Деформации при объемном напряженном состоянии.

Обобщенный закон Гука (закон Гука при объемном напряжении):

e₁, e₂, e₃ — относительные удлинения в главных направлениях (главные удлинения). Если какие-либо из напряжений s_i будут сжимающими, то их необходимо подставлять в формулы со знаком минус.

Относительная объемная деформация:

 

Изменение объема не зависит от соотношения между главными напряжениями, а зависит от суммы главных напряжений. Т.е. элементарный кубик получит такое же изменение объема, если к его граням будут приложены одинаковые средние напряжения: , тогда , где К= — модуль объемной деформации. При деформации тела, материал которого имеет коэффициент Пуассона m= 0, 5 (например, резина) объем тела не меняется.

Потенциальная энергия деформации

При простом растяжении (сжатии) потенциальная энергия U= .

Удельная потенциальная энергия — количество потенциальной энергии, накапливаемое в единице объема: u = ; . В общем случае объемного напряженного состояния, когда действуют три главных напряжения:

или

Полная энергия деформации, накапливаемая в единице объема, может рассматриваться как состоящая из двух частей: 1) энергии u_o, накапливаемой за счет изменения объема (т.е. одинакового изменения всех размеров кубика без изменения кубической формы) и 2) энергии u_ф, связанной с изменением формы кубика (т.е. энергии, расходуемой на превращение кубика в параллелепипед). u = u_о + u_ф.

;

— тензор напряжений (матрица третьего порядка).

При переходе к главным напряжениям тензор напряжений получает вид:

. При повороте системы координат коэффициенты тензора меняются, сам тензор остается постоянным.

Три инварианта напряженного состояния:

 

Аналогичные зависимости возникают при рассмотрении деформированного состояния в точке. Сопоставление зависимостей напряженного и деформированного плоского состояния (аналогия):

e_a — относительная деформация, g_a — угол сдвига.

Та же аналогия сохраняется и для объемного состояния. Поэтому имеем инварианты деформированного состояния:

J₁= e_x + e_y + e_z;

J₂= e_xe_y +e_ye_z + e_ze_x — g²_xy — g²_yz — g²_zx;

— тензор деформаций.

e_x, e_y, e_z, g_xy, g_yz, g_zx — компоненты деформированного состояния.

Для осей, совпадающих с направлениями главных деформаций e₁, e₂, e₃, тензор деформаций принимает вид: .

 

 

Теории прочности

В общем случае опасное напряженное состояние элемента конструкции зависит от соотношения между тремя главными напряжениями (s₁, s₂, s₃). Т.е., строго говоря, для каждого соотношения нужно экспериментально определять величину предельного напряжения, что нереально. Поэтому были приняты такие методы расчета прочности, которые позволяли бы оценить степень опасности любого напряженного состояния по напряжению растяжения – сжатия. Они называются теориями прочности (теории предельных напряженных состояний).

1-ая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие нормальные напряжения. s_max= s₁£ [s]. Главный недостаток: не учитываются два других главных напряжения. Подтверждается опытом только при растяжении весьма хрупких материалов (стекло, гипс). В настоящее время практически не применяется.

2-ая теория прочности (теория наибольших относительных деформаций): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие удлинения. e_max= e₁£ [e]. Учитывая, что e₁= , m — коэффициент Пуассона, получаем условие прочности s_эквII= s₁ — m(s₂ + s₃)£ [s]. s_экв — эквивалентное (расчетное) напряжение. В настоящее время теория используется редко, только для хрупких материалов (бетон, камень).

3-я теория прочности (теория наибольших касательных напряжений): причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие касательные напряжения t_max £ [t], t_max= , условие прочности: s_эквIII= s₁ — s₃£ [s]. Основной недостаток – не учитывает влияние s₂.

При плоском напряженном состоянии: s_эквIII= £ [s]. При s_y=0 получаем Широко используется для пластичных материалов.

4-я теория прочности (энергетическая теория): причиной наступления предельного напряженного состояния являются величина удельной потенциальной энергии изменения формы. u_ф£ [u_ф]. .

Учитывает, все три главных напряжения. При плоском напряженном состоянии: . При s_y=0,

Широко используется для пластичных материалов.

Теория прочности Мора Получена на основе кругов напряжений Мора. . Используется при расчетах хрупких материалов, у которых допускаемые напряжения на растяжение [s_p] и сжатие [s_с] не одинаковы (чугун).

Для пластичных материалов [s_p]=[s_с] теория Мора превращается в 3-ю теорию.

Круг Мора (круг напряжений). Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках. Откладываем от оси s из центра С луч под углом 2a (a> 0, то против час.стр.), находим точку D,

координаты которой: s_a, t_a. Можно графически решать как прямую, так и обратную задачи.

 

 

Чистый сдвиг

Чистый сдвиг — напряженное состояние, при котором по взаимно перпендикулярным площадкам (граням) элемента возникают только касательные напряжения. Касательные напряжения , где Q — сила, действующая вдоль грани, F — площадь грани. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Касательные напряжения на них — наибольшие. Чистый сдвиг можно представить как одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Т.е. это частный случай плоского напряженного состояния, при котором главные напряжения: s₁= — s₃ = t; s₂= 0. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45^о.

При деформации элемента, ограниченного площадками чистого сдвига, квадрат превращается в ромб. d — абсолютный сдвиг,

g » — относительный сдвиг или угол сдвига.

Закон Гука при сдвиге: g = t/G или t = G× g.

G — модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа] — постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться деформациям при сдвиге. (Е — модуль упругости, m— коэффициент Пуассона).

Потенциальная энергия при сдвиге: .

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге: ,

где V=а× F — объем элемента. Учитывая закон Гука, .

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

Круг Мора при чистом сдвиге.

 

Кручение

Такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникает только одни крутящие моменты — М_к. Знак крутящего момента М_к удобно определять по направлению внешнего момента. Если при взгляде со стороны сечения внешний момент направлен против час.стр., то М_к> 0 (встречается и обратное правило). При кручении происходит поворот одного сечения относительно другого на угол закручивания -j. При кручении круглого бруса (вала) возникает напряженное состояние чистого сдвига (нормальные напряжения отсутствуют), возникают только касательные напряжения. Принимается, что сечения плоские до закручивания остаются плоскими и после закручивания — закон плоских сечений. Касательные напряжения в точках сечения изменяются пропорционально расстоянию точек от оси. Из закона Гука при сдвиге: t=gG, G — модуль сдвига, , — полярный момент сопротивления круглого сечения. Касательные напряжения в центре равны нулю, чем дальше от центра, тем они больше. Угол закручивания , GJ_p — жесткость сечения при кручении. — относительный угол закручивания. Потенциальная энергия при кручении: . Условие прочности: , [t] = , для пластичного материала за t_пред принимается предел текучести при сдвиге t_т, для хрупкого материала – t_в – предел прочности, [n] – коэффициент запаса прочности. Условие жесткости при кручении: q_max£ [q] – допустимый угол закручивания.

 

 

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: