, принимающий любые значения от –¥ до +¥.

Работа, совершаемая идеальным газом при политропическом процессе:

Обратимый процесс – это процесс, который протекает так, что после его окончания систему можно вернуть в первоначальное состояние, причем никаких изменений в окружающей систему среде не произойдет.

Необратимый процесс – это процесс, протекающий так, что после его окончания систему нельзя вернуть в первоначальное состояние без изменений в окружающей среде.

Круговой процесс (цикл) – это такая последовательность превращений, в результате которой система, выйдя из какого-либо исходного состояния, возвращается в него вновь.

Любой круговой процесс состоит из процессов расширения и сжатия. Процесс расширения сопровождается работой, совершаемой системой, а процесс сжатия – работой, совершаемой над системой внешними силами. Разность этих работ равна работе данного цикла.

Если работа при расширении больше, чем работа при сжатии, то такой процесс (цикл) называется прямым. В противном случае – обратным.

Коэффициент полезного действия при круговых процессах (характеристика эффективности цикла) – физическая величина, равная отношению работы цикла к работе, которую можно было бы совершить при превращении в нее всего количества тепла, подведенного к системе:

Цикл Карно состоит из двух изотермических и двух адиабатических процессов.

Коэффициент полезного действия цикла Карно (КПД)

КПД цикла Карно не зависит от природы вещества, а зависит лишь от температур, при которых теплота сообщается системе и отбирается от нее.

Коэффициент полезного действия холодильной машины (холодильника)

Примечание. Кроме цикла Карно в технической термодинамике применяются цикл Отто, состоящий из двух адиабатических и двух изохорических процессов, и цикл Дизеля, состоящий из двух адиабатических, изохорического и изобарического процессов.

Энтропия – физическая величина, элементарное изменение которой при переходе системы из одного состояния в другое равно полученному или отданному количеству теплоты, деленному на температуру, при которой произошел этот процесс:

.

Связь энтропии системы с термодинамической вероятностью (соотношение Больцмана):

S = k× lnw,

где k – постоянная Больцмана.

Изменение энтропии системы при переходе из одного состояния в другое:

,

или

.

Изменение энтропии системы при изотермическом процессе:

.

Изменение энтропии системы при изобарическом процессе:

.

Изменение энтропии системы при изохорическом процессе:

.

Изменение энтропии системы при адиабатическом процессе:

DS = 0, .

Изменение энтропии системы, совершающей цикл Карно:

,

где DS_р – изменение энтропии рабочего тела;

DS_н, DS_х – изменение энтропии нагревателя и холодильника;

DS_пр – изменение энтропии «потребителя работы».

В случае совершения системой обратимого цикла Карно энтропия замкнутой системы не изменяется:

DS_обр = 0, или S_обр = const.

В случае совершения системой необратимого цикла Карно энтропия замкнутой системы возрастает:

DS > 0; ; .

Для произвольных процессов, происходящих в замкнутой системе, энтропия системы для любых, происходящих в ней процессах, не может убывать:

DS ³ 0 или ,

где знак «равенства» справедлив для обратимых процессов, а знак «неравенства» – для необратимых.

Второе начало термодинамики: «В изолированной системе возможны только такие процессы, при которых энтропия системы возрастает или невозможен процесс, единственным результатом которого является превращение в работу теплоты, полученной от нагревателя»:

.

Термодинамические потенциалы – определенные функции объема V, давления p, температуры T, энтропии S, числа частиц системы N и других макроскопических параметров x, характеризующих состояние термодинамической системы:

а) внутренняя энергия – энергия системы, зависящая от ее внутреннего состояния. Она является однозначной функцией независимых переменных, определяющих это состояние, например температуры T и объема V (или давления p):

U = U (S, V, N, x).

Изменение внутренней энергии системы DU определяется лишь ее значениями в начальном и конечном состояниях:

;

б) энтальпия (теплосодержание) характеризует состояние макроскопической системы в термодинамическом равновесии при выборе в качестве основных независимых переменных энтропии S и давления p:

H = H (S, p, N, x).

Энтальпия системы равна сумме энтальпий составляющих ее частей.

Связь энтальпии с внутренней энергией U системы:

,

где V – объем системы.

Полный дифференциал энтальпии (при неизменных N и x) имеет вид

.

Связь энтальпии с температурой, объемом и теплоемкостью (при постоянном давлении) системы:

; ; C_p = (dH/dt).

Изменение энтальпии (DH) равно количеству теплоты, которое сообщают системе или отводят от нее при постоянном давлении, поэтому значения H характеризуют тепловые эффекты фазовых переходов (плавления, кипения и т. д.), химических реакций и других процессов, протекающих при постоянном давлении;

в) свободная энергия – одно из названий изохорно-изотермического термодинамического потенциала или Гельмгольца энергии. Представляет собой ту часть внутренней энергии системы, которая превращается во внешнюю работу при обратимых изотермических процессах F = F(V, T, N, x):

,

где TS – связанная энергия.

Связанная энергия представляет собой ту часть внутренней энергии, которая не может быть передана в виде работы при изотермическом процессе:

TS = U – F.

Изменение (уменьшение) свободной энергии при необратимых изотермических процессах определяет наибольшую величину работы, которую может совершить система:

; ;

г) энергия Гиббса – изобарно-изотермический потенциал, свободная энтальпия, характеристическая функция термодинамической системы при независимых параметрах p, T и N – G. В изотермически равновесном процессе, при постоянном давлении, убыль энергии Гиббса системы равна полной работе системы за вычетом работы против внешнего давления (т.е. равна максимальному значению «полезной» работы):

G = G (p, T, N, x); .

Связь энергии Гиббса со свободной энергией:

;

д) химический потенциал – физическая величина, равная энергии Гиббса отдельно взятой частицы.

Третье начало термодинамики (теорема Нернста): «Изменение энтропии системы (DS) при любых обратимых изотермических процессах, совершаемых между двумя равновесными состояниями при температурах, приближающихся к абсолютному нулю, стремится к нулю. При помощи последовательности термодинамических процессов нельзя достичь температуры, равной абсолютному нулю»:

.

Термодинамика неравновесных процессов – общая теория макроскопического описания неравновесных процессов. Основная задача термодинамики неравновесных процессов – количественное изучение этих процессов для состояний, не сильно отличающихся от равновесного состояния.

Закон сохранения массы:

,

где r – плотность многокомпонентной системы;

v – гидродинамическая скорость среды (средняя скорость переноса массы), зависящая от координат и времени;

r v – поток массы.

Закон сохранения массы для концентрации какого-либо компонента :

,

где c_k – концентрация компонента;

r_k – плотность компонента;

r – плотность среды;

J_k = r_k(v_k – v) – диффузионный поток;

v_k – гидродинамическая скорость (средняя скорость переноса массы) компонента.

Закон сохранения импульса: изменение импульса элементарного объема может происходить за счет сил, вызванных градиентом внутренних напряжений в среде P_{a, b}, и внешних сил F _k.

Закон сохранения энергии представляет собой первое начало термодинамики в термодинамике неравновесных процессов.

Уравнение баланса энтропии: «В термодинамике неравновесных процессов принимается, что энтропия элементарного объема является такой же функцией от внутренней энергии, удельного объема и концентрации, как и в состоянии полного равновесия»:

,

где s – скорость возрастания энтропии;

r – плотность вещества;

s – энтропия элементарного объема (локальная энтропия);

J_s – плотность потока энтропии.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: