Семестр. ФНП. Кратные интегралы. Теория поля

Семестр. ФНП. Кратные интегралы. Теория поля

 

В каждой лекции все формулы, определения и теоремы нумеруются так же, как и в предыдущей лекции, с цифры 1 (т.е. нумерация не продолжается от лекции к лекции). Это удобно при чтении лекций.

Лекция 1. Множества в мерном евклидовом пространстве и их типы. Функции нескольких переменных, их предел и непрерывность. Линии и поверхности уровня. Частные производные и их геометрический смысл. Дифференцируемость и её связь с частными производными функции

Напомним сначала некоторые сведения из теории метрических пространств.

Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества. Понятие области

В предыдущих лекциях вводилось понятие евклидова пространства, т.е. пространства со скалярным произведением ( ). Введем теперь в рассмотрение понятие метрического пространства.

Определение 1. Линейное пространство называется метрическим пространством, если в нем для любых векторов и определено число называемое расстоянием между и (или метрикой в ), обладающее следующими свойствами:

1. П.О.

2. С.

3. Т. ( произвольные векторы из пространства ).

Любое евклидово пространство является одновременно и метрическим пространст-

вом с метрикой (проверьте выполнение свойств 1-3). Заметим, что число называется длиной (или нормой) вектора Так что в евкли-

довом пространстве Например, в мерном точечном евклидовом пространстве метрика вводится следующим образом:

В любом метрическом пространстве можно ввести понятие окрестности точки. Если

фиксированная точка метрического пространства то множество

называется окрестностью точки а множество –

проколотой окрестностью этой точки.

Мы будем работать в основном с евклидовыми пространствами и , поэтому дадим описание в них окрестности точки (см. (1)):

в пространстве открытый круг радиуса (см. Р.1);

в пространстве откры-

тый шар радиуса

Введем теперь понятие внутренней и граничной точки множества метрического пространства Точка называется внутренней точкой множества если она входит в вместе с некоторой своей окрестностью. Точка называется граничной точкой множества если в любой окрестности этой точки существуют точки, как принадлежащие так и не принадлежащие Множество всех граничных точек множества образуют границу которая обозначается символом или Можество называется открытым множеством, если все его точки внутренние. Если множеству принадлежат все его граничные точки, то оно называется замкнутым множеством. Точка называется предельной точкой множества если в любой окрестности этой точки существует точка

Теперь введем понятие области. При этом везде ниже рассматривается только евклидово пространство мерных упорядочных точек с метрикой (1). Заметим сначала, что множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, не выходящей из И наконец, любое связное открытое множество в называется областью.

Лекция 2. Дифференцирование сложной функции. Неявная функция и её дифференцирова-

Ние. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. Скалярное поле. Градиент и его связь с производной поля по направлению

Если даны функции

то можно образовать сложную функцию При этом областью определения сложной функции будет множество таких что выражение имеет смысл. Мы будем рассматривать в основном сложные функции вида и . Все утверждения, сформулированные для таких функций, очевидным образом переносятся и на общие типы сложных функций.

 

Лекция 3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Локальный экстремум функции нескольких переменных, необходимое условие экстремума. Достаточные условия существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом ограниченном множестве. Условный экстремум и метод множителей Лагранжа

 

Прежде чем перейти к изложению следующего раздела, отметим, что кривую в пространстве можно задать системой уравнений

.

Действительно, при изменении параметра на отрезке точка описывает в некоторую кривую При этом кривая называется непрерывной, если все функции непрерывны на отрезке и называется гладкой кривой, если производные непрерывны на указанном отрезке. Точка называется неособой, если в противном случае (т.е. в случае )точка называется особой. Нетрудно показать, что вектор является касательным вектором к кривой в точке

Решение.

Немного позже будет использоваться формула

вычисления двойного интеграла в полярных координатах. Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда область при отображении переходит в прямоугольник или в какую-нибудь другую простую область.

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Здесь область находится в первой четверти между двумя окружностями и двумя прямыми После преоб-

разования она переходит в область Согласно формуле (4) имеем

 

Лекция 5. Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан и его геометрический смысл. Полярные, цилиндрические и сферические координаты в двойных и тройных интегралах. Площадь поверхности и её вычисление

Ранее упоминалось, что некоторые двойные интегралы удобно вычислять в полярных координатах. В отличие от прямоугольных декартовых координат полярные координаты являются криволинейными. Перейдем к описанию криволинейных координат общего вида.

 

1. Криволинейные координаты на плоскости

Пусть в плоскости задана некоторая область а в плоскости некоторая область

Определение 1. Говорят, что функции

задают взаимно однозначное соответствие

области на область если каждой точке соответствует единственная точка и двум различным точкам из области соответствуют две различные точки из области по закону (1).

Ясно, что в этом случае существует и обратное отображение , задаваемое некоторыми функциями Если (1) задаёт взаимно однозначное соответствие то положение любой точки фиксируется её декартовыми координатами или парой чисел такой, что

Определение 2. Пара только что описанныхчисел называется криволинейными координатами точки а кривые

называются координатными линиями точки

Таким образом, в области можно задать две системы координат: 1) декартову прямоугольную систему координат, определяемую сеткой взаимно ортогональных прямых и криволинейную систему координат, определяемую сеткой координатных линий и

Определение 3. Определитель называется якоби-

аном отображения (1) или якобианом перехода от декартовых координат к криволинейным.

Можно показать, что равен коэффициенту искажения площадей (геометрический смысл якобиана), т.е. если площадь малого прямоугольника с одной из вершин и ребрами а площадь криволинейного четырёхугольника, являющегося образом указанного прямоугольника при отображении (1), то Используя этот факт, можно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Имеет место равенство

если выполнены следующие условия:

1) функция непрерывна в замкнутой ограниченной области

2) функции непрерывно дифференцируемы в области и взаимно однозначно отображают область на область

3) якобиан

 

Площадь поверхности

Пусть в пространстве задана некоторая гладкая поверхность и пусть Произведем разбиение

области на частичные подобласти Это разбиение индуцирует разбиение поверхности на частичные поверхности Возьмем произвольно точку и в соответствующей точке построим плоскость касательную к поверхности Цилиндр с основанием и образующей, параллельной оси вырежит из этой плоскости кусок Обозначим через площадь куска а через диаметр разбиения

Определение 4. Если существует конечный предел и он не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют площадью поверхности

Теорема 3. Пусть поверхность задаётся уравнением причем функция и её частные производные непрерывны в замкнутой ограниченной области Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле

Доказательство. Вычислим площадь куска Так как то

где площадь области а угол между плоскостями и Угол очевидно, равен углу между нормалями и плоскостей и соответсвенно. Так как то

Следовательно, По определению 4 имеем

Теорема доказана.

 

Пример 3. Вычислить площадь части поверхности параболоида вырезан-

ную цилиндром

Решение. Здесь область есть круг Площадь искомой поверхнос-

ти находим по формуле (8):

 

 

Лекция 6. Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности) и его вычисление. Векторное поле. Векторные линии векторные трубки. Поток векторного поля, его свойства и вычисление. Дивергенция, её физический смысл и свойства. Формула Остроградского-Гаусса

 

Поверхностный интеграл

Пусть в пространстве переменных и задана некоторая поверхность и пусть функция определена на этой поверхности. Произведём разбиение поверхности на частичные поверхности с помощью конечного числа непрерывных кривых. Возьмём произвольно точки и составим интегральную сумму где площадь куска . Обозначим .

Определение 1. Если существует предел интегральных сумм: и если этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначают

Теорема 1. Если поверхность задана уравнением и функции

непрерывны в замкнутой ограниченной области а функция непрерывна на поверхности то

Доказательство следует из равенства

и теоремы о среднем Подставляя это в предыдущее равенство и учитывая непрерывность всех функций, будем иметь

Теорема доказана.

Так как поверхностный интеграл сводится к двойному, то для него справедливы все свойства последнего: линейность, аддитивность, монотонность, теорема о среднем и т.д. Мы не будем их выписывать. Механический смысл поверхностного интеграла состоит в следующем: если плотность пластинки в точке то масса этой пластинки.

2. Векторное поле. Векторные линии векторные трубки. Ориентируемые поверхности и поток векторного поля через поверхность

 

Пусть некоторая область в пространстве

Определение 2. Говорят, что в области задано векторное поле если в каждой точке определен вектор

Это определение не зависит от выбора системы координат в Если в выбрана декартова система координат, то каждой точке ставится в соответствие вектор

Примеры векторных полей: а) скорость движущейся жидкости в точке (векторное полей скоростей жидкости); б) гравитационное поле (здесь тело массой находится в точке а тело массой в точке , гравитационная постоянная).

Векторное поле называеется непрерывным (кусочно непрерывным, гладким, непрерывно дифференцируемым) в области , если все его компоненты непрерывны (соответственно: кусочно непрерывны, гладки, непрерывно дифференцируемы) в области .

Пусть векторное поле определено в области .

Определение 3. Линия называется векторной линией поля если в каждой точке поле касается кривой Поверхность называется векторной трубкой поля если она сплошь состоит из векторных линий этого поля.

Теорема 2. Пусть поле непрерывно дифференци-

руемо в области . Если параметрические уравнения векторной линии поля то для всех выполняются равенства

Обратно: если кривая удовлетворяет соотношени-

ям (1), то векторная линия поля (уравнения (2) называются уравнениями векторных линий поля ).

Действительно, равенства (2) (если в них подставить уравнения линии ) выражают условия коллинеарности векторов и в одной и той же точке Значит, линия касается поля .

Пусть в пространстве задана некоторая поверхность и пусть в каждой точке этой поверхности существует нормаль. На этой нормали можно выбрать два единичных вектора: и

Определение 4. Если при движении точки по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не пересекающему её границы , единичный вектор непрерывно изменяется и возвращается в точку с первоначальным направлением, то говорят, что поверхность яв-

ляется двухсторонней. При этом сторона поверхности, определяемая вектором , называется внешней (или верхней) стороной поверхности (обозначение: ), а сторона поверхности, определяемая вектором называется внутренней (или нижней) стороной поверхности (обозначение: ). Векторы и называются ориентациями поверхности , а сама поверхность называется ориентируемой поверхностью.

Если же на поверхности найдётся хотя бы один замкнутый контур, при движении на котором единичный вектор возвращается в точку с противоположным направлением, то говорят, что поверхность является односторонней или неориентируемой

поверхностью.

Примером неориентируемой поверхности является лист Мёбиуса, который получается из прямоугольной полоски склеванием ее боковых после однократного их перекручивания. Перейдем к понятию потока векторного поля. Пусть дана двухсторонняя поверхность и выбрана та её сторона, которая ориентирована единичной нормалью

Определение 4. Потоком векторного поля через поверхность с ориентацией называется поверхностный интеграл

(здесь скалярное произведение векторов и ).

Это определение потока не зависит от выбора системы координат. Если выбрана прямоугольная система координат, то

и поток можно записать в виде . Обозначив

перепишем предыдущее равенство в виде

В таком виде поток записан в форме поверхностного интеграла второго рода (по координатам). Все три формы записи потока встречаются в математической литературе. Мы будем пользоваться первой формой записи, указанной в определении 4.

Из свойств поверхностного интеграла первого рода вытекают аналогичные свойства потока как поверхностного интеграла второго рода (линейность, аддитивность и т.д). Единственным отличием этих свойствах является то, что интеграл первого рода не зависит от ориентации поверхности а интеграл второго рода (поток) зависит от выбора стороны поверхности: (это вытекает из определения 4). Дадим формулу вычисления потока.

Теорема 3. Пусть поверхность, задаваемая уравнением причем эта поверхность является гладкой, т.е. функции непрерывны в замкнутой ограниченной области Пусть, кроме того, векторное поле непрерывно на поверхности Тогда

где знак (+) отвечает ориентации поверхности нормальным вектором а знак (–) отвечает ориентации поверхности нормальным вектором

Доказательство. Пусть поверхность ориентирована вектором Учитывая, что раскроем в (3) скалярное произведение: По теореме 1 имеем

Теорема доказана.

Замечание 1. Если поверхность задана неявно уравнением (где функции непрерывны, причем в области в которой лежит поверхность ), то

При этом знак выбирается в соответствии с ориентацией поверхности .

Дадим гидромеханический смысл потока: если векторное поле скоростей жидкости, то равен количеству жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность с ориентацией, определяемой нормалью

Пример 1 ( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Найти поток векторного поля через поверхность вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

 

Решение. Так как то нормаль к боковой поверхности (конуса) будет иметь вид Выбор нормали должен быть таким, чтобы Так как в нашем случае на поверхности , то надо взять знак (+). Таким образом, нормаль будет такой: Здесь мы учли, что на поверхности выполняется равенство . Далее имеем

Область является проекцией поверхности на плоскость т.е. является кругом радиуса поэтому

семестр. ФНП. Кратные интегралы. Теория поля

 

В каждой лекции все формулы, определения и теоремы нумеруются так же, как и в предыдущей лекции, с цифры 1 (т.е. нумерация не продолжается от лекции к лекции). Это удобно при чтении лекций.

Лекция 1. Множества в мерном евклидовом пространстве и их типы. Функции нескольких переменных, их предел и непрерывность. Линии и поверхности уровня. Частные производные и их геометрический смысл. Дифференцируемость и её связь с частными производными функции

Напомним сначала некоторые сведения из теории метрических пространств.

123456789Следующая ⇒

Поделиться: