Напряженное и деформированное состояние

Деформации при объемном напряженном состоянии.

Обобщенный закон Гука (закон Гука при объемном напряжении):

e₁, e₂, e₃ — относительные удлинения в главных направлениях (главные удлинения). Если какие-либо из напряжений s_i будут сжимающими, то их необходимо подставлять в формулы со знаком минус.

Относительная объемная деформация:

 

Изменение объема не зависит от соотношения между главными напряжениями, а зависит от суммы главных напряжений. Т.е. элементарный кубик получит такое же изменение объема, если к его граням будут приложены одинаковые средние напряжения: , тогда , где К= — модуль объемной деформации. При деформации тела, материал которого имеет коэффициент Пуассона m= 0, 5 (например, резина) объем тела не меняется.

Потенциальная энергия деформации

При простом растяжении (сжатии) потенциальная энергия U= .

Удельная потенциальная энергия — количество потенциальной энергии, накапливаемое в единице объема: u = ; . В общем случае объемного напряженного состояния, когда действуют три главных напряжения:

или

Полная энергия деформации, накапливаемая в единице объема, может рассматриваться как состоящая из двух частей: 1) энергии u_o, накапливаемой за счет изменения объема (т.е. одинакового изменения всех размеров кубика без изменения кубической формы) и 2) энергии u_ф, связанной с изменением формы кубика (т.е. энергии, расходуемой на превращение кубика в параллелепипед). u = u_о + u_ф.

;

— тензор напряжений (матрица третьего порядка).

При переходе к главным напряжениям тензор напряжений получает вид:

. При повороте системы координат коэффициенты тензора меняются, сам тензор остается постоянным.

Три инварианта напряженного состояния:

 

Аналогичные зависимости возникают при рассмотрении деформированного состояния в точке. Сопоставление зависимостей напряженного и деформированного плоского состояния (аналогия):

e_a — относительная деформация, g_a — угол сдвига.

Та же аналогия сохраняется и для объемного состояния. Поэтому имеем инварианты деформированного состояния:

J₁= e_x + e_y + e_z;

J₂= e_xe_y +e_ye_z + e_ze_x — g²_xy — g²_yz — g²_zx;

— тензор деформаций.

e_x, e_y, e_z, g_xy, g_yz, g_zx — компоненты деформированного состояния.

Для осей, совпадающих с направлениями главных деформаций e₁, e₂, e₃, тензор деформаций принимает вид: .

 

 

Теории прочности

В общем случае опасное напряженное состояние элемента конструкции зависит от соотношения между тремя главными напряжениями (s₁, s₂, s₃). Т.е., строго говоря, для каждого соотношения нужно экспериментально определять величину предельного напряжения, что нереально. Поэтому были приняты такие методы расчета прочности, которые позволяли бы оценить степень опасности любого напряженного состояния по напряжению растяжения – сжатия. Они называются теориями прочности (теории предельных напряженных состояний).

1-ая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие нормальные напряжения. s_max= s₁£ [s]. Главный недостаток: не учитываются два других главных напряжения. Подтверждается опытом только при растяжении весьма хрупких материалов (стекло, гипс). В настоящее время практически не применяется.

2-ая теория прочности (теория наибольших относительных деформаций): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие удлинения. e_max= e₁£ [e]. Учитывая, что e₁= , m — коэффициент Пуассона, получаем условие прочности s_эквII= s₁ — m(s₂ + s₃)£ [s]. s_экв — эквивалентное (расчетное) напряжение. В настоящее время теория используется редко, только для хрупких материалов (бетон, камень).

3-я теория прочности (теория наибольших касательных напряжений): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие касательные напряжения t_max £ [t], t_max= , условие прочности: s_эквIII= s₁ — s₃£ [s]. Основной недостаток – не учитывает влияние s₂.

При плоском напряженном состоянии: s_эквIII= £ [s]. При s_y=0 получаем Широко используется для пластичных материалов.

4-я теория прочности (энергетическая теория): причиной наступления предельного напряженного состояния являются величина удельной потенциальной энергии изменения формы. u_ф£ [u_ф]. .

Учитывает, все три главных напряжения. При плоском напряженном состоянии: . При s_y=0,

Широко используется для пластичных материалов.

Теория прочности Мора Получена на основе кругов напряжений Мора. . Используется при расчетах хрупких материалов, у которых допускаемые напряжения на растяжение [s_p] и сжатие [s_с] не одинаковы (чугун).

Для пластичных материалов [s_p]=[s_с] теория Мора превращается в 3-ю теорию.

Круг Мора (круг напряжений). Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках. Откладываем от оси s из центра С луч под углом 2a (a> 0, то против час.стр.), находим точку D,

координаты которой: s_a, t_a. Можно графически решать как прямую, так и обратную задачи.

 

 

Чистый сдвиг

Чистый сдвиг — напряженное состояние, при котором по взаимно перпендикулярным площадкам (граням) элемента возникают только касательные напряжения. Касательные напряжения , где Q — сила, действующая вдоль грани, F — площадь грани. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Касательные напряжения на них — наибольшие. Чистый сдвиг можно представить как одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Т.е. это частный случай плоского напряженного состояния, при котором главные напряжения: s₁= — s₃ = t; s₂= 0. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45^о.

При деформации элемента, ограниченного площадками чистого сдвига, квадрат превращается в ромб. d — абсолютный сдвиг,

g » — относительный сдвиг или угол сдвига.

Закон Гука при сдвиге: g = t/G или t = G× g.

G — модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа] — постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться деформациям при сдвиге. (Е — модуль упругости, m— коэффициент Пуассона).

Потенциальная энергия при сдвиге: .

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге: ,

где V=а× F — объем элемента. Учитывая закон Гука, .

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

Круг Мора при чистом сдвиге.

 

Кручение

Такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникает только одни крутящие моменты — М_к. Знак крутящего момента М_к удобно определять по направлению внешнего момента. Если при взгляде со стороны сечения внешний момент направлен против час.стр., то М_к> 0 (встречается и обратное правило). При кручении происходит поворот одного сечения относительно другого на угол закручивания -j. При кручении круглого бруса (вала) возникает напряженное состояние чистого сдвига (нормальные напряжения отсутствуют), возникают только касательные напряжения. Принимается, что сечения плоские до закручивания остаются плоскими и после закручивания — закон плоских сечений. Касательные напряжения в точках сечения изменяются пропорционально расстоянию точек от оси. Из закона Гука при сдвиге: t=gG, G — модуль сдвига, , — полярный момент сопротивления круглого сечения. Касательные напряжения в центре равны нулю, чем дальше от центра, тем они больше. Угол закручивания , GJ_p — жесткость сечения при кручении. — относительный угол закручивания. Потенциальная энергия при кручении: . Условие прочности: , [t] = , для пластичного материала за t_пред принимается предел текучести при сдвиге t_т, для хрупкого материала – t_в – предел прочности, [n] – коэффициент запаса прочности. Условие жесткости при кручении: q_max£ [q] – допустимый угол закручивания.

 

 

 

Изгиб

Плоский (прямой) изгиб — когда изгибающий момент действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции сечения, т.е. все силы лежат в плоскости симметрии балки. Основные гипотезы (допущения): гипотеза о не надавливании продольных волокон: волокна, параллельные оси балки, испытывают деформацию растяжения – сжатия и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении; гипотеза плоских сечений: сечение балки, плоское до деформации, остается плоским и нормальным к искривленной оси балки после деформации. При плоском изгибе в общем случае возникают внутренние силовые факторы: продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. N> 0, если продольная сила растягивающая; при М> 0 волокна сверху балки сжимаются, снизу растягиваются. .

Слой, в котором отсутствуют удлинения, называется нейтральным слоем (осью, линией). При N=0 и Q=0, имеем случай чистого изгиба. Нормальные напряжения: , r — радиус кривизны нейтрального слоя, y — расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя. Закон Гука при изгибе: , откуда (формула Навье): , J_x — момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента, EJ_x — жесткость при изгибе, — кривизна нейтрального слоя.

Максимальные напряжения при изгибе возникают в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя: , J_x/y_max=W_x—момент сопротивления сечения при изгибе, .

Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то эпюра нормальных напряжений s не будет симметричной. Нейтральная ось сечения проходит через центр тяжести сечения. Формулы для определения нормального напряжения для чистого изгиба приближенно годятся и когда Q¹ 0. Это случай поперечного изгиба. При поперечном изгибе, кроме изгибающего момента М, действует поперечная сила Q и в сечении возникают не только нормальные s, но и касательные t напряжения. Касательные напряжения определяются формулой Журавского : , где S_x(y) — статический момент относительно нейтральной оси той части площади, которая расположена ниже или выше слоя, отстоящего на расстоянии " y" от нейтральной оси; J_x — момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси, b(y) — ширина сечения в слое, на котором определяются касательные напряжения.

Для прямоугольного сечения: , F=b× h, для круглого сечения: , F=p× R², для сечения любой формы ,

k— коэфф., зависящий от формы сечения (прямоугольник: k= 1, 5; круг - k= 1, 33).

M_max и Q_max определяются из эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Для этого балка разрезается на две части и рассматривается одна из них.

 

Действие отброшенной части заменяется внутренними силовыми факторами М и Q, которые определяются из уравнений равновесия. В некоторых вузах момент М> 0 откладывается вниз, т.е. эпюра моментов строится на растянутых волокнах. При Q= 0 имеем экстремум эпюры моментов. Дифференциальные зависимости между М, Q и q:

q — интенсивность распределенной нагрузки [кН/м]

Главные напряжения при поперечном изгибе:

.

Расчет на прочность при изгибе: два условия прочности, относящиеся к различным точкам балки: а) по нормальным напряжениям , (точки наиболее удаленные от С); б) по касательным напряжениям , (точки на нейтр.оси). Из а) определяют размеры балки: , которые проверяют по б). В сечениях балок могут быть точки, где одновременно большие нормальные и большие касательные напряжения. Для этих точек находятся эквивалентные напряжения, которые не должны превышать допустимых. Условия прочности проверяются по различным теориям прочности

I-я: ; II-я: (при коэфф.Пуассона m=0, 3); — применяются редко.

III-я: , IV-я: ,

теория Мора: , (используется для чугуна, у которого допускаемое напряжение на растяжение [s_р]¹ [s_с] – на сжатие).

 

Моменты инерции сечения

Осевой (экваториальный) момент инерции сечения — сумма произведений элементарных площадок dF на квадраты их расстояний до оси.

; [см⁴, м⁴, т.д.].

Полярный момент инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) — сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от этой точки. ; [см⁴, м⁴, т.д.].J_y + J_x = J_p.

Центробежный момент инерции сечения — сумма произведений элементарных площадок на их расстояния от двух взаимно перпендикулярных осей. .

Центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, равен нулю.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей.

 

 

 

Полукруг

Моменты инерции стандартных профилей находятся из таблиц сортамента:

ДвутаврШвеллерУголок

 

Моменты инерции относительно параллельных осей:

J_x1=J_x + a²F;

J_y1=J_y + b²F;

 

момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. J_y1x1=J_yx + abF; (" a" и " b" подставляют в формулу с учетом их знака).

Зависимость между моментами инерции при повороте осей:

J_x1=J_xcos²a + J_ysin²a — J_xysin2a; J_y1=J_ycos²a + J_xsin²a + J_xysin2a;

J_x1y1= (J_x — J_y)sin2a + J_xycos2a;

Угол a> 0, если переход от старой системы координат к новой происходит против час.стр. J_y1 + J_x1= J_y + J_x

Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции. Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси инерции — оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяющий положение главных осей: , если a₀> 0 Þ оси поворачиваются против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции. Моменты инерции относительно этих осей:

J_max + J_min= J_x + J_y. Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то формулы перехода к повернутым осям:

J_x1=J_maxcos²a + J_minsin²a; J_y1=J_maxcos²a + J_minsin²a; J_x1y1= (J_max — J_min)sin2a;

Конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является определение главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции. Радиус инерции — ; J_x=F× i_x², J_y=F× i_y².

Если J_x и J_y главные моменты инерции, то i_x и i_y — главные радиусы инерции. Эллипс, построенный на главных радиусах инерции как на полуосях, называется эллипсом инерции. При помощи эллипса инерции можно графически найти радиус инерции i_x1 для любой оси х₁. Для этого надо провести касательную к эллипсу, параллельную оси х₁, и измерить расстояние от этой оси до касательной. Зная радиус инерции, можно найти момент инерции сечения относительно оси х₁: . Для сечений, имеющих более двух осей симметрии (например: круг, квадрат, кольцо и др.) осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой, J_xy=0, эллипс инерции обращается в круг инерции.

 

Моменты сопротивления.

Осевой момент сопротивления — отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения. [см³, м³]

Особенно важны моменты сопротивления относительно главных центральных осей:

прямоугольник: ; круг: W_x=W_y= ,

трубчатое сечение (кольцо): W_x=W_y= , где a= d_Н/d_B.

Полярный момент сопротивления — отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения: .

Для круга W_р= .

 

Растяжение и сжатие

N = s× F

s — нормальное напряжение [Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м²,

10⁶Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм²

N — продольная (нормальная) сила [Н] (ньютон); F — площадь сечения [м²]

e — относительная деформация [безразмерная величина];

DL — продольная деформация [м] (абсолютное удлинение), L — длина стержня [м].

— закон Гука — s = Е× e

Е — модуль упругости при растяжении (модуль упругости 1-го рода или модуль Юнга) [МПа]. Для стали Е= 2× 10⁵МПа = 2× 10⁶ кг/см² (в " старой" системе единиц).

(чем больше Е, тем менее растяжимый материал)

; — закон Гука

EF — жесткость стержня при растяжении (сжатии).

При растяжении стержня он " утоньшается", его ширина — а уменьшается на поперечную деформацию — Dа.

— относительная поперечная деформация.

— коэффициент Пуассона [безразмерная величина];

m лежит в пределах от 0 (пробка) до 0, 5 (каучук); для стали m »0, 25¸ 0, 3.

Если продольная сила и поперечное сечение не постоянны, то удлинение стержня:

Работа при растяжении: , потенциальная энергия:

Учет собственного веса стержня

Продольная сила N(z) = P + g× F× L;

Р — сила, действующая на стержень, g — удельный вес, F — площадь сечения.

Максимальное напряжение: . Деформация:

Условие прочности при растяжении (сжатии) s_max£ [s],

[s] — допускаемое напряжение на растяжение (сжатие).

У чугуна [s_раст]¹ [s_сж], у стали и др. пластичных материалов [s_раст]=[s_сж].

Основные механические характеристики материалов

 

s_п— предел пропорциональности, s_т— предел текучести, s_В— предел прочности или временное сопротивление, s_к— напряжение в момент разрыва.

Хрупкие материалы, напр., чугун разрушаются при незначительных удлинениях и не имеют площадки текучести, лучше сопротивляются сжатию, чем растяжению.

Допускаемое напряжение , s₀— опасное напряжение, n — коэф. запаса прочности. Для пластичных материалов s₀ = s_т и n = 1, 5, хрупких s₀ = s_В, n = 3.

Линейное напряженное состояние

напряжения по наклонной площадке:

полное:

нормальное: , касательное:

F_a — площадь наклонной площадки.

Нормальные напряжения s_a положительны, если они растягивающие; касательные напряжения t_a положительны, если они стремятся повернуть рассматриваемый элемент (нижняя часть) по часовой стрелке ( на рис. все положительно). Наибольшие нормальные напряжения возникают по площадкам перпендикулярным к оси стержня (a=0, cosa=1, maxs_a= s)

На перпендикулярных площадках: b = — (90 — a)

; , т.е. t_b = — t_a.

Наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, составляющим угол 45^о к оси стержня (a=45^о, sin2a=1, maxt_a= s/2)

 

 

Напряженное и деформированное состояние…………………1

Прямая задача…………………………………………………..3

Обратная задача…………………………………………………3

Объемное напряженное состояние……………………………4

Напряжения по октаэдрической площадке…………………..5

Деформации при объемном напряженном состоянии.

Обобщенный закон Гука ………………………………………6

Потенциальная энергия деформации…………………………7

Теории прочности………………………………………………9

Теория прочности Мора ………………………………………10

Круг Мора ………………………………………………………10

Чистый сдвиг……………………………………………………11

Закон Гука при сдвиге…………………………………………12

Кручение………………………………………………………..13

Кручение бруса прямоугольного сечения…………………….14

Изгиб……………………………………………………………15

формулой Журавского…………………………………………16

Расчет на прочность при изгибе………………………………18

Определение перемещений в балках при изгибе……………19

Дифференциальные зависимости при изгибе……………….20

Уравнение совместности перемещений……………………..22

Способ сравнения перемещений……………………………..22

Теорема о трех моментах……………………………………..22

Общие методы определения перемещений………………….24

Теорема о взаимности работ (теорема Бетли)……………….25

Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла).. 26

Вычисление интеграла Мора способом Верещагина……….27

Теорема Кастильяно…………………………………………..28

Статически неопределимые системы………………………..29

Расчет плоских кривых брусьев (стержней)………………...31

Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб………33

Геометрические характеристики плоских сечений…………36

Моменты инерции сечения…………………………………..37

Центробежный момент инерции сечения …………………..37

Моменты инерции сечений простой формы………………..38

Моменты инерции относительно параллельных осей……..39

Зависимость между моментами инерции при повороте

осей……………………………………………………………40

Моменты сопротивления…………………………………….42

Растяжение и сжатие…………………………………………43

Основные механические характеристики материалов…….45

 

 

Напряженное и деформированное состояние

Различают три вида напряженного состояния:

1) линейное напряженное состояние — растяжение (сжатие) в одном направлении;

2) плоское напряженное состояние — растяжение (сжатие) по двум направлениям;

3) объемное напряженное состояние — растяжение (сжатие) по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассматривают бесконечно малый параллелепипед (кубик). На его гранях могут быть нормальные s и касательные t напряжения. При изменении положения " кубика" напряжения меняются. Можно найти такое положение, при котором нет касательных напряжений см. рис.

Площадки, по которым не действуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих площадках — главными напряжениями.

Главные напряжения обозначают: s₁, s₂, s₃ и s₁> s₂> s₃

 

Плоское напряженное состояние

Разрежем элементарный параллелепипед (рис.а) наклонным сечением. Изображаем только одну плоскость. Рассматриваем элементарную треугольную призму (рис.б). Положение наклонной площадки определяется углом a. Если поворот от оси x против час.стр. (см. рис.б), то a> 0.

 

 

Нормальные напряжения имеют индекс, соответствующий оси их направления. Касательные напряжения, обычно, имеют два индекса: первый соответствует направлению нормали к площадке, второй — направлению самого напряжения (к сожалению, встречаются и другие обозначения, и другой выбор осей координат, что приводит к изменению знаков в некоторых формулах).

Нормальное напряжение положительно, если оно растягивающее, касательное напряжение положительно, если оно стремится повернуть рассматриваемую часть элемента относительно внутренней точки по час.стр (для касательного напряжения в некоторых учебниках и вузах принято обратное).

Напряжения на наклонной площадке:

или

Закон парности касательных напряжений: если по площадке действует касательное напряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действовать касательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку. (t_xz= — t_zx)

В теории напряженного состояния различают две основные задачи.

Прямая задача. По известным главным напряжениям: s₁= s_max, s₂= s_min требуется определить для площадки, наклоненной под заданным углом (a) к главным площадкам, нормальные и касательные напряжения:

или .

Для перпендикулярной площадки:

.

Откуда видно, что s_a+s_b=s₁+s₂ — сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам инварианта (независима) по отношению к наклону этих площадок.

Как и в линейном напряженном состоянии максимальные касательные напряжения имеют место при a=±45^о, т.е. по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом 45^о .

Обратная задача. По известным нормальным и касательным напряжениям, действующим в двух взаимно перпендикулярных площадках, найти главные (max и min) напряжения и положение главных площадок.

(касательные напряжения по главным площадкам равны 0).

Угол a₀, определяющий положение главных площадок: или .

Если одно из главных напряжений окажется отрицательным, то их надо обозначать s₁, s₃, если оба отрицательны, то s₂, s₃.

Объемное напряженное состояние

Напряжения в любой площадке при известных главных напряжениях s₁, s₂, s₃:

;

,

где a₁, a₂, a₃ — углы между нормалью к рассматриваемой площадке и направлениями главных напряжений.

Наибольшее касательное напряжение: .

Оно действует по площадке параллельной главному напряжению s₂ и наклоненной под углом 45^о к главным напряжениям s₁ и s₃.

Круг Мора для объемного напряженного состояния.

Точки, являющиеся вершинами кругов соответствуют диагональным площадкам, наклоненным под 45^о к главным напряжениям:

, (иногда называют главными касательными напряжениями).

 

Плоское напряженное состояние — частный случай объемного и тоже может быть представлено тремя кругами Мора, при этом одно из главных напряжений должно быть равно 0. Для касательных напряжений также, как и при плоском напряженном состоянии, действует закон парности: составляющие касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны по величине и обратны по направлению.

Напряжения по октаэдрической площадке.

Октаэдрическая площадка (АВС) – площадка, равнонаклоненная ко всем главным направлениям.

;

Октаэдрическое нормальное напряжение равно среднему из трех главных напряжений.