Двойной интеграл в полярных координатах

Рассмотрим функции

Эти функции будут взамно однозначно отображать плоскость переменных на плоскость переменных , если условиться, что точка переходит только в точку Криволинейные координаты называют в этом случае обобщенными полярными координатами, а в случае просто полярными координатами в плоскости Вычислим якобиан перехода для таких координат. Имеем

Из теоремы 1 вытекает, что двойной интеграл в обобщенных полярных координатах будет таким:

При получаем формулу

для двойного интеграла в полярных координатах. Здесь и выше область, которая при отображении переходит в область

Пример 1 ( ( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Пластинка задана неравенствами , поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Решение. Введем обобщенные полярные координаты

При этом эллипсы перейдут в прямые и соответственно, а прямая в луч Якобиан перехода будет таким: поэтому

Криволинейные координаты в пространстве. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

 

Криволинейные координаты в пространстве вводятся аналогично. Если область переменных , заданных в прямоугольных декартовых координатах, то упорядочная тройка чисел , связанная с предыдущей тройкой равенствами

осуществляющими взаимно однозначное отображение области на область называется

криволинейными координатами точки При этом поверхности

называются координатными поверхностями точки (пересечением именно этих поверхностей является точка ). Определитель

называется якобианом отображения (4) или якобианом перехода от декартовых координат к криволинейным. Его геометрический смысл состоит в следующем: есть коэффициент искажения объёма малого параллелепипеда с вершиной в точке и рёбрами при отображении (4), т.е. где объём образа указанного параллелепипеда при отображении (4). Используя этот факт, нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Имеет место равенство

если выполняются следующие условия:

1) функция непрерывна в замкнутой ограниченной области

2) функции непрерывно дифференцируемы в области и взаимно однозначно отображают область на область

3)

Цилиндрическими координатами называются координаты точки , связанные с декартовыми координатами этой точки равенствами (см. Р.18)

Нетрудно подсчитать, что якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим будет равен Действительно, имеем

 

Следовательно, тройной интеграл в цилиндрических координатах запишется так (см. (5)):

Здесь область, которая при отображении переходит в область

Сферическими координатами называются координаты точки , связанные с декартовыми координатами этой точки равенствами (см. Р.19)

 

Нетрудно показать, что якобиан перехода от декартовых координат к сферическим равен

Используя теорему 2, запишем тройной интеграл в сферических координатах в виде

Здесь область, которая при отображении переходит в область

Пример 2 ( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Найти объем тела, заданного ограничиваю-

щими его поверхностями:

Решение. Объём тела будем вычислять с помощью тройного интеграла Введём цилиндрические координаты: Тогда область перейдёт в область граница которой будет задаваться уравнениями Граница проекции тела на плоскость будет такой : Луч с произвольным углом выходящий из начала пересекает эту границу сначала в точке а затем – в точке Значит, нижний и верхний пределы по в повторном интеграле будут соответственно и а пределы по соответственно и Взяв произвольно точку в проекции на плоскость , выпустим из неё луч в направлении оси Он сначала пересечёт нижнюю границу области в точке , а затем верхнюю границу области в точке Значит, пределы по в повторном интеграле будут соответственно и В результате будем иметь

 

Площадь поверхности

Пусть в пространстве задана некоторая гладкая поверхность и пусть Произведем разбиение

области на частичные подобласти Это разбиение индуцирует разбиение поверхности на частичные поверхности Возьмем произвольно точку и в соответствующей точке построим плоскость касательную к поверхности Цилиндр с основанием и образующей, параллельной оси вырежит из этой плоскости кусок Обозначим через площадь куска а через диаметр разбиения

Определение 4. Если существует конечный предел и он не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют площадью поверхности

Теорема 3. Пусть поверхность задаётся уравнением причем функция и её частные производные непрерывны в замкнутой ограниченной области Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле

Доказательство. Вычислим площадь куска Так как то

где площадь области а угол между плоскостями и Угол очевидно, равен углу между нормалями и плоскостей и соответсвенно. Так как то

Следовательно, По определению 4 имеем

Теорема доказана.

 

Пример 3. Вычислить площадь части поверхности параболоида вырезан-

ную цилиндром

Решение. Здесь область есть круг Площадь искомой поверхнос-

ти находим по формуле (8):

 

 

Лекция 6. Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности) и его вычисление. Векторное поле. Векторные линии векторные трубки. Поток векторного поля, его свойства и вычисление. Дивергенция, её физический смысл и свойства. Формула Остроградского-Гаусса

 

Поверхностный интеграл

Пусть в пространстве переменных и задана некоторая поверхность и пусть функция определена на этой поверхности. Произведём разбиение поверхности на частичные поверхности с помощью конечного числа непрерывных кривых. Возьмём произвольно точки и составим интегральную сумму где площадь куска . Обозначим .

Определение 1. Если существует предел интегральных сумм: и если этот предел не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначают

Теорема 1. Если поверхность задана уравнением и функции

непрерывны в замкнутой ограниченной области а функция непрерывна на поверхности то

Доказательство следует из равенства

и теоремы о среднем Подставляя это в предыдущее равенство и учитывая непрерывность всех функций, будем иметь

Теорема доказана.

Так как поверхностный интеграл сводится к двойному, то для него справедливы все свойства последнего: линейность, аддитивность, монотонность, теорема о среднем и т.д. Мы не будем их выписывать. Механический смысл поверхностного интеграла состоит в следующем: если плотность пластинки в точке то масса этой пластинки.

2. Векторное поле. Векторные линии векторные трубки. Ориентируемые поверхности и поток векторного поля через поверхность

 

Пусть некоторая область в пространстве

Определение 2. Говорят, что в области задано векторное поле если в каждой точке определен вектор

Это определение не зависит от выбора системы координат в Если в выбрана декартова система координат, то каждой точке ставится в соответствие вектор

Примеры векторных полей: а) скорость движущейся жидкости в точке (векторное полей скоростей жидкости); б) гравитационное поле (здесь тело массой находится в точке а тело массой в точке , гравитационная постоянная).

Векторное поле называеется непрерывным (кусочно непрерывным, гладким, непрерывно дифференцируемым) в области , если все его компоненты непрерывны (соответственно: кусочно непрерывны, гладки, непрерывно дифференцируемы) в области .

Пусть векторное поле определено в области .

Определение 3. Линия называется векторной линией поля если в каждой точке поле касается кривой Поверхность называется векторной трубкой поля если она сплошь состоит из векторных линий этого поля.

Теорема 2. Пусть поле непрерывно дифференци-

руемо в области . Если параметрические уравнения векторной линии поля то для всех выполняются равенства

Обратно: если кривая удовлетворяет соотношени-

ям (1), то векторная линия поля (уравнения (2) называются уравнениями векторных линий поля ).

Действительно, равенства (2) (если в них подставить уравнения линии ) выражают условия коллинеарности векторов и в одной и той же точке Значит, линия касается поля .

Пусть в пространстве задана некоторая поверхность и пусть в каждой точке этой поверхности существует нормаль. На этой нормали можно выбрать два единичных вектора: и

Определение 4. Если при движении точки по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не пересекающему её границы , единичный вектор непрерывно изменяется и возвращается в точку с первоначальным направлением, то говорят, что поверхность яв-

ляется двухсторонней. При этом сторона поверхности, определяемая вектором , называется внешней (или верхней) стороной поверхности (обозначение: ), а сторона поверхности, определяемая вектором называется внутренней (или нижней) стороной поверхности (обозначение: ). Векторы и называются ориентациями поверхности , а сама поверхность называется ориентируемой поверхностью.

Если же на поверхности найдётся хотя бы один замкнутый контур, при движении на котором единичный вектор возвращается в точку с противоположным направлением, то говорят, что поверхность является односторонней или неориентируемой

поверхностью.

Примером неориентируемой поверхности является лист Мёбиуса, который получается из прямоугольной полоски склеванием ее боковых после однократного их перекручивания. Перейдем к понятию потока векторного поля. Пусть дана двухсторонняя поверхность и выбрана та её сторона, которая ориентирована единичной нормалью

Определение 4. Потоком векторного поля через поверхность с ориентацией называется поверхностный интеграл

(здесь скалярное произведение векторов и ).

Это определение потока не зависит от выбора системы координат. Если выбрана прямоугольная система координат, то

и поток можно записать в виде . Обозначив

перепишем предыдущее равенство в виде

В таком виде поток записан в форме поверхностного интеграла второго рода (по координатам). Все три формы записи потока встречаются в математической литературе. Мы будем пользоваться первой формой записи, указанной в определении 4.

Из свойств поверхностного интеграла первого рода вытекают аналогичные свойства потока как поверхностного интеграла второго рода (линейность, аддитивность и т.д). Единственным отличием этих свойствах является то, что интеграл первого рода не зависит от ориентации поверхности а интеграл второго рода (поток) зависит от выбора стороны поверхности: (это вытекает из определения 4). Дадим формулу вычисления потока.

Теорема 3. Пусть поверхность, задаваемая уравнением причем эта поверхность является гладкой, т.е. функции непрерывны в замкнутой ограниченной области Пусть, кроме того, векторное поле непрерывно на поверхности Тогда

где знак (+) отвечает ориентации поверхности нормальным вектором а знак (–) отвечает ориентации поверхности нормальным вектором

Доказательство. Пусть поверхность ориентирована вектором Учитывая, что раскроем в (3) скалярное произведение: По теореме 1 имеем

Теорема доказана.

Замечание 1. Если поверхность задана неявно уравнением (где функции непрерывны, причем в области в которой лежит поверхность ), то

При этом знак выбирается в соответствии с ориентацией поверхности .

Дадим гидромеханический смысл потока: если векторное поле скоростей жидкости, то равен количеству жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность с ориентацией, определяемой нормалью

Пример 1 ( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Найти поток векторного поля через поверхность вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

 

Решение. Так как то нормаль к боковой поверхности (конуса) будет иметь вид Выбор нормали должен быть таким, чтобы Так как в нашем случае на поверхности , то надо взять знак (+). Таким образом, нормаль будет такой: Здесь мы учли, что на поверхности выполняется равенство . Далее имеем

Область является проекцией поверхности на плоскость т.е. является кругом радиуса поэтому

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: