Описание пассивного четырёхполюсника при помощи дифференциального уравнения.

 

На представленном рисунке электрической цепочки обозначим протекающие токи рис.2.

Для описания данной схемы нам понадобятся следующие уравнения из курса электротехники.

Изменение напряжение на конденсаторе

(1)

Изменение силы тока протекающего через конденсатор

(2)

Изменение напряжение на катушке индуктивности

(3)

Изменение силы тока протекающего через катушку индуктивности

(4)

Напряжение на сопротивлении

(5)

Сила тока протекающего через сопротивление

(6)

Далее используя данные выражения, закон Ома, а так же закон Кирхгофа записываем выражения для получения дифференциального уравнения, которое будет описывать представленную цепочку.

Для данной схемы, справедливо следующее выражение: входное напряжение равно сумме напряжений на сопротивлении и напряжении на индуктивности , с учётом того что напряжение на конденсаторе равно напряжению на индуктивности и по условиям задачи равно еще и выходному напряжению получим следующее выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

Получение передаточной функции пассивного четырёхполюсника по каналу «Вход» - «Выход» и нахождение величины выходного напряжения.

 

 

 

 

Находим корни знаменателя

 

В зависимости от корней знаменателя полученная дробь может быть разложена по-разному. Может быть три варианта корней:

· Действительные разные корни

· Кратные действительные корни

· Комплексные корни

 

В нашем случае корни комплексные, поэтому наша дробь запишется в следующем виде

 

 

 

 

Таким образом, мы нашли значение изображения для функции оригинала .

 

Далее необходимо провести обратное преобразование Лапласса для функции изображения

 

По таблице оригиналов и изображений смотрим наиболее подходящую функцию

В нашем случае будем использовать следующее соотношение:

 

Функции оригиналу соответствует функция изображение

 

Преобразуем нашу функцию к табличному виду

 

 

В результате получим значение .

 

График переходного процесса приведен на рис.3

 

 

Получение частотных характеристик.

Частотные характеристики могут быть получены из передаточной функции путем замены комплексной переменной на

Воспользовавшись выражением , а так же правилом деления двух комплексных чисел преобразуем получившееся выражение и выделим действительную и мнимую части

=

 

 

Таким образом мы получили функцию , которая представляет собой амплитудно-фазовуя частотную характеристику (АФЧХ).

Далее выделяем из неё действительную частотную характеристику ДЧХ:

 

и мнимую частотную харакеристику (МЧХ)

 

 

По известным ДЧХ и МЧХ находим амплитудно-частотную характеристику АЧХ и фазо-частотную характеристику (ФЧХ)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты входного гармонического сигнала

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) — зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами от частоты сигнала, функция, выражающая (описывающая) эту зависимость, также — график этой функции.

АЧХ:

 

ФЧХ:

 

 

Далее построим логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику (ЛАФЧХ, в иностранной литературе часто называют диаграммой Боде)- представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе.

ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики(ЛАЧХ) и логарифмической фазо-частотной характеристики(ЛФЧХ), которые обычно располагают друг под другом.

ЛАЧХ — это зависимость модуля коэффициента усиления устройства, от частоты в логарифмическом масштабе.

· По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, единица измерения — безразмерная величина

· По оси ординат откладывается амплитуда выходного сигнала в логарифмических безразмерных величинах: A_log(w)

ЛФЧХ — это зависимость фазы выходного сигнала от частоты в полулогарифмическом масштабе:

· по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе

· по оси ординат откладывается выходная фаза в угловых градусах или радианах.

 

 

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: