Случайные события и величины

В теории вероятностей опытом называют наблюдение какого-нибудь явления при выполнении некоторого комплекса условий и действий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного опыта. Изменение этих условий и действий при наблюдении того же явления ведет к реализации иного опыта. Существуют качественная и количественная характеристики результатов опыта.

Качественная характеристика опыта состоит в регистрации определенного факта, т.е. в определении того, обладают результаты опыта каким-либо свойством или нет. Любой такой факт называется событием. Примерами таких событий могут служить получение m попаданий при n выстрелах, отказ технического устройства в данном интервале времени и т.д.

Количественная характеристика опыта состоит в определении значений некоторых величин, полученных в результате опыта. Такие величины, которые в результате опыта могут принять то или иное значение, и заранее неизвестно, какое именно, называются случайными величинами. Такое определение случайной величины называют интуитивным.

С каждой случайной величиной можно связать различные события. Типичным событием, связанным со случайной величиной, является событие, состоящее в том, что эта случайная величина примет в результате опыта какое-нибудь значение, принадлежащее данному множеству, безразлично какое именно. Такое событие можно назвать попаданием случайной величины в данное множество. Поэтому, при более строгом определении, случайной называют величину, которая принимает в результате опыта одно из множества ее возможных значений и с которой связано некоторое пространство (поле) событий – ее попаданий в заданные множества, - содержащееся в основном пространстве событий.

Из повседневного опыта известно, что одни события наступают довольно часто, другие менее часто или совсем редко. Частотой события w называют отношение числа опытов n, при которых событие произошло, к числу всех проведенных опытов N. Частота событий в какой-то степени является внутренней характеристикой явления, однако она есть случайная величина, зависящая от конкретной серии испытаний. При очень большом числе испытаний частота w почти перестает изменяться, приближаясь к некоторой постоянной величине. Это свойство массовых случайных событий называют статистической устойчивостью частот. Такую постоянную величину (числовую характеристику случайного события), обладающую тем свойством, что для любой достаточно большой серии испытаний частота события лишь незначительно отличается от этой характеристики случайного события, называют вероятностью события.

Если событие А повторяется большое число (N) раз и при этом в п случаях событие обладает признаком В, а исходы событий в этой последовательности взаимно независимы, то вероятность появления признака В

.

Зная вероятность события, можно, не проводя никаких опытов, предсказать, с какой частотой будет появляться это событие при большом числе опытов. Можно также сказать, что вероятность события представляет собой меру возможности появления события при одном опыте.

Приведенное определение вероятности называют статистическим. Оно позволяет установить следующее:

1) вероятность достоверного события равна единице;

2) вероятность невозможного события равна нулю;

3) вероятность произвольного случайного события А - положительное число, не превосходящее единицы ( ).

Если имеются два события А и В, причем вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет, то такие два события называют независимыми. Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность события A, вычисленную при условии, что имело место событие В, называют условной вероятностью события А и обозначают Р(А|В). Справедливы следующие теоремы и формулы.

1. Теорема сложения вероятностей. Вероятность объединения (суммы) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Р (А+В) =Р (А)+Р (В). (1.1)

2. Теорема умножения вероятностей. Вероятность совмещения (произведения) двух событий А и В равна произведению вероятности А на условную вероятность события В, т. е.

Р (АВ) = Р (А) Р (В | A). (1.2)

Вероятность произведения двух событий можно выразить и через условную вероятность события A. В этом случае

Р (АВ) = Р (В) Р (А | В).

Вероятность совместного осуществления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т. е.

Р(АВ) = Р(А) Р(В). (1.3)

3. Формула полной вероятности. Следствием теорем — теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей— является так называемая формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность события A, которое может произойти вместе с одним из событий (i= 1, 2, ..., I), образующих полную группу несовместных событий, которые называют гипотезами. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно реализоваться хотя бы одно из них. Так как гипотезы образуют полную группу, то событие A может появиться только в комбинациях с какой-либо из этих гипотез, т. е.

.

Так как гипотезы несовместимы, то и комбинации также несовместимы, поэтому, применяя к ним теорему сложения, получим

.

Воспользовавшись теоремой умножения, для каждого из слагаемых в правой части полученного соотношения окончательно имеем

(1.4)

Выражение (1.4) называют формулой полной вероятности.

4. Формула Байеса. Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса. Пусть имеется полная группа несовместимых гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны . Произведен опыт, в результате которого имело место событие A. Возникает вопрос, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Воспользуемся формулой для условной вероятности для каждой гипотезы и теоремой умножения

.

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: