Интегрируемые виды дифференциальных уравнений

Первого порядка.

Тип 1. Уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнения вида M₁(x)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 (1) или (2), а также уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований приводятся к уравнениям, называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Его общим интегралом будет , где с – произвольная постоянная.

Алгоритм решения:

1. Преобразовать уравнение с разделяющимися переменными к уравнению с разделенными переменными.

2. Проинтегрировать обе части уравнения.

Примеры. , - уравнения с разделяющимися переменными.

Тип 2. Однородные уравнения.

Однородным называют уравнение, которое может быть преобразовано к виду

.

Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 будет однородным в том и только в том случае, когда P(x, y), Q(x, y) – однородные функции одного и того же измерения α, т.е. P(tx, ty)=t^α P(x, y), Q(tx, ty)=t^α Q(x, y).

Алгоритм решения:

Подстановкой данный вид уравнений преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

Примеры. , - однородные уравнения.

Тип 3. Дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным.

Уравнение вида называется дифференциальным уравнением сводящимся к однородному.

Алгоритм решения:

Если , то выполняется подстановка , где - точка пересечения прямых .

Если , то выполняется подстановка .

Примеры. , - дифференциальные уравнения, сводящиеся к однородным.

Тип 4. Линейные уравнения.

Уравнение , линейное относительно неизвестной функции у и ее производной , называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Функции a(x), b(x) должны быть непрерывны в некоторой области.

Если b(x) = 0. то уравнение называют однородным линейным дифференциальным уравнением.

Общее решение линейного дифференциального уравнения всегда можно записать в виде:

, где с – произвольная постоянная.

Полезно иметь в виду, что иногда дифференциальное уравнение является линейным относительно х как функции у, т.е. может быть приведено к виду

Его общее решение находится по формуле:

, где с – произвольная постоянная.

Алгоритм решения:

1 способ.

Найти решение дифференциального уравнения по формуле .

2 способ.

Ввести 2 неизвестные функции u(x) и v(x) по формуле y=u(x)v(x) (подстановка Бернулли). Тогда . Подставив выражение для y и в уравнение получим уравнение , которое преобразуется к виду Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций, например , может быть выбрана достаточно произвольно (так как только произведение должно удовлетворять исходному уравнению), составляем систему: . Из первого уравнения (уравнение с разделяющимися переменными) находим v=v(x), затем из второго уравнения находим u=u(x, C). Затем находим общее решение уравнения y= v(x)◦ u(x, C).

Примеры.

- линейное дифференциальное уравнение (линейное относительно y).

- линейное дифференциальное уравнение (линейное относительно х).

Тип 5. Уравнение Бернулли.

Дифференциальное уравнение (1), где =const R, ≠ 0, ≠ 1, а также любое уравнение, с помощью алгебраических преобразований приводящееся к уравнению (1), называется уравнением Бернулли.

Алгоритм решения:

Ввести новую функцию z(x) по формуле . Уравнение Бернулли сведется к линейному уравнению относительно этой функции:

Пример. - уравнение Бернулли.

 

Тип 6. Уравнение в полных дифференциалах.

Если уравнение записано в виде

, (1)

и выполняется соотношение , тогда правая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции и его можно переписать в виде . Отсюда следует, что

. (2)

Выражение (2) является общим решением дифференциального уравнения (1), которое в этом случае называют уравнением в полных дифференциалах. Таким образом, интегрирование данного вида уравнений сводится к задаче отыскания функции по ее полному дифференциалу.

Алгоритм решения:

1. Проверить выполнимость условия

2. Решить систему

3. Записать ответ U(x, y)=0.

Пример. - уравнение в полных дифференциалах.

⇐ Предыдущая12

Поделиться: