Тема 3. Дифференциальные уравнения.

Тема 3. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия.

Дифференциальным называют уравнение, из которого требуется определить искомую функцию и которое содержит не только эту функцию, но и ее производные или дифференциалы.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то такое уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением.

Пример 1.

Если неизвестная функция является функцией нескольких переменных, то такое уравнение называют уравнением в частных производных.

Пример.

Порядком дифференциального уравнения называют наивысший порядок содержащихся в нем производных.

Пример 2. дифференциальное уравнение -го порядка.

Решением дифференциального уравнения называют функцию , дифференцируемую по крайней мере раз, обращающую его при подстановке в уравнение в тождество.

Отыскание всех решений и описание их свойств является основными задачами теории дифференциальных уравнений. Процесс отыскания решений называют интегрированием этого уравнения.

Пример 3.

Найти все решения дифференциального уравнения .

Интегрируя, получим .

Общим решением дифференциального уравнения называют решение, которое существенно зависит от произвольной постоянной с. Общее решение, полученное в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

y = - cos x +c – общее решение.

y + cos x = с – общий интеграл.

Решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения при фиксированном значении постоянной c, называют частным решением.

Пусть М(0, 2), с= 2+ сos(0); с = 3. y = -cos x + 3 – частное решение, то есть мы выделяем кривую, которая проходит через точку (0, 2).

Кривые y = - cos x +c называются интегральными кривыми дифференциального уравнения .

Уравнение вида F(x, y, )=0 (1) называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка заключается в отыскании решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию . Геометрически это означает определение интегральной кривой, проходящей через точку .

Теорема Пикара. Если в уравнении функция определена и непрерывна в окрестности точки и, кроме того, имеет частную производную , то задача Коши имеет единственное решение, являющееся дифференцируемой функцией. Если в точке условия теоремы Пикара нарушаются, то задача Коши может иметь несколько решений или не иметь их вовсе. В первом случае через точку проходит несколько интегральных кривых. Точки, в которых происходит нарушение условий теоремы Пикара, называют особыми. Дополнительные решения задачи Коши, возникающие при этом, также называют особыми.

Интегрируемые виды дифференциальных уравнений

Первого порядка.

Тип 1. Уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнения вида M₁(x)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 (1) или (2), а также уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований приводятся к уравнениям, называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Его общим интегралом будет , где с – произвольная постоянная.

Алгоритм решения:

1. Преобразовать уравнение с разделяющимися переменными к уравнению с разделенными переменными.

2. Проинтегрировать обе части уравнения.

Примеры. , - уравнения с разделяющимися переменными.

Тип 2. Однородные уравнения.

Однородным называют уравнение, которое может быть преобразовано к виду

.

Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 будет однородным в том и только в том случае, когда P(x, y), Q(x, y) – однородные функции одного и того же измерения α, т.е. P(tx, ty)=t^α P(x, y), Q(tx, ty)=t^α Q(x, y).

Алгоритм решения:

Подстановкой данный вид уравнений преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

Примеры. , - однородные уравнения.

Тип 4. Линейные уравнения.

Уравнение , линейное относительно неизвестной функции у и ее производной , называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Функции a(x), b(x) должны быть непрерывны в некоторой области.

Если b(x) = 0. то уравнение называют однородным линейным дифференциальным уравнением.

Общее решение линейного дифференциального уравнения всегда можно записать в виде:

, где с – произвольная постоянная.

Полезно иметь в виду, что иногда дифференциальное уравнение является линейным относительно х как функции у, т.е. может быть приведено к виду

Его общее решение находится по формуле:

, где с – произвольная постоянная.

Алгоритм решения:

1 способ.

Найти решение дифференциального уравнения по формуле .

2 способ.

Ввести 2 неизвестные функции u(x) и v(x) по формуле y=u(x)v(x) (подстановка Бернулли). Тогда . Подставив выражение для y и в уравнение получим уравнение , которое преобразуется к виду Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций, например , может быть выбрана достаточно произвольно (так как только произведение должно удовлетворять исходному уравнению), составляем систему: . Из первого уравнения (уравнение с разделяющимися переменными) находим v=v(x), затем из второго уравнения находим u=u(x, C). Затем находим общее решение уравнения y= v(x)◦ u(x, C).

Примеры.

- линейное дифференциальное уравнение (линейное относительно y).

- линейное дифференциальное уравнение (линейное относительно х).

Тип 5. Уравнение Бернулли.

Дифференциальное уравнение (1), где =const R, ≠ 0, ≠ 1, а также любое уравнение, с помощью алгебраических преобразований приводящееся к уравнению (1), называется уравнением Бернулли.

Алгоритм решения:

Ввести новую функцию z(x) по формуле . Уравнение Бернулли сведется к линейному уравнению относительно этой функции:

Пример. - уравнение Бернулли.

 

Примеры.

- дифференциальное уравнение четвертого порядка, допускающее понижение порядка.

- дифференциальное уравнение третьего порядка не содержащее явно аргумент х, допускающее понижение порядка.

- дифференциальное уравнение второго порядка не содержащее явно искомую функцию.

 

 

Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Решение задач прикладного характера обычно состоит из трех частей:

1) составления дифференциального уравнения;

2) решение этого уравнения;

3) исследование решения.

При решении геометрических задач полезно пользоваться следующей последовательностью действий:

1) сделать чертеж и ввести обозначения. Например, f(x) – уравнение искомой линии и т.п.

2) отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомого геометрического места, от условий, имеющих место лишь в отдельных фиксированных точках ( т.е. выделить начальные условия).

3) выразить все упомянутые в задаче величины через x, y, , учитывая при этом геометрический смысл производной.

4) на основании условия задачи составить дифференциальное уравнение семейства искомых кривых.

5) найти общее решение дифференциального уравнения, а затем по начальным условиям найти конкретную интегральную кривую.

При решении физических задач полезно пользоваться следующей последовательностью действий:

1) Установить какому закону подчиняется процесс.

2) Решить, что выбрать за независимое переменное и что за искомую функцию.

3) Исходя из условия задачи, определить начальные условия.

4) Выразить все фигурирующие в задаче величины, используя при этом физический смысл производной как скорость изменения переменной в изучаемом процессе.

5) Исходя из условия задачи и на основании физического закона, которому подчиняется данный процесс, составить дифференциальное уравнение.

6) Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

7) По начальным условиям найти частное решение.

Примеры.

Найти уравнение кривой, проходящей через точку Р(1; 2), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью Ох делится пополам в точке пересечения с осью Оу. (геометрическая задача).

Сосуд объемом 40 л содержит воздух (80 % азота, 20% кислорода). В сосуд втекает каждую секунду 0, 2 л азота, который непрерывно размешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через какое время в сосуде будет 99 % азота? (физическая задача).

Тема 3. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия.

Дифференциальным называют уравнение, из которого требуется определить искомую функцию и которое содержит не только эту функцию, но и ее производные или дифференциалы.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то такое уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением.

Пример 1.

Если неизвестная функция является функцией нескольких переменных, то такое уравнение называют уравнением в частных производных.

Пример.

Порядком дифференциального уравнения называют наивысший порядок содержащихся в нем производных.

Пример 2. дифференциальное уравнение -го порядка.

Решением дифференциального уравнения называют функцию , дифференцируемую по крайней мере раз, обращающую его при подстановке в уравнение в тождество.

Отыскание всех решений и описание их свойств является основными задачами теории дифференциальных уравнений. Процесс отыскания решений называют интегрированием этого уравнения.

Пример 3.

Найти все решения дифференциального уравнения .

Интегрируя, получим .

Общим решением дифференциального уравнения называют решение, которое существенно зависит от произвольной постоянной с. Общее решение, полученное в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

y = - cos x +c – общее решение.

y + cos x = с – общий интеграл.

Решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения при фиксированном значении постоянной c, называют частным решением.

Пусть М(0, 2), с= 2+ сos(0); с = 3. y = -cos x + 3 – частное решение, то есть мы выделяем кривую, которая проходит через точку (0, 2).

Кривые y = - cos x +c называются интегральными кривыми дифференциального уравнения .

Уравнение вида F(x, y, )=0 (1) называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка заключается в отыскании решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию . Геометрически это означает определение интегральной кривой, проходящей через точку .

Теорема Пикара. Если в уравнении функция определена и непрерывна в окрестности точки и, кроме того, имеет частную производную , то задача Коши имеет единственное решение, являющееся дифференцируемой функцией. Если в точке условия теоремы Пикара нарушаются, то задача Коши может иметь несколько решений или не иметь их вовсе. В первом случае через точку проходит несколько интегральных кривых. Точки, в которых происходит нарушение условий теоремы Пикара, называют особыми. Дополнительные решения задачи Коши, возникающие при этом, также называют особыми.

12Следующая ⇒

Поделиться: