Основные характеристики нейтронных полей

Из этого определения следует, что размерность плотности нейтронов - нейтр./см³, или формально - см^-3.

Плотность нейтронов является сугубо статической характеристикой: в определении нет и намёка на то, что нейтроны движутся. В нём внимание сосредоточено только на факте присутствия в данный момент времени в единичном объёме среды определенного числа нейтронов, фиксации их в этом единичном объёме подобно тому, как моментальная фотография фиксирует положение множества движущихся объектов, попадающих в поле зрения объектива, не давая при этом представления ни о характере, ни о нап­равлении, ни о скорости их движения.

Благостная простота этого определения, давая легко воспринимаемое представление о плотности нейтронов, имеет один изъян: представляя факт присутствия n нейтронов в единичном объёме среды, оно не даёт представления о том, равномерно или неравномерно размещены эти нейтроны в этом объёме. По существу, это простое выражение является определением средней по объёму величины плотности нейтронов. Для математического описания больших количеств нейтронов в больших объёмах среды с помощью непрерывных функций необходимо иметь строгое определение, охватывающее понятие и локальной плотности нейтронов.

Вот почему Ядерный Стандарт рекомендует более общее определение:

Плотность нейтронов - это отношение числа нейтронов, находящихся в данный момент времени в объёме элементарной сферы, к величине объёма этой сферы.

Элементарный объём - это объём, величина которого может быть сколь угодно малой, поэтому (в соответствии с понятием математики) оправданным является его обозначение как dV. Значит, если в объёме dV в данный момент времени содержится dN нейтронов, то локальная плотность нейтронов в этом элементарном объёме (практически - " в точке", так как в пределе элементарный объём стягивается в точку) будет:

n = dN/dV. (2.3.1)

Стандартное определение плотности нейтронов, преодолевая отмеченный изъян простейшего определения, тем самым делает в нашем представлении величину n (изначально дискретную) величиной непрерывной, меняющейся в объёме среды плавно, " от точки к точке" , допуская при этом, чтоnможет принимать не только целые значения, но и дробно-долевые, например, n = 0.0784 нейтр/см³ или n = 3.496 нейтр/см³.

А это удобно тем, что для математического описания нейтронных полей становится возможным использовать компактный аналитический аппарат непрерывных функций, который во всех отношениях удобнее громоздких дискретных описаний.

2.3.2. Скорость нейтронов (v) или их кинетическая энергия (Е). В ядерном реакторе функционируют свободные нейтроны широкого диапазона кинетических энергий - от 10^-4 эВ до десятков МэВ. Для удобства их различий они классифицируются на:

- быстрые нейтроны (с кинетическими энергиями выше 0.1 МэВ);

- промежуточные нейтроны (с энергиями 0.625эВ < E < 0.1МэВ);

- медленные нейтроны (с энергиями ниже 0.625 эВ).

Необходимость такой классификации обусловлена тем, что нейтроны различных кинетических энергий обладают различной склонностью к вступлению в различные нейтронные реакции с ядрами одних веществ

*) По этой причине, говоря о плотности нейтронов, следует всегда указывать, о нейтронах какой энергии идёт речь. Математическая форма записи - n(E) - полностью отвечает этому: указывается и величина плотности нейтронов, и величина их кинетической энер­гии. Ибо, поскольку в рассматриваемом единичном объёме, кроме нейтронов с энергией Е, обязательно есть ещё нейтроны самых различных энергий очень широкого диапазона, суммарная (интегральная) плотность нейтронов всех возможных энергий будет:

(2.3.2)

*) Нижний предел энергии промежуточных нейтронов избран таким потому, что Е = 0.625 эВ – энергия гигантского резонанса кадмия. Пластины кадмия малой толщины практически пропускают нейтроны с Е > 0.625 эВ и практически полностью задерживают (поглощают) нейтроны с Е < 0.625 эВ. То есть такая градация позволяет экспериментально различать медленные и промежуточные нейтроны.

Особую часть медленных нейтронов составляют тепловые нейтроны - то есть нейтроны, находящиеся в кинетическом равновесии с ядрами среды, в которой они движутся. Поскольку энергетическое распределение молекул (а, следовательно, и атомов, и ядер атомов) в их тепловом движении имеет вид спектра Л.Больцмана

N(E)dE = N_о ^.C ^.E exp(-E / kT)dE,

- аналогичное распределение должны иметь в непоглощающей среде и тепловые нейтроны: раз они находятся в кинетическом равновесии с ядра­ми атомов среды, то каждой группе ядер, имеющих определенную энергию Е, должна соответствовать пропорциональная по численности группа нейтронов той же энергии. Поэтому энергетический спектр тепловых нейтронов – спектр Максвелла (Maxwell) - в идеальной (не поглощающей тепловые нейтроны) среде формально описывается тем же выражением:

n(E)dE = n_o C E exp(-E / kT)dE, (2.3.3)

где: n(E) - плотность тепловых нейтронов, имеющих энергии в элементарном интервале dE вблизи значения Е;

n_o - интегральная плотность тепловых нейтронов всех возможных энергий в среде с термодинамической температурой Т;

k = 8.62 ^.10^-5 эВ/К - постоянная Больцмана;

С - постоянный сомножитель нормировки.

В реальных (поглощающих тепловые нейтроны) средах максвелловское распределение тепловых нейтронов по энергиям, конечно, нарушается. Однако, математическое удобство этого выражения настолько велико, что условились считать, что и в поглощающей тепловые нейтроны среде энергетическое распределение тепловых нейтронов сохраняет ту же гауссову форму, что и в непоглощающей среде:

n(E)dE = n_o C E exp(-E / kT_н)dE, (2.3.4)

с той лишь разницей, что в показателе экспоненциала стоит не термодинамическая температура среды Т, а так называемая температура нейтронов Т_н.

Максвелловский спектр тепловых нейтронов (рис.2.9) характеризуется следующими присущими ему энергиями тепловых нейтронов:

а) Наиболее вероятной энергией Е_нв = kT_н, соответствующей максимуму распределения тепловых нейтронов по энергиям при темпе­ратуре нейтронов Т_н. Это означает, что тепловых нейтронов с кинетической энергией Е_нв в среде больше, чем тепловых нейтронов любых других энергий (до 36% от общего числа тепловых нейтронов).

б) Средней энергией тепловых нейтронов:

(2.3.5)

Подстановка в (2.3.5) выражения (2.3.4) приводит к величине:

E_ср = 4kT_н / p » 1.273 kT_н = 1.273 Е_нв (2.3.6)

В частности при температуре нейтронов Т_н0 = 293К (или 20^оС), называемой стандартной температурой , наиболее вероятная и средняя энергии тепло­вых нейтронов соответственно равны:

E_нв = 0.0253 эВ Е_ср = 0.0322 эВ

Заметим одно счастливое свойство максвелловского спектра:

Отношение средней и наиболее вероятной энергий нейтронов в спектре Максвелла при постоянной температуре нейтронов есть величина постоянная, равная Е_ср/Е_нв = 4/ p » 1.273 .

Cледовательно, отношение скоростей нейтронов, соответствующих средней и наиболее вероятной энергиям тепловых нейтронов:

/ (2.3.7)

- то есть также является постоянной величиной. Запомним это. Понятие средней энергии тепловых нейтронов понадобилось нам для того, чтобы поведение и взаимодействия всей совокупности различных по энергиям тепловых нейтронов заменить эквивалентным их взаимодействием с ядрами среды так, словно все они одинаковы по энергиям, а значит - и по своим свойствам. Суммирование кинетической энергии всех тепловых нейтронов и раздел этой суммы поровну между всеми тепловыми нейтронами - см. формулу (2.3.5) - как раз и приводит к понятию " среднего теплового нейтрона", подобно понятию " среднего нейтрона деления", с которым мы уже имели дело, говоря о спектре Уатта.

Итак, спектр нейтронов, то есть их энергетическое распределение в среде, является второй характеристикой нейтронного поля.

К сожалению, теория реакторов до сих пор не располагает компактным аналитическим выражением для спектра всех нейтронов в реакторе, и поэтому задачу по выяс-

0.35

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0 1000 2000 3000 4000 5000 v, м/с

Рис. 2.9. Скоростной спектр тепловых нейтронов – спектр Максвелла и гипербола «const / v»,

по которой скользит максимум спектра с повышением температуры тепловых нейтронов

нению реакторного спектра приходится решать путём громоздких вычислений с помощью ЭВМ. Частные же задачи теории решаются на базе трёх энергетических спектров: спектр нейтронов деления (Уатта); спектр тепловых нейтронов (Максвелла) и спектр замедляющихся нейтронов (Ферми), с которым мы познакомимся позже.

2.3.3. Плотность потока нейтронов. Третья из основных характеристик нейтронных полей - плотность потока нейтронов (Ф) - является попросту произведением первых двух: плотности нейтронов на их скорость:

Ф = n ^. v (2.3.8)

По физическому смыслу эта величина - суммарный секундный путь всех нейтронов в 1 см³ среды. Однако размерность плотности потока - нейтр/см² с - может привести к путанице в попытках обна­ружить физический смысл этой величины в самой размерности: сразу воображается некая плоская площадка размером в 1 см², через которую ежесекундно проходит определенное число нейтронов. Такому представлению способствует прошлый опыт изучения сходным образом звучащих величин иной физической природы: плотности потока жидкости (из гидродинамики), плотности магнитного потока и плотности потока электронов в проводнике (из электродинамики), плотности теплового потока на теплоотдающей поверхности (из теплотехники) и т.п. Аналогия плотности потока нейтронов с этими величинами (увы! ) несостоятельна, так как эти величины характеризуют направленный перенос энергии, а нейтроны в единичном объёме среды движутся не направленно, а хаотично по всем возможным направлениям. Поэтому Ф, скорее, показывает «степень секундной исхлёстанности» единичного объёма среды траекториями попадающих в него со всех направлений нейтронов.

На первый взгляд эта характеристика вообще кажется лишней, так как она - простая комбинация двух других характеристик нейтронных полей - плотности (n) и скорости (v) нейтронов. Однако, простая мысль о том, что секундное количество актов любой нейтронной реакции в 1 см³ среды должно быть прямо пропорционально величинам и плотности нейтронов (n), и скорости их переноса (v), а, следовательно, - величине плотности потока нейтронов (Ф), даёт этой характеристике право на существование. Действительно, чем больше плотность нейтронов n и чем больше скорость их перемещения v, тем больше шансов имеют все эти нейтроны в 1 см³ среды провзаимодействовать с ядрами среды в течение 1 с и вызвать те или иные нейтронные реакции.

В этих рассуждениях, как видим, не содержится ни малейшего намека на привязку к какому-либо конкретному направлению движения нейтронов в единичном объёме среды. Но зададим себе вопрос: а важно ли вообще направление, по которому нейтрон перед взаимодействием приближается к ядру, если разговор в конечном счёте сводится к ответу на другой вопрос: произойдет ядерное взаимодействие или не произойдет? - Ведь нас, в конце концов, интересует секундное количество конкретных взаимодействий каждого вида в единичном объёме среды. И если нам не известно о какой-либо анизотропии свойств ядер по отношению к взаимодействующим с ними с разных направлений нейтронам, то проще предположить, что ядру безразлично, ударит ли его нейтрон " в лоб" или " по затылку", - результат должен быть одинаковым! А это значит, что для удовлетворения интереса, касающегося только скоростей нейтронных реакций, намдостаточно скалярной характеристики нейтронного поля (каковой Ф и является).

Но отметим всё-таки, что, представляя ядро в виде сферы, даже предполагая изотропность действия ядерных сил в пределах этой сферы, говоря о вероятности взаимодействия нейтрона с ядром, невозможно обойтись в рассуждениях без величины поверхности этой сферы: ведь для нейтрон­ной реакции необходимо, чтобы приближающийся извне нейтрон пересек поверхность этой сферы. И чем больше величина этой поверхности, тем больше ограничивающий её объём, тем больше нейтронов имеют возможность попасть в этот объём, инициируя ту или иную нейтронную реакцию.

Поэтому вероятность взаимодействия ядра с нейтронами, пересекающими извне поверхность сферы действия ядерных сил ядра, должна быть пропорциональна плотности потока нейтронов вблизи ядра, подразумевая под последней отношение числа падающих за 1 с на поверхность сферы нейтронов к величине поверхности этой сферы. Та же размерность - нейтр/см²с; та же скалярность величины (ведь поверхность сферы в целом не направлена никуда и в то же время направлена куда угодно).

А теперь сравним это определение со строгим определением плотности потока нейтронов, которое дает Стандарт: